Bài tập phương trình, bất phương trình mũ, logarit tóm tắt gọn gàng

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOGARIT
Dạng cơ bản:
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Dạng
( )
0,1
)()(
>≠= baba
xgxf
a. Nếu a=b thì f(x)=g(x).
b. Nếu a≠b thì logarit hoá cơ số a hoặc b 2 vế.
2. Dạng
( )
0,1)(log)(log >≠= baxgxf
ba
.
a. Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0.
b. Nếu a≠b và (a-1)(b-1)<1 thì tìm nghiệm duy nhất và chứng minh.
c. Nếu a≠b và (a-1)(b-1)>1 thì mũ hoá 2 vế.
II. Các bài tập áp dụng:
99.
125.3.2
21
=
−− xxx
100.
xx
3322
loglogloglog =
101.

xx
234432
loglogloglogloglog =
102.
xxx
332332
loglogloglogloglog =+
103.
2loglog3loglog
32 xx
≥
104.
2
)4(log
8
2
xx
x
≥
105.
xxx
x
lg25,4lg3lg
10
22
−−−
=
106.
2)1(
11

log)1(log
≤−+
++
− xx
xx
xx
107.
5lglg
505 x
x
−=
108.
126
6
2
6
loglog
≤+
xx
x
109.
x
x
=
+ )3(log
5
2
110.
1623
3

2
3
loglog
=+
xx
x
111.
x
x
x
−
+
=
2
2
3.368
112.
2
65
3
1
3
1
2
+
−+
>
x
xx
113.

xx
31
1
13
1
1
−
≥
−
+
114.
13
1
12
1
22
+
−
≥
x
x
115.
2551
2
<<
−xx
1
116.
( )
( )

12log
log
5,0
5,0
2
25
08,0
−
−
−








≥
x
x
x
x
117.
48loglog
22
≤+
x
x
118.

1log
5
log
2
55
=+ x
x
x

119.
( )
15log.5log
22
5
=
x
x
120.
5log5log
xx
x −=
121.
42log.4log
2
sin
sin
=
x
x
122.

12log.4log
2
cos
cos
=
x
x
123.
5)1(log2)1(4log
2
1)1(2
=+++
++
xx
xx
124.
03loglog
33
<−− xx
125.
( )
[ ]
05loglog
2
43/1
>−x
126.
3log2/5log
3/1 x
x ≥+

127.
14log.2log.2log
22
>x
xx
128.
0
5
34
log
2
2
3
≥
−+
+−
xx
xx
129.
0
2
1
loglog
2
3
6
>







+
−
+
x
x
x
130.
6log
1
2log.2log
2
16/
−
>
x
xx
131.
12log
2
≥x
x

132.
( )
193loglog
9
≤−

x
x
133.
1
2
23
log >
+
+
x
x
x

134.
( )
13log
2
3
>−
−
x
xx

135.
( )
2385log
2
>+− xx
x
136.

( )
[ ]
169loglog
3
=−
x
x
137.
xx
x 216
log2log416log3 =−
138.
364log16log
2
2
=+
x
x
139.
( )
1log
1
132log
1
3/1
2
3/1
+
>
+−

x
xx
2
140.
( )
101
log1
log1
2
≠<>
+
+
a
x
x
a
a
141.
( )
( )
103
5log
35log
3
≠<>
−
−
avíi
x
x

a
a
142.
05
10
1
2
1cos2sin2
7lgsincos
1cos2sin2
=+






−
+−
−−
+− xx
xx
xx
143.
( ) ( )
0
352
114log114log
2
3

2
11
2
2
5
≥
−−
−−−−−
xx
xxxx
144.
( ) ( )
31log1log2
2
32
2
32
=−++++
−+
xxxx
145.
xxxxxx
532532
loglogloglogloglog =++
146.
02)5(log6)5(log3)5(log
25/1
55
2
5/1

≤+−+−+− xxx

147. Với giá trị nào của m thì bất phương trình
( )
32log
2
2/1
−>+− mxx
có nghiệm và mọi
nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số
( )
2log1log
1
3
−+=
+
xxy
xx

148. Giải và biện luận theo m:
0100log
2
1
100log >−
mx
149.
( )
( )




>+
+<++−
+
22log
)122.7lg()12lg(2lg1
1
x
x
x
xx
150. Tìm tập xác định của hàm số
( )
10
2
5
2
log
2
1
2
≠<






+
−

+
= a
x
x
y
a
III. Các bài tập tự làm:
151.
3log29log4log
33
2
3
−≥+− xxx
152.
( )
4
162
2
2/1
log42log4log xxx −<+
153.
( )
0log213log
2
22
2
≤+−−+ xxx
154.
xx
x

x
coslogsinlog
2sin
cos
≥
Dạng bậc hai:
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Dạng
( )
01,00
13
)(
2
)(2
1
>≠≠=++ aaaaaaa
xfxf
đưa về phương trình bậc hai nhờ
phép đặt ẩn phụ
)( xf
at =
>0.
3
2. Dạng
( )
01,00)(log))(.(log
132
2
1
>≠≠=++ aaaxfaxfa

aa
đưa về phương trình
bậc hai nhờ phép đặt ẩn phụ
)(log xft
a
=
.
3. Với bất phương trình mũ và logarit cũng có phép đặt tương ứng, lưu ý khi gặp phương
trình hay bất phương trình logarit mà chưa phải dạng cơ bản thì cần đặt điều kiện.
II. Các bài tập áp dụng:
155.
0455
1
=+−
− xx
156.
0103.93 <−+
−xx
157.
8log2
16
1
4
1
4
1
>







−






− xx
158.
12
3
1
.9
3
1
/12/2
>






+







+ xx
159.
01228
332
=+−
+
x
x
x
160.
xxx
5555
12
+<+
+
161.
16
5
202222
22
=+++
−− xxxx
162.
( ) ( )
10245245 =−++
xx
163.

( ) ( )
3
2531653
+
=−++
x
xx
164.
( ) ( )
02323347 =+−−+
xx
165.
( ) ( )
14347347 ≥++−
xx
166.
( ) ( )
43232 =++−
xx
167.
( ) ( )
10625625
tantan
=−++
xx
168.
xxx /1/1/1
964 =+
169.
104.66.139.6 =+−

xxx
170.
010.725.24.5 ≤−+
xxx
171.
3
33
8154154
x
xx
≥++−
172.
02515.349
12212
222
≥+−
+−−+− xxxxxx
173.
2log
cos2sin
sin22sin3
log
22
77 xx
xx
xx
−−
=
−

174.
( )
2/1213log
2
3
=+−−
+
xx
x
175.
( )
2log2log
2
2
=++
+
xx
x
x

4
176.
( )
( )
( )
1log2
2log
1
13log
2

3
2
++=+−
+
xx
x
177.
( ) ( )
32log44log
1
2
12
−−=+
+xx
x

178.
( )
1323.49log
1
3
+=−−
+
x
xx
179.
( )
4log1log1
12 −
=−+

x
x
180.
( ) ( )
8
1
log14log.44log
2/1
2
1
2
=++
+ xx
181.
( ) ( )
222log12log
1
2/12
−>−−
+xx
182.
( ) ( )
1
1
1
2525
+
−
−
−≥+

x
x
x
183.
0
12
122
1
≤
−
+−
−
x
xx

184.
02cos
2
sinlogsin
2
sinlog
3
13
=







++






− x
x
x
x

185.
( )
( )
2
9
3
3
2
27
3log
2
1
log
2
1
65log −+







−
=+− x
x
xx
186. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình
( ) ( )
02log422log2
22
2
1
22
4
=−++−+− mmxxmmxx
lớn hơn 1.
187. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
0log1log
25
2
25
=++++
−+
xmmxx
.
188. Tìm m để phương trình
( ) ( )

02log422log2
22
2/1
22
4
=−++−+− mmxxmmxx
có 2
nghiệm u và v thoả mãn u
2
+v
2
>1
III. Các bài tập tự làm:
91. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình
12
3
1
3
3
1
1
12
>






+







+
xx
cũng là nghiệm của
bất phương trình (m-2)
2
x
2
-3(m-6)x-(m+1)<0. (*)
92.
( ) ( )
025353
2
22
21
22
≤−−++
−+
−−
xx
xxxx
93.
( ) ( )
312223 +−=+
xx

94.
1
23
23.2
2
≤
−
−
+
xx
xx
95.
04.66.139.6
222
222
≤+−
−−− xxxxxx
5
96.
( )
( )
022log.2log
2
2
2
≥−+
−x
x
97.
2

222
4log6log2log
3.24
xx
x =−
98.
( ) ( )
421236log4129log
2
32
2
73
=+++++
++
xxxx
xx
Sử dụng tính đơn điệu:
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Hàm số
x
ay =
đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1.
2. Hàm số
xy
a
log=
đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1.
3. Hàm số f(x) đơn điệu trên D và u, v thuộc D thì f(u)=f(v) tương đương u=v.
4. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên (a, b) thì phương trình f(x)=0 có tối đa 1
nghiệm trên đó.

II. Các bài tập áp dụng:
189.
x
x
4115 =+
190.
132
2
+=
x
x
191.
x
xxx
202459 ++=
192.
2112212
532532
+++−
++=++
xxxxxx
193.
9,2
5
2
2
5
/1
=







+






xx
(*)
194.
xxx
6321
11
<++
++
195.
( )
xxx
2
3
3
log21log3 =++
196.
2
2

2
)1(
12
log262
−
+
=+−
x
x
xx
197.
x
x
x
x
x
x
2
2
22
22
2
211
−
=−
−−
198.
( ) ( )
021223
2

=−+−−
xx
xx
199.
255102.25 >+−
xxx

200.
20515.33.12
1
=−+
+xxx
201. log
2
x+2log
7
x=2+log
2
x.log
7
x
202.
xx coslogcotlog2
23
=

203.
( )
5,1lg1log =+x
x

204.





=+
=+
)sin3(logcos31log
)cos3(logsin31log
32
32
xy
yx
6
205.
( )
( )
( )
( )





+−=−+
+−=−+
21log131log
21log131log
2

3
2
2
2
3
2
2
xy
yx
206.
( )
( )
xxxxxx 33lg36lg
22
++=−++−+
207. Chứng minh rằng nghiệm của phương trình
( )
xxx
4
4
6
loglog2 =+
thoả mãn bất
đẳng thức
x
x
ππ
16
sin
16

cos <
.
208. Tìm x sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi a:
( )
014log
2
>++− xaa
x
III. Các bài tập tự làm:
107.
( )
)2lg(46lg
2
++=−−+ xxxx

108.
)3(log)2(log)1(loglog
5432
+++=++ xxxx
109. Tìm nghiệm dương của bất phương trình
12
1036
1
−
>
−
+
xx
x
(*)

110.
( )
( )



=+
=+
246log
246log
xy
yx
y
x
111.
( )
0log213log
2
22
2
≤+−−+ xxx
Dạng tổng hợp:
I. Một vài lưu ý:
II. Các bài tập áp dụng:
209.
( )
016)1(log)1(4)1(log2
3
2
3

=−+++++ xxxx

210.
035)103(25.3
22
=−+−+
−−
xx
xx
211. Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
0loglog2
3
2
3
=+− axx

212.
( ) ( )
06log52log1
2/1
2
2/1
≥++++ xxxx
213.
( )
88
1214
−>−
−− xx
exxex

214.
62.3.23.34
212
++<++
+
xxxx
xxx

215.
( )
( )
( )
)4ln(32ln4ln32ln
22
xxxx −+−=−+−

216.
( ) ( )
x
xx
x
xx
x
2
log2242141
2
1272
22
+−−≤







−+−+

III. Các bài tập tự làm:
Trong các nghiệm (x, y) của bất phương trình
( )
1log
22
≥+
+
yx
yx
hãy tìm nghiệm có tổng x+2y
lớn nhất
7
xx
xxxxxxx 3.43523.22352
222
+−−>+−−
Tìm t để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
( )
13
2
1
log

2
2
>






+
+
+
x
t
t
Tìm a để bất phương trình sau thoả mãn với mọi x:
( )
02log
2
1
1
>+
+
ax
a
.
Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
1
32
2log2log.

2
2
2
2
<
−−
++
xx
xax
a
8