Ôn Tập Toán cao cấp 1- Bài 2 pptx

1
v1.0
BÀI 2
ĐẠO HÀM - VI PHÂN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
2
v1.0
1. Đạohàm,đạohàmcấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấpcơ bản,
cácphéptoánvềđạohàm,đạohàmhàmhợp;
2. Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp;
3. Công thứcTaylo,quytắcL’Hospitan(Lôpitan);
4. Ứng dụng tính giớihạnvàkhảosáthàmsố:Sự biếnthiên,cựctrị,…
LÍ THUYẾT
3
v1.0
Khẳng định nào đúng:
a. f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f(x) liên tục tại x
0
.
b. f(x) liên tục tại
x
0
thì f(x) có đạo hàm tại x
0
.
d. f(x) không có đạo hàm tại x
0
thì f(x) không xác định tại x
0

.
c. f(x) không có đạo hàm tại
x
0
thì f(x) không liên tục tại x
0
.
VÍ DỤ 1
4
v1.0
Khẳng định nào đúng:
Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau:
a. f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f(x) liên tục tại x
0
.
b. f(x) liên tục tại
x
0
thì f(x) có đạo hàm tại x
0
.
d. f(x) không có đạo hàm tại x
0
thì f(x) không xác định tại x
0
.
c. f(x) không có đạo hàm tại
x

0
thì f(x) không liên tục tại x
0
.
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f(x) liên tục tại x
0
.
5
v1.0
Khẳng định nào đúng:
a. f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f(x) liên tục tại x
0
.
b. f(x) liên tục tại x
0
thì f(x) có đạo hàm tại x
0
.
d. f(x) không có đạo hàm tại x
0
thì f(x) không xác định tại x
0
.
c. f(x) không có đạo hàm tại x
0

thì f(x) không liên tục tại x
0
.

Chú ý:
f(x) = |x| xác định tạix=0,liêntụctạix=0,cóđạohàmphảivàđạo
hàm trái tạix=0nhưng không có đạohàmtạix=0.(=>b,c,dsai).
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)



6
v1.0
Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng?
a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0.
b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0.
c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.
d. f(x) có đạo hàm tại x = 0.
VÍ DỤ 2
7
v1.0
Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng?
a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0.
b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0.
c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.




VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

d. f(x) có đạo hàm tại x = 0.
8
v1.0
VÍ DỤ 3
Đạohàmcủahàmsố f(x) = x
5
bằng:
a. 5x
b. 5x
4
c.
d. 0
6
x
6
9
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
Hướng dẫn:
•Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25);
• Đây là hàm có dạng x

.
10
v1.0
BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
11
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = x
5

bằng:
a. 5x
b.
c. 5x
4
d. 0
Nhậnxét:
Sai lầmchủ yếu do không nắm đượccôngthức đạohàmcủacáchàmsố.




VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
6
x
6
(x
5
)’ = 5x
5 – 1
= 5x
4
12
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = arccosx bằng:
a.
b.
c.
d.
VÍ DỤ 4

2
1
1x
2
1
1x


2
1
1x
2
1
1x


13
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = arccosx bằng:
a.
b.
c.
d.
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
2
1
1x
2
1
1x



2
1
1x




2
1
1x


f(x) = arccosx
14
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = tg(lnx) bằng:
a.
b.
c.
d.
VÍ DỤ 5
2
1
xcos (ln x)
2
1
cos (ln x)
2

1
ln x cos x
2
ln x
cos x
15
v1.0
Hướng dẫn: Xem các phép toán về đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp
(mục 1.2.1, tr.24).
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
Nếuhàmsố u=g(x)cóđạo hàm theo x, hàm số y=f(x)
có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x))
có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
2
u(x)
(tgu(x))
cos u(x)



1
(ln x) (x 0)
x


16
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = tg(lnx) bằng:
a.
b.

c.
d.
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
2
1
xcos (ln x)
2
1
cos (ln x)
2
1
ln x cos x
2
ln x
cos x




22
111
(tg(ln x)) tg (ln x).(ln x) .(ln x) .
cos(lnx) cos(lnx) x
  
 
17
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = sin(cos
2
2x) bằng:





2
2
2
a. cos cos 2x

b. cos 2cos2x
c. cos sin 2x
d. 2cos cos 2x sin4x–
VÍ DỤ 6
18
v1.0
Đạohàmcủahàmsố f(x) = sin(cos
2
2x) bằng:




2
2
2
a. cos cos 2x .
b. cos 2cos2x .
c. cos sin 2x .
d. 2cos cos 2x sin4x.–
Chú ý:

2sin .cos sin2 
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)




 


222
2
2
2
2
sin(cos 2x) cos(cos 2x). cos 2x
cos(cos 2x).2cos2x cos2x
cos(cos 2x).2cos2x.( sin(2x)). 2x
2.cos(cos 2x).2cos2x.sin2x
2.cos(cos 2x).sin4x








19
v1.0
VÍ DỤ 7

Đạo hàm cấp hai củahàmsố bằng:
2
f(x) ln 1 x



2
2
2
2
2
2
2
2
1x
a.
1x
1
b.
1x
x
c.
1x
2x
d.
1x






20
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của
f(x). Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai.
Kí hiệu là: y” = f”(x).
Vậy: y” = f”(x) = (f’(x))’.
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n,
kí hiệu là f
(n
)x:
Vậy y
(n)
= f
(n)
(x) = (f
(n – 1)
(x))’.
21
v1.0
Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng:
VÍ DỤ 8
n
(n)
n1
n1
(n)
n

n1
(n)
n
n
(1)n!
a. f (x)
x

(1) n!
b. f (x)
x
(1) .(n 1)!
c. f (x)
x
(n 1)!
d.
x










22
v1.0
Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng:

Hướng dẫn:
•Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30).
• Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm tra các
phương án với n = 1, 2, 3. Từ đóchọn ra phương án thỏa mãn.
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)
n
(n)
n1
n1
(n)
n
n1
(n)
n
n
(1)n!
a. f (x)
x
(1) n!
b. f (x)
x
(1) .(n 1)!
c. f (x)
x
(n 1)!
d.
x















2
3
11
f(x) ; f(x) ;
x
x
2
f(x)
x





 Kiểm tra n = 1, 2, 3.
23
v1.0
Vi phân của hàm số là:
2

f(x) ln(x x 4)
VÍ DỤ 9
2
2
2
2
1
a.
x4
dx
b.
x4
1
c.
x4
dx
d.
x4






24
v1.0
Hướng dẫn: Công thức df(x) = f’(x).dx
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
2
2

2
2
1
a.
x4
dx
b.
x4
1
c.
x4
dx
d.
x4













2
2
2

22 22
2
22 2
/
22
1
f(x) . x x 4
xx4
x4
112x
11
xx4 2x4xx4 2x4
1x4x1
.
xx4 x4 x4
1dx
df(x) f (x)dx dx
x4 x4

















   




 

  

  

Nhận xét:
•Việc tính vi phân của f(x) thực ra là việc tính đạo hàm của f(x), sau đóthay
vào công thức.
•Sai lầm thường gặp: Thiếu dx trong công thức df(x) = f’(x).dx
25
v1.0
Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là:
a. dx
b. ln xdx
c. 1
d. ln x
VÍ DỤ 10