ĐỀ & ĐA THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 - SỐ 3

ĐỀ «n thi §h - c®
M«n: To¸n (khèi a),
n¨m häc 2009 - 2010
Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
C©u I (2.0 ®iÓm) Cho hàm số
23
23
+−= xxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
theo tham số m.
C©u II (2.0 ®iÓm )
1. Giải phương trình:
( )
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
2. Giải phương trình:
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x

log x log x log x .− + =
C©u III (1.0 ®iÓm) Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π
−
=
∫
C©u IV(1.0®iÓm) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng d:
3
2
12
1
−
+
==
− zyx
và mặt phẳng
012:)( =−++ zyxP
.Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P

. Viết phương
trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
C©u V:(1.0®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
)2;1;1(A
,
)2;0;2(B
. Tìm quỹ tích các
điểm cách đều hai mặt phẳng
)(OAB
và
)(Oxy
.
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
C©u VI.a(2.0 ®iÓm)
1. Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x

xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng minh rằng
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21

C©u VII.a(1.0 ®iÓm) Trong mặt phẳng
Oxy
cho
ABC∆
có
( )
0 5A ; .

Các đường phân giác và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Viết phương trình ba cạnh
của tam giác ABC.
B.Theo chương trình Nâng cao
C©u VI.b (2.0 ®iÓm)
1. Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
π
C©u VII.b (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC

là tam giác
đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
)(P

và hình chóp.
…HÕt ®Ò …
Hä vµ tªn thÝ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… …………… ; Sè b¸o danh:. . . . . . . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2y x x .= − +
• Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.=
• Sự biến thiên:
2
3 6y' x x.= −
Ta có
0
0
2
x
y'

x
=

= ⇔

=

0,25
•
( ) ( )
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .= = = = −
0,25
• Bảng biến thiên:
x
−∞
0 2
+∞
y'


+
0
−
0
+

y
2

+∞
−∞

2−
0,25
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
b)
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
theo tham số m.
• Ta có
( )
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−
Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của

( )
( )
2
2 2 1y x x x , C'= − − −
và đường
thẳng
1y m,x .= ≠
0,25
• Vì
( )
( )
( )
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
>

= − − − =

− <


nên
( )
C'
bao gồm:

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x .
=
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x
=
qua Ox.
0,25
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Dựa vào đồ thị ta có:
+
2m :< −
Phương trình vô nghiệm;
+
2m := −
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
2 0m :− < <
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0m :≥
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
0,25
Câu II 2 điểm
a)
Giải phương trình
( )
2

3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
• Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )
2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x+ − + =
0,75
• Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 2
2 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ; x k ; x ; x
π π π π π π
π π
= − + = + = + = +
0,25
b)
Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .− + =
• Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ; x ;x ; x .> ≠ ≠ ≠

• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho

0,25
• Với
1x ≠
. Đặt
2
x
t log=
và biến đổi phương trình về dạng
0,5
2 42 20
0
1 4 1 2 1t t t
− + =
− + +
• Giải ra ta được
1 1
2 4
2
2
t ;t x ; x .= = − ⇒ = =
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ; x .= =
0,25
Câu III 1.0 điểm
a)
Tính tích phân
3

2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π
−
=
∫
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 3
3
3
3 3
1 4
3
x dx
I xd J ,
cosx cosx cosx
π π
π
π
π π
π
−
− −
 
= = − = −
 ÷

 
∫ ∫
với
3
3
dx
J
cosx
π
π
−
=
∫
0,25
• Để tính J ta đặt
t sin x.=
Khi đó
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
1 2 1

2 3
dx dt t
J ln ln .
cosx t t
π
π
−
−
−
− −
= = = − = −
− +
+
∫ ∫
0,5
• Vậy
4 2 3
3
2 3
I ln .
π
−
= −
+
0,25
Câu IV 1.0 điểm
Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P

. Viết phương
trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
• Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;
 
−
 ÷
 
0,25
• Ta có
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 1 1 1 2 0
d P d p
u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;
∆
 
= − = ⇒ = = −
 
uur uur uur uur uur
0,5
• Vậy phương trình đường thẳng

∆
là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t; z .∆ = + = − = −
0,25
Câu V 1.0 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
)2;1;1(A
,
)2;0;2(B
. Tìm
quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng
)(OAB
và
)(Oxy
.
( ) ( )
, ; ; ; ;2 2 2 2 1 1 1OA OB
 
= − = −
 
uuur uuur
( )
: 0OAB x y z⇒ + − =
.
( )

: 0Oxy z =
.
( )
; ;N x y z
cách đều
( )
OAB
v à
( )
Oxy

( )
( )
( )
( )
, ,d N OAB d N Oxy⇔ =
1
3
x y z z+ −
⇔ =

( )
( )
.
3 1 0
3
3 1 0
x y z
x y z z
x y z


+ − + =

⇔ + − = ± ⇔

+ + − =


Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình
( )
3 1 0x y z+ − + =
v à
( )
3 1 0x y z+ + − =
.
0.25
0.5
0.25
Câu VIa 2.0 điểm
1.
Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

)(xf
và chứng
minh rằng
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
• Ta có
x
f ( x ) e x cos x.
′
= + −
Do đó
( )
0
x
f ' x e x cos x.= ⇔ = − +
0,25
• Hàm số
x
y e=
là hàm đồng biến; hàm số
y x cosx= − +
là hàm nghịch biến
vì
1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀
. Mặt khác
0=x
là nghiệm của phương trình
x
e x cos x= − +
nên nó là nghiệm duy nhất.

0,25
• Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
(học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
• Từ bảng biến thiên ta có
( )
2 0min f x x .= − ⇔ =
0,5
Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng
minh rằng
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
• Ta có
x
f ( x ) e x cos x.

′
= + −
Do đó
( )
0
x
f ' x e x cos x.= ⇔ = − +
0,25
2.
. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Câu
VII.a
1.0 điểm
Trong mặt phẳng
Oxy

cho
ABC∆
có
( )
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
• Ta có
( )
1 2
2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .= ∩ ⇒ − − ⇒ − + =
0,25
• Gọi
A'
đối xứng với A qua
( ) ( )
1
2 3 4 1d H ; , A' ; .⇒

0,25
• Ta có
3 1 0A' BC BC : x y .∈ ⇒ − − =
0,25
• Tìm được
( )

28 9 7 35 0C ; AC : x y .⇒ − + =
0,25
Câu VI.b 2.0 điểm
1.
Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
• Biến đổi phương trình đã cho về dạng
2 2 2 2
9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .+ = −
0,5
• Từ đó ta thu được
3
2
3 2 2
2
39 39

x
x log
 
= ⇔ =
 ÷
 
0,5
2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x,
x =
2
π
Ta có: x.sin2x = 2x
⇔
x.sin2x – 2x = 0
⇔
x(sin2x – 2) =0
⇔
x = 0
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ:
∫∫
−=−=
2
0
2
0
)22(sin)22sin.(
π
π
dxxxdxxxxS

Đặt





−
−
=
=
⇒



−=
=
x
x
v
dxdu
dxxdv
xu
2
2
2cos
)22(sin
44424
222
πππππ
−=+−=⇔ S

(đvdt)
0.5
0.5
Câu
VII.b
1.0 điểm
Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam
giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.⊥
Gọi
I AC' SO.= ∩

0,25
• Kẻ

B' D'
//
BD.
Ta có
2
1 1 2 3 3
2 2 3 2 6
AD' C' B'
a a
S B' D' .AC' . BD. .= = =
0,5