tài liệu vẽ kĩ thuật 2a chương 4 - sự tương giao

CHƯƠNG 4:
SỰ TƯƠNG GIAO
•
4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
•
4.4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT
4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
4.3.1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG
HÌNH CHIẾU:
a) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng:
Định nghĩa:
Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là lấy
mặt phẳng P
2
’ P
1
làm mặt phẳng hình
chiếu bằng mới.
Gọi x’ = P
1
P
2
’ là trục hình chiếu mới.
Tính chất:
Hình chiếu đứng A
1
của A không thay
đổi.
Độ xa mới bằng độ xa cũ:
A
2

’A
x
= A
2
A
x
= AA
1
Cách thực hiện:
Chọn mặt phẳng P
2
’ P
1
(vạch trục x’).
Vẽ hình chiếu bằng mới (vẽ đường
dóng mới x’ và chuyển độ xa).
⊥
∩
⊥
⊥
Ta xét một vài thí dụ:
Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB
(A
1
B
1
, A
2
B
2

). Thay mặt phẳng
hình chiếu bằng sao cho trong
hệ thống mới mặt phẳng hình
chiếu mới AB là đường bằng.
Giải: Điều kiện ắt có và đủ để
AB là đường bằng A
1
B
1
là phải
song song với trục hình chiếu.
Do đó chọn x’ // A
1
B
1
.
Hình chiếu bằng mới của đoạn
thẳng là A
2
’B
2
’.
A
1
B
1
A
2
B
2

x
B
2
’
x’
A
2
’
A
x
B
x
A
x
’
B
x
’
•
Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC.
Thay mặt phẳng hình chiếu bằng
sao cho trong mặt phẳng hình
chiếu mới ABC là mặt phẳng
chiếu bằng.
•
Giải: Mặt phẳng P
2
’ phải chọn
vừa vuông góc với ABC vừa
vuông góc với P

1
nên nó vuông
góc với một đường mặt của mặt
phẳng ABC. Do đó trục hình
chiếu mới x’ phải vuông góc với
hình chiếu đứng của đường mặt
của ABC.
Ta có các bước vẽ:
•
Vẽ một đường mặt bất kỳ của
ABC, ví dụ đường mặt AE.
•
Vẽ x’ A
1
E
1
.
•
Hình chiếu bằng mới của ABC là
A
2
’B
2
’C
2
’.
⊥
a) Thay mặt phẳng hình chiếu đứng:
Định nghĩa:
Thay mặt phẳng hình chiếu đứng

là lấy mặt phẳng P
1
’ P
2
làm mặt
phẳng hình chiếu đứng mới.
Gọi x’ = P
2
P
1
’ là trục hình chiếu
mới.
Tính chất:
Hình chiếu bằng A
2
của A không
thay đổi.
Độ cao mới bằng độ cao cũ:
A
1
’A
x
= A
1
A
x
= AA
2
Cách thực hiện:
Chọn mặt phẳng P

1
’ P
2
(vạch trục
x’).
Vẽ hình chiếu đứng mới (vẽ
đường dóng mới x’ và chuyển độ
cao).
⊥
⊥
⊥
∩
•
Một vài thí dụ áp dụng:
• Thí dụ 1: Thay mặt phẳng hình
chiếu đứng để đường bằng AB
trở thành đường thẳng chiếu
đứng.
•
Giải: Để đường bằng AB trở
thành đường thẳng chiếu đứng
phải chọn x’ A
2
B
2
.
•
Hình chiếu đứng mới của AB
trùng thành một điểm, cách x’
một đoạn bằng độ cao của

đường bằng trong hệ thống cũ.
⊥
•
Thí dụ 2: Thay mặt phẳng hình
chiếu đứng để mặt phẳng chiếu
bằng ABC trở thành mặt phẳng
mặt.
• Giải: ABC trở thành mặt phẳng
mặt khi và chỉ khi A
2
B
2
C
2
song
song với trục hình chiếu.
•
Do đó ta chọn x’ // A
2
B
2
C
2
.
c) Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu:
Nhiều bài toán nếu chỉ thực hiện một phép thay mặt
phẳng hình chiếu đối tượng vẫn chưa có được vị trí đặc
biệt đối với mặt phẳng hình chiếu. Trong trường hợp như
vậy cần thực hiện liên tiếp hai phép thay mặt phẳng hình
chiếu.

• Thí dụ 1: Tìm độ lớn thực của tam giác ABC.
• Giải:
- Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
để mặt
phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng chiếu đứng
mới bằng cách chọn trục x’ A
2
D
2
(A
2
D
2
là hình
chiếu bằng của đường bằng AD thuộc mặt
phẳng (ABC)).
- Thay mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
để mặt
phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng bằng mới
bằng cách chọn trục x’’//B
1
’C
1
’.
- Độ lớn tam giác A
2
’B
2

’C
2
’ bằng độ lớn thực
của tam giác ABC trong không gian.
A
1
B
1
C
1
D
1
x
A
2
B
2
D
2
C
2
x’
C
1
’
B
1
’
A
1

’ D
1
’
x’’
C
2
’
B
2
’
A
2
’
⊥
≡
Phép quay quanh một trục:
Khái niệm cơ bản:
Định nghĩa:
Quay một điểm M quanh trục d
một góc có hướng là biến điểm
M thành điểm M’ thõa mãn các
điều kiện sau:
1. M và M’ cùng thuộc mặt phẳng
P vuông góc với trục quay d.
2. Khoảng cách của M và M’ đến d
bằng nhau: OM = OM’= r.
3. Góc MOM’ =
Tính chất:
Cặp điểm tương ứng (M, M’) nằm
trên một đường tròn thuộc mặt

phẳng vuông góc với trục d.
Trong phép quay để xác định hình
tương ứng của hình gốc chỉ cần
quay các yếu tố đủ xác định hình
đó.
α
α
• Phép quay quanh đường thẳng chiếu:
• Quay quanh đường thẳng chiếu bằng:
- Trong phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng t, cặp điểm tương
ứng (M, M’) có:
- Hình chiếu đứng (M
1
, M
1
’) nằm trên một đường thẳng song song
với trục x.
- Hình chiếu bằng (M
2
, M
2
’) nằm trên một đường tròn có tâm là hình
chiếu bằng t
2
của trục t.
• Quay quanh đường thẳng chiếu đứng:
- Trong phép quay quanh đường thẳng chiếu đứng t, cặp điểm
tương ứng (M, M’) có:
- Hình chiếu bằng (M
2

, M
2
’) nằm trên một đường thẳng song song
với trục x.
- Hình chiếu đứng (M
1
, M
1
’) nằm trên một đường tròn có tâm là
hình chiếu đứng t
1
của trục t.
x
M
1
M
1
’
M
2
M
2
’
O
1
t
1
≡
O
2

t
2
•
4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH PHẲNG
QUANH ĐƯỜNG BẰNG HAY ĐƯỜNG
MẶT CỦA NÓ:
•
Mục đích:
•
Đưa mặt phẳng về vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu:
phương pháp quay hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt
của nó.
•
Để quay một hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó
ta chỉ cần quay một điểm của mặt phẳng ấy.
•
Quay mặt phẳng quanh đường bằng của nó:
Mục đích: đưa mặt phẳng đến vị trí song song với mặt phẳng hình
chiếu bằng.
Để quay mặt phẳng R(A, b) quanh đường bằng b của nó tới vị
trí //P
2
chỉ cần quay điểm A là đủ.
- Xác định tâm quay của A: AO b  A
2
O
2
b
2
.

- Xác định bán kính quay: AO = O
2
.
- Vì sau khi quay Q trở thành mặt phẳng bằng nên:
A
2
’O
2
=AO= O
2
.
A
A
⊥ ⊥
• Quay mặt phẳng quanh đường
mặt của nó:
Mục đích: đưa mặt phẳng đến vị
trí song song với mặt phẳng hình
chiếu đứng.
Để quay mặt phẳng R(A, b) quanh
đường mặt m của nó tới vị trí //P
1

chỉ cần quay điểm A là đủ.
- Xác định tâm quay của A: AO m
 A
1
O
1
m

1
.
- Xác định bán kính quay:
AO = O
1
.
- Vì sau khi quay Q trở thành mặt
phẳng mặt nên:
A
1
’O
1
=AO= O
1
.
A
A
⊥
⊥
•
Ta xét một vài thí dụ:
• Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB là
đường bằng. Hãy quay mặt phẳng ABC
quanh AB để ABC trở thành song song với
mặt phẳng hình chiếu bằng.
•
Giải: Ta chỉ cần quay C quanh AB về vị
trí C’ sao cho ABC’ song song với P
2
.

Để xác định C’ ta dựa vào các điều kiện 1
và 2 của phép quay một điểm quanh đường
thẳng.
Điểm C và điểm C’ nằm trong mặt phẳng
vuông góc với AB (điều kiện 1). Vì AB là
đường bằng nên mặt phẳng ấy là mặt
phẳng chiếu bằng. Do đó:
C
2
C
2
’ A
2
B
2
.
Gọi O
2
= C
2
C
2
’ A
2
B
2
. O
2
chính là hình
chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm

của AB với mặt phẳng chiếu bằng chứa
CC’).
OC’ = OC (điều kiện 2). Từ điều kiện này
ta dễ dàng xác định được C
2
’ khi biết độ
dài của OC.
⊥
∩
•
Thí dụ 2: Xác định độ lớn
thật của tam giác ABC.
•
Giải: Vẽ trong mặt phẳng
Q (ABC) đường bằng b qua
A, D.
•
Quay Q quanh b tới vị trí trở
thành mặt phẳng bằng. Chỉ
cần quay điểm B tới vị trí B’.
•
Khi đó điểm C sẽ tới vị trí C
2
’
thõa mãn:
C
2
’ B
2
’D

2
(D b nên D
2
D
2
’)
C
2
C
2
’ b
2
.
•
Độ lớn tam giác A
2
B
2
’C
2
’
bằng độ lớn tam giác ABC
trong không gian.
∈ ∈
≡
⊥
• Nếu trong phép quay mặt phẳng quanh đường bằng hay đường mặt
nói trên, đường bằng hay đường mặt tương ứng là vết bằng hay vết
đứng của mặt phẳng thì phép quay được gọi là phép gập mặt phẳng
vào mặt phẳng hình chiếu bằng hay vào mặt phẳng hình chiếu đứng

(đưa P tới vị trí trùng với mặt phẳng hình chiếu bằng hay mặt
phẳng hình chiếu đứng).
• Gập mặt phẳng vào mặt phẳng hình chiếu:
• Gập mặt phẳng vào mặt phẳng hình chiếu bằng:
•
Khi gập mặt phẳng vào vết bằng, P
2
và điểm O=V
1
P V
2
P không đổi.
Để xác định hình gập của vết đứng ta chỉ cần tìm hình gập A’ của
một điểm A V
1
P. Hình chiếu bằng A
2
’ của điểm A’ phải thõa mãn 2
điều kiện:
•
A
2
A
2
’ V
2
P.
•
A
2

’O=A
1
O=AO.
∈
⊥
∩
• Gập mặt phẳng vào mặt phẳng hình chiếu đứng:
•
Khi gập mặt phẳng vào vết đứng, P
1
và điểm O=V
1
P V
2
P không đổi.
Để xác định hình gập của vết đứng ta chỉ cần tìm hình gập N’ của
một điểm N V
2
P. Hình chiếu đứng N
1
’ của điểm N’ phải thõa mãn 2
điều kiện:
•
N
1
N
1
’ V
1
P.

•
N
1
’O=N
2
O=NO.
⊥
∈
∩
•
Thí dụ 3: Cho mặt phẳng P
(V
1
P,V
2
P) và đoạn thẳng AB P.
Dựng một tam giác đều ABC nằm
trong P.
•
Giải: Dùng phép gập P vào P
2

quang vết bằng V
2
P của nó.
•
Hình gập của vết đứng V
1
P xác
định bởi điểm O và điểm M

2
’ (M
2
’
là hình gập của điểm
M V
1
P).
• Hình gập của đoạn thẳng AB là
A’B’ xác định nhờ hai điểm
I = AB V
1
P và J = AB V
2
P.
•
Hình gập của tam giác đều ABC
cũng là một tam giác đều. Do
vậy, chỉ cần dựng tam giác đều
A’B’C’ rồi xác định các hình
chiếu (C
1
, C
2
) của đỉnh C bằng
cách gắn C vào đường thẳng BK
của mặt phẳng P.
∈
∈
∩ ∩

4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC
MẶT
4.4.1. GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT:
a) Giao của mặt phẳng với đa diện:
•
Giao của mặt phẳng với đa diện thường là một đa giác có
cạnh là các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với
mặt phẳng và có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh
của đa diện với mặt phẳng.
•
Để xác định giao của mặt phẳng với đa diện, ta có thể:
- Xác định các đỉnh của giao
- Xác định các cạnh của giao
•
Thí dụ 1: Vẽ giao của mặt
phẳng chiếu đứng Q với mặt
chóp S.MNP
•
Giải: Ta tìm các đỉnh của giao
bằng cách tìm giao điểm của
từng cạnh bên của mặt chóp với
mặt phẳng chiếu đứng Q.
•
Gọi A=SM Q,
có A
1
=S
1
M
1

V
1
Q  A
2
S
2
M
2
•
Tương tự, gọi B= SN Q,
C=SP Q.
•
Giao của mặt phẳng Q với mặt
chóp là tam giác ABC.
∩
∩
∈
∩
∩
• Thí dụ 2: Vẽ giao của mặt
phẳng Q với lăng trụ chiếu
bằng (a, b, c).
• Giải: Gọi M, N, P là giao
điểm của các cạnh bên a, b,
c của lăng trụ với Q.
•
Vì các cạnh a, b, c là chiếu
bằng nên M
2
a

2
, N
2
b
2
,
P
2
c
2
.
•
Tìm M
1
,

N
1
, P
1
bằng cách
gắn M, N, P vào các đường
mặt của Q.
• Giao cần vẽ là tam giác
MNP.
≡ ≡
≡
• Thí dụ 3: Vẽ giao tuyến
của mặt phẳng R với mặt
chóp S.ABC.

• Giải: Thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để R trở
thành mặt phẳng chiếu
đứng (x’ V
2
R)
• Giải bài toán ở hệ thống
mới (P
1
’, P
2
).
•
Đưa kết quả về hệ thống
cũ.
⊥