Một ít đề TS10_môn Toán (St)

Một số đề T uyển sinh 10_ môn Toán
ĐỀ 1)

Câu 1. (3.0 điểm)
Cho biểu thức:
2
1 3 1
:
2 2 1 3 2
x x x x
P
x x x x x x
   
− −
= + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − − − − +
   
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 0.
c) Tìm x để
2
2 2 1P x x
= − + −
Câu 2. (1.0 điểm)
Tìm các số x thõa mãn đồng thời x
3
+x
2
-4x-4=0 và (x+1)(x

2
-2x+2)<0
Câu 3. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một đoàn tàu đánh cá theo kế hoạch đánh bắt 140 tấn cá trong một thời gian
dự định. Do thời tiết thuận lợi nên mỗi tuần họ đã đánh bắt vượt mức 5 tấn. Cho
nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10
tấn. Hỏi thời gian dự định ban đầu là bao nhiêu?
Câu 4. (4.0 điểm)
Cho đường tròn (O;R), dây
3AB R=
và k là điểm chính giữa của cung AB.
Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BK (
,M B K≠
). Trên tia AM lấy điểm N sao
cho: AN=BM. Kẻ
∈BP//KM(P O)
.
a) CM: ANKP là hình bình hành.
b) CMR: Tam giác KMN là tam giác đều
c) Xác định vị trí của M để tổng (MA+MK+MB) có giá trị lớn nhất.
1
d) Gọi E, F lần lượt là giao của đường phân giác trong và đường phân giác
ngoài tại đỉnh M của tam giác MAB với đường thẳng AB. Nếu tam giác
MEF cân, hãy tính các góc của tam giác MAB.
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 01

Câu 1.
2
2
2 2

2 2
2
2 1
/
1
0
( 1) 2 ( 1 2)( 1 2)
/ : . 0
1;4
1 1
0 1
1 2; 4
1 2
/ : . ( 2 1) 4 2( 1) 2 1(1)
1;4
* : 2 1 ( 0).(1) 4 2( 1) ( 2)( 2 ) 0
2 2
x x
a P
x
x
x x x
b DK BPT
x
x x
x
x x
x
c DK PT x x x x x x
x

Coi x x y y y x x y y y x
y x
− −
=
−
≥

− − − − − +
⇔ = >

≠
− −

≤ <

⇒

> + ≠


≥ − +

⇔ + − − = − − + −

≠


+ − = ≥ ⇔ − = − − ⇔ − + =
= ⇔ +
⇔

1 2
0
5 0 1 6; 1 6
2 0 ô
x x x
y x V ng

− = ⇔ = − + = − −

+ = ⇒


Câu 2:
0
* ó 3 : 1; 2;2
* 1 0
2
PT c ng x
BPT x
x
= − −
⇔ + <
⇒ = −
Câu 3.
• Gọi thời gian dự định là t( tuần) t > 0; Thời gian thực tế là (t -1) (tuần).
• Năng suất dự định là 140/t (tấn/tuần) ; Năng suất thực tế 150/(t-1) (tấn/tuần)
• Ta có phương trình:
2
2
140 150

5 3 28 0 7; 3( )
1
t t t t loai
t t
+ = ⇔ − − = ⇔ = = −
−

Câu 4:
»
¼
»
»
¼
( )
»
( )
0
/ ( )
( ính à )
à .
( )
/
60
/ ( ) ( ) 2 4
áu " " à ính à ính é
â : ax 4 à ính
a AN PK BM
AP KM K ch giua AB v PK BM
PK AN ANKP l hbh
KN KM AP

b dpcm
NMK
c MA MK MB MA NM MB MA NM AN MA R
D xay ra MA l duong k M C M l ch giua cung b BK
V y M MA MK MB R M l ch gi
= =
= =
⇒
= =

⇒

∠ =

+ + = + + = + + = ≤
= ⇔ ⇔ ≡ ⇔
+ + = ⇔
W
»
»
¼
»
0
0 0 0
é
/ EF â 45 ( à ính é )
1 1
15 60 105
2 4
ua cung b BK

d M c n MEB H l ch giua cung b BC
MAB sd BM sd BD AMB ABM
∆ ⇔ ∠ =
⇒ ∠ = = = ⇔ ∠ = ⇔ ∠ =
ĐỀ SỐ 2 I
Câu 1. (3.0 điểm)
Cho biểu thức:
2 3 2 1 2
:
1 3 2 3 2 2
x x x x
P
x x x x x x
   
− − − +
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + + + + −
   
d) Rút gọn P
e) Tìm x để
( 1) 2 2x P x
− + = +
.
f) Tìm x để x=1 và x=3 thõa mãn:
2
( 1) 1mP m x m x
= − − +
Câu 2. (1.0 điểm) Cho 2 hàm số: y=x

2
và y=3x+m+1.
a) Tìm giao điểm của đồ thị 2 hàm số khi m=-3.
b) Tìm các giá trị của m để 2 đồ thị hàm số trên cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt.
3
Câu 3. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một bể đựng nước có 2 vòi: Vòi A đưa nước vào và vòi B tháo nước ra. Vòi A
từ khi nước cạn đến khi nước đầy (B khóa) lâu hơn 2 giờ so với vòi B tháo nước
từ khi bể đày tới lúc cạn nước (A đóng). Khi bể chứa 1/3 thể tích nước của nó nếu
người ta mở cả 2 vòi thì sau 8 giờ bể cạn hết nước. Hỏi sau bao nhiêu giờ riêng
vòi A có thể chảy đầy bể và sau bao nhiêu thời gian vòi B có thể tháo hết nước
trong bể?
Câu 4. (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC). Trên cạnh AB lấy điểm E. Dựng
đường tròn đường kính BE cắt cạnh BC tại F. CE cắt đường tròn tại H. Kéo dài
CA và BH cắt nhau tại K.
a) CM: Góc FHB không phụ thuộc vào vị trí điểm E.
b) CM: AC, EF, HB đồng qui tại K.
c) CM: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHF
d) Tìm vị trí của E để:
2
.
2
CB
CACK =
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 2

Câu 1.
4

0
/ 3 2 ( 1)( 2); :
1
2 3 2 1 2
:
1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
1 ( 1)( 2)
. 1
1
( 1)( 2)
/ ( 1) 2 2 ( 1)(1 ) 2 2
(1 ) 2 2 1 2 2 0 2 2 2 3 0
2( 0)
x
a x x x x DK
x
x x x x
P
x x x x x x
x x x
x
x x
b x P x x x x
x x x x x x
t x t
≥

+ + = + +

≠


   
− − − +
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
− + +
= = −
−
+ +
− + = + ⇔ − + − = +
⇔ − = + ⇔ − − + = ⇔ + − + − =
= + >
⇔
2
2 2
2
0
2 2
2 2
1( )
7( / )
3 2 3
2 3 0
/ ( 1) 1 (1 ) ( 1) 1
1 0. ó ít â' 2 1, 3
1 1 0 0
1

3 3 1 0 3 2 0
t loai
x t m
t x
t t
c mP m x m x m x m x m x
m x x m PT c nh t ng x x
m m m m
m
m m m m
= −



⇔ ⇔ =


= ⇒ + =
− − =



= − − + ⇔ − = − − +
⇔ − − + = = =
 
− − + = − =
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− − + = − − =

 
 
Câu 2:
a) Thay m=-3 vào hàm số ta có: y=3x-2.
Tọa độ giao điểm của 2 hàm số trên chính là nghiệm của hệ :
2
2
2
1
1
3 2
2
3 2 0
4
x
y
y x
y x
y x
x
x x
y
 =



=

=


=
 

⇔ ⇔
 

= −
=
− + =






=



Vậy đồ thị của 2 hàm số trên cắt nhau tại 2 điểm (1;1) và (2;4).
5
b) ĐS:
13
4
m > −
Câu 3.
• Gọi thời gian vòi B tháo hết nước trong bể là: x (giờ, x>0)
• Thời gian vòi A chảy đầy bể một mình là: (x+2) (giờ, x>0)
Trong 1 h vòi B tháo được: 1/x (bể)
Trong 1 h vòi A chảy được: 1/(x+2) (bể)

Trong 1h nếu mở cả 2 vòi thì được lượng nước trong bể là:
1 1
2x x
−
+

Trong 8h nếu mở cả 2 vòi thì nước trong bể giảm là:
1 1
8
2x x
 
−
 ÷
+
 
Theo đầu bài ta có PT:
1 1 1
8 6
2 3
x
x x
 
− = ⇔ =
 ÷
+
 
Vậy thời gian để vòi B tháo hết nước riêng trong bể là: 6 giờ.
Vòi A chảy đầy bể là: 8 giờ.
Câu 4:
6

0 0
0
0
0
/ 90 EF 90
EF EA 180
ét EACF ta có : EACF ôi ê'
2 ' ô'i diên
ACF EF( ùng 180 )
à : EF nê ACF ons
/ :
ó : à â ( : 90 )
EF EF ùng
a BFE C
C C
X n ti p
go c d
B c AEF
M BHF B n BHF c t
b GS BH AC K
Ta c E l truc t m KBC KE BC Do BFE
KE hay c d
= ⇒ =

+ =
⇒


⇒ = + =
= ⇒ = =

∩ =
∆ ⇒ ⊥ =
⇒ ≡
R R
R R
W W
R R R
R R R R
R
2 2
EF, , ông
/ ì : EACF ôi ê' ( / ê ) à :
à â ác AHF.
ó : à â ác AFH. FE HE=E dpcm
/ ( )
. . . .
2 2
i qua K
BH AC d qui
c V n ti p c m tr n ABC AHC m EHF ABC
AHC EHF HE l ph n gi
Tacung c HE l ph n gi
d CKF CBA g g
CK CF CB CB
CK CA CF CB CK CA CF CB
CB CA
CF
⇒
⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠
⇒ ∠ = ∠ ⇒ ∠

∠ ∩ ⇒
∆ ∞∆ −
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇔ =
⇒ =
W
1
à ê
2
à à .
CB F l trung di m cua CB
E l giao cua trung truc doan CB v AB
⇒
⇔
Đề 3
7
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA SỐ 3
8
Câu 1.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
/ 2 ( 1)( 2).§ :
1
1 1
3 3 3 2
.
( 1)( 2) 1
2 1
3 3 3 1 2 2 3 2 4 3 2

( 1)( 2 ) 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
2 1
1
( 1)( 2) 1
1 2
/ § ( 0; 1) 1
1 1
x
a x x x x K
x
x x
x x x x
P
x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x
x x x
t
b Æt t x t t P
t t
P
≥

+ − = − +

≠


+ −
+ − −
⇒ = − +
− + −
+ −
+ − − + − + − − + + +
= − = =
− + − − + − +
+ +
+
= =
− + −
+
= ≥ ≠ ⇒ = = +
− −
0 0
1 2
2 ( 1) 2 4
1 1
3 9
t x
t
lµ béi cña t t x
t
t x
= =
 
− = ±

 

∈ ⇔ − ⇒ ⇒ = ⇒ =

 
− = ±

 
= =
 
¢
Câu 2:
• Gọi thời gian vòi I chảy một mình để đầy là: x (giờ)
• Gọi thời gian vòi II chảy một mình để đầy là:y (giờ)
Năng suất của vòi I là: 1/x (phần bể)
Năng suất của vòi II là: 1/y (phần bể)
Năng suất của cả 2 vòi là: 2/3 (phần bể)
Ta có phương trình:
1 1 2
3
+ =
x y
(1)
Trong 15 phút(1/4 giờ) vòi I chảy được: 1/4x (phần bể)
Trong 20phút(1/3 giờ) vòi II chảy được: 1/3x (phần bể)
9
Theo đầu bài vòi I chảy trong 1/4 giờ, vòi II chảy trong 1/3 giờ được 1/5 bể
nên ta có hệ phương trình:
1 1 2
1
2 4
3,75

3
3 15
. :
1
1 1 1 1 1 1 2 2,5
4 3 5 4 3 5 5


 
+ =
=
+ = =


 
=

   
⇒ ⇒ ⇒
    
=

   
=
+ = + = =
 
 
 



u
u v u
x
x y
x
Coi
y
v
u v v
y
x y
Vậy vòi I chảy một mình trong 3 giờ 45 phút và vòi II chảy trong 2 giờ 30
phút thì đầy bể.
Câu 3:
a) Khi m=-1 ta có (d):y=-x+1.
Tọa độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của hệ:
( )
( )
2
1
2
2
2
1 1
2 2 2;3 2 2
1
4
1
1
4 4 0

2 2 2;3 2 2
1
4
= − +

 
− −
= − +

=
  
⇔ ⇔ ⇔
   
= − +
+ − =

− − +
  
= − +
 

y x
A
y x
y x
x x
x x
A
y x
b) (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2 2
2 2
1
2 1 4 4 (2 1) 0
4
1 2
' 4 4(2 1) 2 1 0
1 2
x mx m x mx m
m
m m m m
m
= − − ⇔ − + + =

= +
⇔ ∆ = − + = − − = ⇔

= −


10
Câu 4
( )
0
2 2
( §. )
) : / /
( )
) :
90

§ ¹ .
.
AM BM AB lµ KÝnh
a Ta cã OK MB
AM KO KAM can
AOM ABM Sole trong
b XÐt OMK vµ OIM cã
OMK OIM
OMK vµ OIM ång d ng
Gãc KOM chung
OM OK
OI OK OM R conts
OI OM
⊥


⇒

⊥


⇒ =

= =
⇒


⇒ = ⇔ = = =
V
R R

V V
R R
V V
R
0
) :
90 ( )
(§ )
/ / ( ª ) / /
c XÐt AKO vµ OEB cã
OA OB R
KAO EOB AKO OEB g c g OK BE
KOA EBO ång vÞ
mµ OK MB cm tr n hay OK BE OKEB chÝnh lµ hbh
= =


= = ⇒ = − − ⇒ =


=

⇒
V V
R R V V
R R
W
11
0
) :

( / / )
( )
(1)
:
90
(§§)
.
d XÐt trong OKJ ta cã
OE KJ Do KJ AB mµ OE AB
KM OJ Do KM lµ tiÕp tuyÕn
OE KM P
P lµ trùc tam OKJ JP KO
Ta xÐt KPE vµ OPM cã
KEP OMP
KE OM OB R KPE OPM PK PO
KPE OPM
hay KPOcan Mµ do H lµ tam cña A
⊥ ⊥


⊥


∩ =

⇒ ⇒ ⊥

= =

= = = ⇒ = ⇒ =



=

V
V
V V
R R
V V
S R
V W
(2)
(1) (2) , , ¼
OEK
PH lµ trung tuyÕn PH OK
Tõ vµ H P J th ng hµng
⇒ ⇒ ⊥
⇒
Câu 5:
( )
( )
( )
2
2 2 2
¸ § :
1 1 1
6( ) 6
6.
1
" " ¶ :

3
p dông B T Bunhiacopxki ta cã
a b b c c a a b b c c a
a b c
a b b c c a
DÊu x y ta khi vµ chØ khi a b b c c a a b c
+ + + + + ≤ + + + + + + +
= + + =
⇒ + + + + + ≤
= + = + = + ⇔ = = =
Đề số 4
ĐỀ TỰ ÔN SỐ 04 ĐỀ BÀI Thời gian: 120 phút
Câu 1. (3.0 điểm)
12
Cho biểu thức:
2 3 2
:
1 2 2 2
x x x x x
P
x x x x x x
   
+ − − −
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − − −
   
g) Rút gọn P
h) CM:

1P
<
.
i) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2. (1.0 điểm) Tìm các số x,y thõa mãn:
2 2
( 1) 2 2 2 3 3 0x xy y y x y
+ + + + + − − =
Câu 3. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ 1 làm trong 3 giờ
và tổ 2 làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng việc
đó thì trong bao lâu thì xong?
Câu 4. (4.0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cố định AB < 2R. Gọi K là điểm chính giữa của
cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB ( N khác A,B). Nối KN và kéo
dài cắt (O) tại điểm thứ 2 là M.
e) CM: 2 tam giác AKN và MKA đồng dạng.
f) CM: AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM.
g) CM: Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM và BNM không
phụ thuộc vào vị trí điểm N.
h) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp
tam giác ANM và BNM, khi N di chuyển trên đoạn AB.
Giải
Câu 1.
13
0
/ 2 ( 1)( 2). :
4
2 3 2
:

1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
4 3 2 2 1
:
( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
0
1 3
/ ' ét: P-1= 1
4
2 2
: 0 3 0 à
x
a x x x x DK
x
x x x x x
P
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x
x x
b Vo i ta x
x
x x x x
Do x x m
≥

− − = + −

≠


   
+ − − −
⇒ = − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + − + − −
   
− − + + − + + −
= =
+ − + − + +
≥

− − −
− =

≠
+ + + +

≥ ⇒ − − <
3
2 0 0
2
1 0 1( )
0
1 2 1 1 4 4
/ ' 1 1
4
1 1 1
4
1 3

1
*) 1:0 1 0 1 1 1 0 à x+ 2 0 0(1)
*) 2 : 1 à 4
4
: 1 ê 1 0 à 0
1
Áp os 2 ô'
x
x x
x x
P P dpcm
x
x x x x
c Vo i x
x
P
x x x
x
x
TH x x x m x P
TH x v x
Do x n n x v
x
dung BDT C i cho s duong
− −
+ + > ⇒ <
+ +
⇒ − < ⇒ <
≥


+ + − + − +
⇒ = = = + + +

≠
− − −

= − + +
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ + > ⇒ ≤
> ≠
> − > >
−
ax
ó :
4 1 1
1 3 2 4 7 (2)
7
1
4
â ' " " 1 1 2 9( / )
1
1
: 9
7
M
ta c
x P
P
x
D u xay ra x x x t m

x
KL P x
− + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤
−
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
−
= ⇔ =
Câu 3.
• Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là: x (giờ, x>15)
14
• Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là:y (giờ, y>15)
Năng suất của tổ I là: 1/x (công việc)
Năng suất của tổ II là: 1/y (công việc)
Năng suất của cả 2 tổ là: 1/15 (công việc)
Ta có phương trình:
1 1 1
15x y
+ =
(1)
Trong 3 giờ tổ I làm được: 3/x (công việc)
Trong 5 giờ tổ II làm được: 5/x (công việc)
Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25% công việc =
1/4 ( công việc) ta có hệ phương trình:
1 1 1
1
1 1
24
15
15 24
. :

1
1
3 5 1 40
1
3 5
40
4
4
u
u v u
x
x y
x
Coi
y
v
v
u v
y
x y


 
+ =
=
+ = =


 
=


   
⇒ ⇒ ⇒
    
=

   
=
=
+ =
+ =
 
 
 


Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc.
Câu 4:
c) Vì K là điểm chính giữa cung AB nên: Cung AK= cung KB
IF
1
IF .
2
IF 1 1
ét ó : IF ( )
2 2
AB
Ke CE
CE AB
IN

X CNE c CE AB IN CN
CE CN
⊥

⇒ =

⊥

⊥ ⇒ = = ⇒ =V P
d) Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Ta có:

xAN AMN
xAN AMN
KAN AMN
∠ = ∠

⇒ ∠ = ∠

∠ = ∠

Ta có tia Ax và tia AK cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax
trùng với AK. Mà tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam
15
giác AMN nên tia AK cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
tam giác AMN.
e) Gọi O
1
;O
2

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN.
Kẻ đường kính KC của (O) ta có:
0
90CAK CA AK∠ = ⇒ ⊥
Vì AK là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O
1
) nên:
1 1 1
; ; àng.O A AK O A CA hay C A O thang h
⊥ ⇒ ≡
Tương tự chứng minh như câu b ta có BK là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác BMN. Và chứng minh tương tự ta cũng có C;O
2
;B
thẳng hàng. Xét tam giác O
1
AN có:
1 1 1 1 1
âO A O N R O AN c n O AN O NA
= = ⇒ ∆ ⇒ ∠ =
Vì KC là đường kính, K là điểm chính giữa của cung AB nên C là
điểm chính giữa của cung lớn AB => Cung CA= cung CB
=> CA=CB => Tam giác CAB cân tại C.
1 1
1 1
1 2
1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1 2 1

à
à à ông
ó : .
ét ó : à
ì ; ; àng
CAB CBA m CAN O NA CBA O NA
m CBA v O NAd vi O N CB
CM tuong tu ta c O C O N
O N CB
X O NO C c O NO C l hbh OC O N hay O C O B
O C O N
V C O A thang h AC CO O A AC O B O A
⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
∠ ∠ ⇒

⇒ ⇒ = =


⇒ = + ⇒ = +
P
P
P
W W
P
Do A và B cố định nên K cố định. Và K, O cố định nên C cố định. C
và A cố định nên CA không đổi.
Vậy O
1
A+O
2

B=AC ( không đổi)
f) Phần thuận:
Vì tứ giác O
1
NO
2
C là hình bình hành nên 2 đường chéo O
1
O
2
và CN
cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Từ I kẽ Ì vuông góc với AB
tại F. Gọi giao điểm của CK và AB là E. Vì CK là đường kính và K là
điểm chính giữa của cung AB nên CK vuông góc với AB tại E.
16
IF 1 1
ét ó : IF ( ) IF
2 2
, ô'
ô' ô ôi.
ô ô
NI
X AEF c CE AB CE
CE CN
C K c dinh
E c dinh CE kh ng d
AB kh ng d i
⊥ ⇒ = = ⇒ =

⇒ ⇒


=

V P
I thuộc đường trung bình PQ của tam giác CAB.
Giới hạn: - Nếu N trùng B thì I trùng Q
- Nếu N trùng A thì I trùng P
Vậy I thuộc đường trung bình PQ
*) Phần đảo:
Lấy I thuộc PQ. Nối CI kéo dài cắt AB tại N. KN cắt (O) tại M. Gọi
O
1
;O
2
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN ta cần chứng
minh I là trung điểm của O
1
O
2
.
Tương tự chứng minh ở câu c ta chứng minh được tứ giác O
1
NO
2
C là
hình bình hành. Vì N thuộc PQ ( c/m phần thuận)
IF
1
IF .
2

IF 1 1
ét ó:IF ( )
2 2
AB
Ke CE
CE AB
IN
X CNE c CE AB IN CN
CE CN
⊥

⇒ =

⊥

⊥ ⇒ = = ⇒ =
V P
 I là trung điểm của CN mà tứ giác O
1
NO
2
C là hình bình hành nên I
cũng là trung điểm của O
1
O
2.
Kết luận: Vậy khi N di động trên AB thì trung điểm I của đoạn nối tâm
O
1
,O

2
của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN chuyển động
trên đoạn PQ là đoạn trung bình của của tam giác ABC.
17
Đề 5)
18
19

Đề 6:
Trường THPT chuyên Hà Nội -
Amsterdam
Kỳ kiểm tra thử vào lớp 10
Năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán - Điều kiện
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2 điểm)
Cho biểu thức C =
x 1 4x 4 1 2x 2 x 1
1 : 1
5 4x 5 4x
2 x 1 1
   
− − + − + −
− − −
 ÷  ÷
− −
− −
   
.
a) Rút gọn C.

b) Tìm các giá trị của x để C < C
2
.
Bài II ( 2 điểm)
Cho phương trình: x
2
– (m + 1) x – m
2
– 3m – 4 = 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để tỷ số giữa 2 nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 1/2
Bài III ( 2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình:
2(m – 1)x + (m – 2)y = 2.
a) Tìm tọa độ của điểm mà (d) luôn đi qua khi m thay đổi.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài IV ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC, góc A = 60
0
, nội tiếp đường tròn (O, R), trực tâm H. Điểm I là trung điểm của
BC. Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại E và G. Hạ HM và HN tương ứng vuông góc với
AG và AE.
20
a) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là J. Chứng minh AJEG là hình thang
cân.
b) Đường thẳng HN cắt EG tại P. Chứng minh BC là trung trực HJ và HJEP là hình thang cân
c) Chứng minh 3 điểm N, M, I thẳng hàng.
d) Biết AG = AE. Tính các góc tam giác ABC. Khi đó chứng minh AB
2
+ AC

2
= 4R
2
Đề 7
Họ và tên Thí sinh: Chữ ký của Giám thị 1
Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 2
Trường THPT chuyên Hà Nội -
Amsterdam
Kỳ kiểm tra thử vào lớp 10
Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán - Tin
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (2 điểm)
Cho x = (
3
+ 1)
3
6 3 10−
–
7 4 3+
. Hãy tính A =
4 2
1999
x 4x 3
x
− +
Bài II (2 điểm)
Tìm điều kiện cần và đủ của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x m 2 y 3y my 1
y m 2 z 3z mz 2
z m 2 x 3x mx 3

= + − +


= + − +


= + − +



Bài III (2 điểm)
Trên mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích
tam giác bất kỳ được tạo từ 3 trong n điểm trên không vượt quá 1 (đơn vị diện tích). Chứng
minh rằng: n điểm đã cho có thể phủ bởi một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 4
Bài IV (4 điểm)
21
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm C trên đường tròn (khác A,
B). Tiếp tuyến Ax với đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C. Điểm M là điểm chính
giữa cung AC nhỏ. Dây AC và BM cắt nhau tại P. Tia BC cắt tia AM và Ax tại N và Q
a) Tam giác ABN là tam giác gì ?
b) Chứng minh tứ giác APNQ là hình thang
c) Gọi điểm K là điểm chính giữa của cung AB (không chứa C). Các điểm Q, M, K có thể

thẳng hàng không ?
d) Cho đường tròn (O’) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O) tại M. Tính
BC theo R
Đề 8)
Trường THPT chuyên Hà Nội -
Amsterdam
Đáp án Kỳ kiểm tra thử vào lớp 10
Năm học 2009 - 2010
Bài I (2 điểm) x = (
3
+ 1)
3
6 3 10−
-
7 4 3+
= -
3
→A =
4 2
1999
x 4x 3
x
− +
= 0
Bài II (2 điểm)
Đặt F(t) = (m + 2)t
2
– 3t + m ; G(t) = (m + 2)t
2
– 4t + m

Đ/k cần: Nếu (x
0
; y
0
; z
0
) là một nghiệm của hệ thì (z
0
; x
0
; y
0
) cũng là nghiệm → hệ có nghiệm
duy nhất khi nghiệm thỏa mãn x
0
= y
0
= z
0
. → nghiệm của hệ chính là nghiệm của pt: x
2
= (m +
2)x
3
– 3x
2
+ mx hay x.G(x) = 0 (4)
(x, y, z) = (0, 0, 0) là một nghiệm của hệ. Suy ra G(x) = 0 vô nghiệm
→ ∆
G

< 4 – m(m + 2) < 0. Ta được m < -1 -
5
, hoặc m > -1 +
5
(*)
Đk đủ:Ta cm (*) cũng là đk đủ. Từ (*) suy ra G(t) ≠ 0 mọi t và (m + 2)G(t) > 0 mọi t (5)
Từ điều kiện (*) ta có ∆
F
= 9 – 4m(m + 2) < 0 và (m+2)F(t) > 0 mọi t
Xét pt (1) có xF(x) = z
2
≥ 0 mọi x → (m + 2)x ≥ 0, kết hợp (5) suy ra xG(x) ≥ 0 mọi x
Tương tự, xét pt (2) ; (3) cũng có: yG(y) ≥ 0; zG(z) ≥ 0 với mọi y; z
Cộng vế ta có xG(x) + yG(y) + zG(z) ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 0 (đpcm)
Bài III (2 điểm)
22
Tập hợp các ∆ hữu hạn → tồn tại tam giác có diện tích lớn nhất.
Giả sử, ∆ ABC có diện tích lớn nhất. Qua các đỉnh vẽ các đường thẳng m
1
; m
2
; m
3
tương ứng //
BC, AC, AB. Chúng cắt nhau tạo thành ∆MNP. Có S
MNP
= 4S
ABC
≤ 4
Ta sẽ c/m đó là tam giác cần tìm.

Thật vậy, giả sử tồn tại điểm K
∉
∆
MNP. Không mất tổng quát, giả sử K thuộc 1/2 mặt phẳng
bờ m
1
không chứa C. Khi đó S
KBC
> S
ABC
. Trái với g.t ∆ABC có diện tích lớn nhất. Vậy Không
tồn tại K ngoài tam giác MNP. Suy ra đpcm
Bài IV (4 điểm)
a. ∆ABN là tam giác cân
b. Do NP // AQ
c. Không. Do nếu thẳng hàng thì QM là phân giác góc Q. Khi đó M là tâm đường tròn nội tiếp
∆QAC. Suy ra CM vuông góc CK. Vô lí
d. Vẽ (O’) ngoại tiếp ∆QMN. Ta có ∆O’MN = ∆OMA. Suy ra OBNO’ là hình bình hành. Suy ra
∆QO’N = ∆COB → QN = BC = x
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABQ ta có x . (2R + x) = 4R
2
Giải ra ta có x = - R + R
5
(do x > 0)
Đề 9)
23
24
N
M
I

K
O
D
C
B
A
25