Lượng giác: Định lý De Moivre pps

• TRANG CHỦ
• TOÁN HỌC
Ken của Phường Toán trang
Lượng giác: Định lý De Moivre
Abraham de Moivre (1667-1754) được sinh ra ở Pháp, nhưng đã trốn sang Anh
năm 1688, sau khi bị cầm tù vì niềm tin tôn giáo của mình. Một nhà toán học
xuất sắc, ông đã không thể đạt được một cuộc hẹn đại học (vì ông được sinh ra
tại Pháp) o r thoát khỏi cuộc sống của ông về đói nghèo, đạt thu nhập ít ỏi chỉ
như là một gia sư. Ông là bạn bè với Sir Isaac Newton và Edmund Halley
(1656 - 1742), được bầu vào Hội Hoàng gia ở Anh, và để các Viện Hàn lâm
Paris và Berlin, nhưng bất chấp sự hỗ trợ của Leibniz lớn (1646 -
1716), một thứ của Jacques Bernoulli, ông không bao giờ đạt được một cuộc
hẹn đại học và qua đời trong tương đối nghèo. Mặc dù vậy, ông đã phát hiện
nhiều trong toán học, một số trong đó được quy cho những người khác (Ví
dụ: Công thức của Stirling cho xấp xỉ thừa đã được biết đến trước đó của De
Moivre).
Điều này đồng trang với các bằng chứng về Moivre Định lý De, vv Nó có công
thức để tính toán các cô sin và sin trực tiếp, nhưng những yêu cầu thêm thao tác
đại số, để giảm sin trong công thức cô sin, và các cosines trong công thức
sin.Công trình này được mở rộng sau đó bắt đầu với các cô sin , nơi mà các
công thức cũng xuất phát để tính toán trực tiếp các hệ số của một thế lực được
đưa ra trong một mở rộng cho cho cos nx nx và tội lỗi. Trước đó, một số trang,
đề cập dưới đây, đối phó với các phương pháp Chebyshev.
Xem thêm
• Phương pháp của Chebyshev
• Multiple Angles Cosines
• Multiple Angles Sines
• Multiple Angles tiếp tuyến
• Định lý de Moivre mở rộng
Nội dung lượng giác
Nội dung trang

1. De Moivre của Công thức cho Angles Nhiều
2. Giải thích
3. Bằng chứng của cảm ứng
a. Không âm n
b. Tiêu cực n
De Moivre của Công thức cho Angles Nhiều
Sau đây là ngày nay được gọi là công thức De Moivre, rõ ràng biết là De
Moivre, nhưng không bao giờ rõ ràng thể hiện trong biểu mẫu này bởi anh ta.
[1,1]
nơi mà tôi = √ (-1)
Chọn ra những phần thực của cả hai bên và tương đương họ, cho cô sin, chúng
tôi nhận được:
[1.2]
Trường hợp k, một số nguyên không âm, là 2 ° p, nhiệm kỳ PTH, p = 0, 1, 2 ,
và k ≤ n
Đối với sin, chúng ta thấy:
[1,3]
Trường hợp k, một số nguyên không âm, là 1 +2 · p, nhiệm kỳ PTH, p = 0, 1,
2 , và k ≤ n
Chúng tôi có thể sử dụng công thức này để tìm nhiều góc độ của cô sin và sin
bằng cách liên kết các bộ phận thực sự của tay bên phải, mở rộng với các định
lý nhị thức , với cosin và các bộ phận tưởng tượng với sin này. Chúng tôi đưa
ra ví dụ về một trang sau .
Trên trang này, chúng tôi thực hiện một yêu cầu bồi thường hạn chế, mà công
thức đúng cho tất cả các số nguyên n.Trên thực tế nó là sự thật trong một bối
cảnh rộng hơn, cho các số phức tạp.
Giải thích
Leonhard Euler (1707-1783), được lấy cảm hứng từ De Moivre, để xây dựng:
[2,1]
Vì

[2,2]
Chúng tôi có thể thay thế ix cho x (nơi mà tôi = √ -1 )
[2,3]
Thay thế i 2 của -1, và tôi 4 bởi 1, vv:
[2,4]
Phân nhóm các phần thực và phần ảo:
[2,5]
Chúng tôi lưu ý các dòng đầu tiên là sự mở rộng của cos x, và các i thứ hai x ·
tội lỗi, vì vậy:
(Đó là những gì Euler tuyên bố)
Bằng cách nâng cao e ix cho n điện, chúng tôi lưu ý, trong hai hình thức tùy
thuộc vào cách thức chúng tôi nhóm các chỉ số:
Trong đó, giả định mở rộng trên đây cho e ix , sin x, cos x, vv (trong tính toán
sử dụng chứng minh của Định lý Maclaurin), chúng tôi đã chứng minh Định
luật De Moivre:
■
Bằng chứng của cảm ứng
Không âm n
Chúng tôi muốn thể hiện bằng quy nạp toán học
[1.1, lặp đi lặp lại]
Trường hợp n là một số tự nhiên
Khi n = 1, thì:
cos x + i ː sin x = (x cos + i ː tội lỗi x)
Đó là sự thật, do đó, định lý đúng với n = 1.
Đối với n = k, với k là một số nguyên không âm, bằng công thức, chúng ta có
cos kx + i ː tội lỗi kx = (cos x + i ː tội lỗi x) k [3,1].
Giả sử rằng đó là đúng với k = n, sau đó khi n = k +1:
cos (k +1) x + i ː tội lỗi (k +1) x =
(Cos kx + i ː tội lỗi kx) (cos x + i ː tội lỗi x) [3,2]
bằng cách nhân phương trình 3,1 của (cos x + i ː tội lỗi x)

Nhân ra phương trình 3,2 chúng tôi tìm thấy:
= Cos kx · cos x + i 2 kx · · tội lỗi tội lỗi x + i ː tội lỗi kx · cos x + i ː cos kx x ·
tội lỗi
= Cos kx · cos x-tội lỗi tội lỗi · kx x + i ː tội lỗi kx · cos x + i ː cos kx x · tội lỗi
[vì i 2 =- 1]
= Cos (k +1) x + i ː tội lỗi (k +1)
bởi các công thức hợp chất góc .
Vì vậy, nếu công thức đúng cho k = n, nó cũng đúng với k = n +1. Vì nó đúng
với n = 1, sau đó nó cũng đúng với n tất cả
■
Tiêu cực n
Giả sử (hay tuyên bố) rằng công thức trên là đúng sự thật cho n không âm,
chúng ta hãy viết n là-m, trong đó m là một số nguyên dương:
[4.1]
Vì vậy:
[4,2]
Áp dụng công thức De Moivre để các bên phải:
[4,3]
Nhân trên và dưới của cos (mx)-i ː sin (mx), lưu ý (a-b) (a + b) = a 2 + b 2 :
[4,4]
Và bởi vì tội lỗi 2 θ + cos 2 θ = 1, ta có:
[4,5]
Thay n trở lại vào công thức, đó là, s ubstituting - n cho m :
[4,6]
Lấy minuses bên ngoài, và lưu ý rằng cos ( - nx) = cos (nx), và tội lỗi ( - nx)
= - sin (nx), ta có:
[4,7]
đó là công thức De Moivre với n tiêu cực, do đó, công thức làm việc cho tất cả
các số nguyên . ■
Nội dung lượng giác

Ken của Phường Toán trang
Bản quyền © 2007
Ken J Phường