Kiến thức toán hình học cần nhớ ppt

1. Mặt cầu S(O; R) là tập hợp {M  OM = R}.
•
Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi đường tròn khi quay quanh một đường kính
của nó.
2. Giao của mặt cầu S(O; R) và mp(P): Gọi d là khoảng cách từ O đến (P), H là hình
chiếu của O trên mp(P):
∀
− Nếu d < R thì giao là đường tròn nằm trên (P) có tâm H, bán kính r.
∀
− Nếu d = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H.
∀
− Nếu d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu.
3. Giao của mặt cầu S(O; R) và đường thẳng
∆
: Gọi d là khoảng cách từ O tới ∆. H là
hình chiếu của O trên ∆:
∀
− Nếu d < R thì đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
∀
− Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H. Các đường thẳng tiếp xúc với mặt
cầu tại H nằm trên tiếp diện với mặt cầu tại H.
∀
− Nếu d > R thì ∆ không cắt mặt cầu.
4. Về các tiếp tuyến của mặt cầu đi qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu :
∀
− Các đoạn thẳng nối A và các tiếp điểm bằng nhau.
∀
− Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn.
5. Hình cầu bán kính R có:

32
3
4
V ;4 RRS
ππ
==
A - Các kiến thức cần nhớ
I. MẶT CẦU

1. Mặt trụ T(
∆
; R) là tập hợp những điểm M cách đường thẳng
∆
một
khoảng R.
•
Mặt trụ là mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh
đường thẳng
∆
song song với l.
2. Hình trụ là phần mặt trụ T(
∆
; R) nằm giữa hai mặt phẳng phân biệt (P),
(P') vuông góc với
∆
, cùng với hai hình tròn giới hạn bởi hai đường
tròn (C) và (C') là giao tuyến của mặt trụ với hai mặt phẳng (P) và (P').
•
Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi bốn cạnh hình chữ nhật khi quay
quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.

3. S
xq
=2
π
Rl S
tp
= S
xq
+ S
đ
= 2
π
Rl+
π
R
2
4. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong hình trụ đó.
•
Khối trụ là hình tròn xoay sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả các điểm
nằm trong nó) khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ
nhật đó.
5. V =
π
R
2
h
II – MẶT TRỤ

1. Cho điểm O nằm trên đường thẳng
∆

. Mặt nón đỉnh O, trục
∆
, góc ở
đỉnh 2
α
< 180
o
là hình tạo bởi các đường thẳng đi qua O và hợp với
∆

một góc bằng
α
.
Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh
đường thẳng
∆
cắt l nhưng không vuông góc với l.
2. Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của tam giác cân khi
quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.

hrV
2

3
1
π
=
III. MẶT NÓN
2
tpxq

RπRlS ;πRlS
π
+=+==
đxq
SS
3. Khối nón là hình tròn xoay sinh bởi một hình tam giác vuông (kể cả
phần trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

P
O
A
A'
Bài 1.
CABRI
Gọi A’ là điểm đối xứng
của A qua mp (P) thì với
điểm O bất kì trên (P) ta có
OA’ = OA ⇒ A’ thuộc mặt
cầu tâm O bán kính OA.

I
H
A
C
B
S
O
I
CABRI
Bài 2

Tính AB, BC, CA rồi suy ra góc ABC vuông. Kẻ
SH vuông góc với mp(ABC), chứng minh H là
trung điểm của AC. Trong mp (ASC) kẻ đường
trung trực của SC cắt đường thẳng SH tại O, đó
là tâm cầu ngoại tiếp hình nón, R = OS = a.

CABRI
a) Gọi K là trung điểm của AB thì
OK ⊥ AB và O’K ⊥ AB. Vì (P) và
(P’) phân biệt nên O, K, O’ không
thẳng hàng ⇒ AB ⊥ (OKO’). Gọi ∆
và ∆’ lần lượt là trục của (O) và
(O’) thì ∆ và ∆’ cùng nằm trong
mp(OKO’) nên ∆ cắt ∆’ tại I – là
tâm mặt cầu qua (O) và (O’).
b) Áp dụng Định lí cosin vào
tam giác OKO’ ta tính được
∠OKO’ = 120
o
⇒ ∠OIO’ = 60
o

tương tự: cos∠KO’O =
sin∠OO’K =
Áp dụng định lí sin vào tam
giác IOO’ tính được OI =
⇒ R = IA =
21
7
21

7
2 3
37
Bài 3
21
7

CABRI
4
3
)
a
Ra
=
4
32
)
3
a
Rb
=
Bài 4

CABRI
2 2
1 2
1 1
;
3 3
V cb V bc

π π
= =
2 2
2
3
2 2
1 1
( )
3 3
b c
V AH BH CH
b c
π
π
= + =
+
Bài 5

CABRI
2
14 2
3
a
π
V=
S
tp
=14πa
2
Bài 6