Tuyển tập học sinh giỏi phan co

Bài 1: (Cơ - 3 điểm) (HSG ĐB Sông Cửu Long)
a. Tìm thời gian tối thiểu để một vận động viên lái môtô vượt qua một khúc quanh có độ dài bằng
1
3
đường tròn bán kính R.
Cho hệ số ma sát nghỉ giữa bánh xe và mặt đường là µ, mặt đường được làm nghiêng một góc α so với mặt phẳng nằm ngang.
b. Tính công suất giới hạn của động cơ lúc ấy. Coi các bánh xe đều là bánh phát động.
Giải
a.
msn
ma P R P N F= + = + +
r ur ur ur uur uuuur
(1) (0,25đ)
Chiếu lên Oy:
0 sin cos
msn
mg F N
α α
= − − +
cos sin sin
cos sin
msn
mg N F N
mg
N
α α µ α
α µ α
⇔ − + = ≤
⇒ ≤
−
(2) (0,5đ)

Chiếu lên Ox:
2
max
cos sin cos sin
msn
mV
F N N N
R
α α µ α α
= + ≤ +
(3) (0,25đ)
Từ (2) và (3)
( ) ( )
max
1 1
gR tg gR tg
V V
tg tg
µ α µ α
µ α µ α
+ +
⇒ ≤ ⇒ =
− −
(0,5đ)
Vậy vận động viên chạy đều với tốc độ tối đa, ta có tmin là:
( )
( )
( )
min
max

1
2 1 2
3 3
R tg
s R tg
t
V gR tg g tg
µ α
π µ α π
µ α µ α
−
−
= = =
+ +
(0,5đ)
b. Ta có: P = F.V
Pmax khi
max
max
msn
F F N
V V
µ
= =


=

(0,25đ)
( )

max
cos sin 1
gR tg
mg
P
tg
µ α
µ
α µ α µ α
+
=
− −
(0,5đ)
Bài 4: (Dao động điều hòa - 3 điểm)
Từ điểm A trong lòng một cái chén tròn M đặt trên mặt sàn phẳng nằm ngang, người ta thả
một vật m nhỏ (hình vẽ). Vật m chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng, đến B thì quay lại.
Bỏ qua ma sát giữa chén M và m.
a. Tìm thời gian để m chuyển động từ A đến B. Biết A ở cách điểm giữa I của chén một
khoảng rất ngắn so với bán kính R. Chén đứng yên.
b. Tính hệ số ma sát nghỉ giữa chén và sàn.
Giải
a. Ta có:
ma P N= +
r ur uur
* Chiếu lên phương tiếp tuyến:
sin
t
x
ma P mg
R

α
= − ≈
(0,25đ)
N
R
P
F
msn
R
α
O
x
y
m
I
M
A
N
M
F
msn
P
M
N
'
N
O
O
y
x

α
" 2
0x x
ω
⇒ + =
Với:
2
g
R
ω
=
(0,25đ)
Từ đó cho thấy m dao động điều hoà, thời gian đi từ A đến B là
1
2
chu kỳ dao động.
2
T R
t
g
π
∆ = =
(0,25đ)
b. Chén đứng yên nên:
'
0
M M msn
P N N F+ + + =
uur
uur uuur uuuur r

(1)
* Chiếu (1) lên phương Oy:
'
cos 0
M M
P N N
α
− + − =
Với N' = N (2) (0,25đ)
Ở góc lệch α, Với m có:
( )
2 2
2 2
0 0
cos cos
cos cos
2 2
mV mV
N mg N mg
R R
mV mV
mgh mgh mgR
α α
α α
 
= − = +
 
 
⇔
 

 
+ = = −
 
 
(0,25đ)
( )
0
3cos 2cosN mg
α α
⇒ = −
(3) (0,25đ)
Từ (2) và (3) ta được:
( )
0
cos 3cos 2cos
M
N Mg mg
α α α
= + −
(4) (0,25đ)
* Chiếu (1) lên Ox:
'
sin 0 sin
msn msn
N F N F N
α α µ
− = ⇔ = ≤
(0,25đ)
max
min

( sin )
sin
( )
M M
N
N
N N
α
α
µ
⇔ ≥ ≥
(0,25đ)
( )
( )
0
0
sin 3cos 2cos sin
cos 3cos 2cos
M
N mg
N Mg mg
α α α α
α α α

= −


= + −



α0 bé; α ≤ α0 (0,25đ)
( )
min
max
sin ;( )
M
N N
α
⇒
khi α = α0 (0,25đ)
Vậy:
( )
2
sin 2
2 cos
m
M m
α
µ
α
≥
+
(0,25đ)
Câu 4:(HSG Kiên Giang):
Ba quả cầu có thể trượt không ma sát trên một thanh cứng,mảnh nằm ngang.Biết khối lượng 2 quả cầu 1 và 2 là
1 2
m m m= =
;lò xo có độ cứng K và khối lượng không đáng kể.Quả cầu 3 có khối lượng
3
2

m
m =
.Lúc đầu 2 quả cầu 1,2 đứng yên,lò xo có
độ dài tự nhiên
0
l
.Truyền cho
3
m
vận tốc
0
v

đến va chạm đàn hồi vào quả cầu 1
Sau va chạm,khối tâm G cuả các quả cầu 1,2 chuyển động như thế nào?Tìm vận tốc
cuả G.
Chứng minh rằng hai quả cầu 1 và 2 dao động điều hoà ngược pha quanh vị trí cố
định đối với G.Tìm chu kỳ và biên độ dao động cuả các vật.
ĐÁP ÁN
a.Chuyển động cuả khối tâm G:
Vì quả cầu 3 va chạm đàn hồi với quả cầu 1 và hệ kín nên động lượng(theo phương ngang) và động năng được bảo toàn.Gọi
1 3
,v v
là vận tốc quả cầu 1 và 3 sau va chạm,ta có:

0 1 3
2 2
m m
v mv v
= +

(1)
2 2
2
0 3
1
2 2 2 2 2
v v
mvm m
= +
(2)
2 2
3 0 3 0
3 2v v v v
⇒ − −
(3)
(3) có nghiệm
3 0
v v
=
(loại vì vô lý) và
0
3
3
v
v
= −
(4) Đưa (4) vào (1) ta có:
0
1
2

3
v
v
=

m
I
M
A
N
M
F
msn
P
M
M
N
'
N
O
O
y
x
α
1
2
3
0
v


Hệ hai quả cầu 1 và 2 là hệ cô lập nên khối tâm G chuyển động thẳng đều.Từ toạ độ khối tâm,ta có :
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
G
G G
dx
m x m x m v m v
x v
m m dt m m
+ +
= → = =
+ +
(6) (0,25đ)
Sau va chạm:
0
1
2
3
v
v
=
và
2
0v
=
nên (6) cho ta:
0
1
1 2
2

3
G
v
m
v
m m
=
+
=
0
0
2
3
3
v
m
v
m m
=
+
(7)
b.Dao động cuả quả cầu 1 và 2
+Chọn trục toạ độ Ox nằm ngang,gốc O trùng với khối tâm G cuả hai quả cầu
+Khi lò xo chưa biến dạng,gọi
1 2
0 ,0
là vị trí cân bằng cuả hai quả cầu.Lúc đó
1 2
,x x
là toạ độ cuả hai quả cầu.Toạ độ cuả

khối tâm là :

1 1 2 2
1 2
0
G
m x m x
x
m m
− +
= =
+
Với
1 2
m m
=
thì
1 2
2
l
x x
= =

Phương trình chuyển động cuả
1
m m=
là:
'
'' ' ''
0

K
mx K x x x
m
= − → + =
(8)
Do khối tâm đứng yên và luôn có
1 2
2
l
x x
= =
nên ta coi G là nơi buộc chặt cuả hai con lắccó khối lượng
1 2
,m m
và chiều dài
lò xo là
2
l

Độ cứng cuả lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài nên K’ = 2 K,nên (8) viết là:
''
2
0
K
x x
m
+ =
Tần số góc cuả dao động là :
1
2K

m
ω
=
Chu kỳ dao động :

1
1
2
2
2
m
T
K
π
π
ω
= =
Tương tự,m2 có chu kỳ dao động :
2
2
2
m
T
K
π
=

Hai dao động này ngược pha nhau
Vận tốc cuả quả cầu 1 và 2 đối với khối tâm:

0 0 0
1 1
2
3 3 3
G G
v v v
v v v
= − = − =

0 0
2 2
0
3 3
G G
v v
v v v
= − = − = −

Cơ năng bảo toàn nên biên độ dao động được tính:

2
2
1 1 0
1
1
2
2 2 3 2
G
m v v
KA m

A
K
= → =

2
2
2 2 0
2
2
2
2 2 3 2
G
m v v
KA m
A
K
= → =

Câu 4 : (Tiền Giang)
Một hình trụ đặc đồng chất, có trọng lượng P, bán kính r đặt trong một mặt lõm bán kính cong R như hình vẽ. Ở điểm
trên hình trụ người ta gắn hai lò xo có độ cứng như nhau.
Tìm chu kỳ dao động nhỏ của hình tru với giả thiết hình trụ lăn
không trượt . Xét trường hợp: không có lò xo, khi mặt lõm là mặt
phẳng.
Giải:
Gọi
θ
là góc quay quanh trục C của trụ,
1
ω

là vận tốc góc của chuyển
động quay quanh trục và V là vận tốc tịnh tiến của trục.
R
k
r
R
k
ϕ
θ
A
A’
B
1
B
C
O
1
v
'
r
= =

Mt khỏc, ta cú:
( )
v ' R r=

)()(.
/
1
rRrrRr ==

ng nng:
( ) ( )
2
2 2
2
d 1
mv 1 3
E I m R r '
2 2 4
= + =
với
2
2
1
mrI =

Th nng:
( )
2
2
t
2kx 1
E mg R r
2 2
= +

( )
x r (R r) 2 R r= + =

Do ú:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2 2
t
1 mg
E k.4 R r mg R r 4k R r
2 2 R r

= + = +




C nng: E = E
t
+ E
d
= const . Ly o hm hai v
( )
( )
2
2
3 mg
m ' 4k 0
4 2 R r

+ + =

( )
( )
mg
4k
2 R r
16k 2g
3
3m 3 R r
m
4
+

= = +


Vy chu k dao ng T =
m
k
rR
g 16
)(3
2
22
+

=




Trng hp riờng: - Khi k = 0 thỡ
( )
2g
3 R r
=


- Khi R thỡ :
16k
3m
=

Bài 4 (HSG Lao Cai): Con lắc lò xo đặt thẳng đứng (nh hình vẽ 4), đầu dới gắn chặt vào mặt sàn, đầu trên gắn vật m
1
= 300g
đang đứng yên ở vị trí cân bằng, độ cứng của lò xo là k = 200 N/m. Từ độ cao h = 3,75cm so với m
1
, ngời ta thả rơi tự do vật
m
2
= 200 g, va chạm mềm với m
1
. Sau va chạm cả hai vật cùng dao động điều hoà theo phơng thẳng đứng. Lấy g = 10 m/s
2

, bỏ
qua mọi ma sát.
a. Tính vận tốc của m
1
ngay sau va chạm.
b. Hãy viết phơng trình dao động của hệ hai vật m
1
và m
2
.
GIAI
a. Vận tốc của m
2
ngay trớc va chạm :
)/(866,0
2
3
2 smglv ==
* Xét hệ hai vật m
1
và m
2
ngay trớc và sau va chạm, theo định luật bảo toàn động lợng ta có :
2
2 1 2 0 0
1 2
. 3
( ). ( / ) 20 3( / )
5
m v

m v m m v v m s cm s
m m
= + = =
+
Vì va chạm mềm nên ngay sau va chạm cả hai vật chuyển động cùng vận tốc là
)/(320
0
scmv =
b. Chọn trục toạ độ Ox có gốc O trùng vời VTCB của hai vật, chiều dơng thẳng đứng hớng lên trên.
Chọn gốc thời gian là lúc hai vật bắt đầu dao động.
* Độ biến dạng của lò xo khi vật m
1
cân bằng là :
)(5,1
1
1
cm
k
gm
l ==
* Độ biến dạng của lò xo khi hai vật cân bằng là :
)(5,2
)(
21
2
cm
k
gmm
l =
+

=
m
1
m
2
h
k
Hình vẽ
* Tần số góc :
)/(20
21
srad
mm
k
=
+
=

* lúc t = 0 ta có :



==
==
)/(320cos
)(1sin
scmcAv
cmAx

3
1
=

tg
vì
0sin >

và
)(
6
5
0cos rad


=<
Biên độ dao động là :
)(2
6
5
sin
1
cmA =






=

* Vậy phơng trình dao động là :
)(
6
5
20sin2 cmtx






+=

Bài 1 (HSG Lo Cai ): Một giá nhẹ gắn trên một tấm gỗ khối lợng M đặt trên bàn nhẵn nằm ngang có treo một quả cầu khối l-
ợng m bằng sợi dây dài l (hình vẽ 1). Một viên đạn nhỏ khối lợng m bay ngang, xuyên vào quả cầu và vớng kẹt ở đó.
a. Giá trị nhỏ nhất của vận tốc viên đạn bằng bao nhiêu để sợi dây quay đủ vòng nếu tấm gỗ đ ợc
giữ chặt.
b. Vận tốc đó sẽ là bao nhiêu nếu tấm gỗ đợc thả tự do.
a. Vận tốc của quả cầu và đạn sau khi va chạm là
2
0
V
( với V
0
là vận tốc là vận tốc của đạn trớc va
chạm)
Gii
* Để dây quay đủ một vòng, tại điểm cao nhất vận tốc của quả cầu là V phải thoả mãn :
l

Vm
mgT
2
.
=+
( T là lực căng của dây) Do đó V = V
min
khi T = 0
lgV .
min
=
* Theo định luật bảo toàn cơ năng, vận tốc nhỏ nhất V
0
của đạn phải thoả mãn :
2
2
0
min
0
2
2
4 2 5
8 2
mV
mV
mgl V gl= + =
b. Vận tốc nhỏ nhất của quả cầu tại điểm cao nhất ( đối với điểm treo) là :
glu =
min
* Xét trong HQC gắn với trái đất : V

1
= u u
min
( u là vận tốc của vật M )
Ta có :
)1)((2.
'
0
glumuMmV +=
Mặt khác theo định luật bảo toàn cơ năng :
2
' 2
2
0
2 ( . )
2 ( )
.
4 (2)
8 2 2
m u g l
m V
M u
mgl

= + +
* Từ (1) và (2) ta có :
)
8
5(2
'

0
M
m
glV +=
Cõu 4 (ng Thỏp) Cho c h gm vt M, cỏc rũng rc R
1
, R
2
v dõy treo cú khi lng khụng ỏng k,
ghộp vi nhau nh hỡnh 1. Cỏc im A v B c gn c nh vo giỏ . Vt M cú khi lng m=250(g), c
treo bng si dõy buc vo trc rũng rc R
2
. Lũ xo cú cng k=100 (N/m), khi lng khụng ỏng k, mt
u gn vo trc rũng rc R
2
, cũn u kia gn vo u si dõy vt qua R
1
, R
2
u cũn li ca dõy buc vo im
B. B qua ma sỏt cỏc rũng rc, coi dõy khụng dón. Kộo vt M xung di v trớ cõn bng mt on 4(cm) ri
buụng ra khụng vn tc ban u. Chng minh rng vt M dao ng iu ho v vit phng trỡnh dao ng ca
vt M .
Gii
- Chn trc Ox thng ng hng xung, gc to O VTCB ca M.
1)- Ti VTCB ca vt M ta cú:
02
00
=++ FTP

hay
03
0
=+ FP

(1)
- T (1) suy ra: mg=3kl
0
(2)
- Ti v trớ vt M cú to x bt kỡ ta cú:
amFTP


=++ 2
hay
amFP


=+ 3
(3)
- Chiu (3) lờn trc to Ox ta cú :
mg - 3k(l
0
+3x) = ma = mx (4)
- T (2) v (4) ta cú :
0
9
'' =+ x
m
k

x
t
m
k9
2
=

ta cú
0''
2
=+ xx

(5)
- Phng trỡnh (5) cú nghim :
x = Acos(
)

+t
trong ú A ,

,
l nhng hng s
2)- Chn gc thi gian l lỳc th vt. Ti thi im t =0 ta cú:
M
m
m
0
V

Hình vẽ 1

B
A
R
1
R
2
M
P
T
T
F
4 = Acos


0 = -

Asin

.
suy ra A = 4 (cm) v

= 0
==
m
k9

60(rad/s) Vy phng trỡnh dao ng l x = 4cos
60 t (cm)
Bài 1 ( HSG Lo Cai 06-07 ): Một vật A chuyển động với vận tốc v
0

đến va chạm hoàn toàn đàn
hồi với vật B đang đứng yên tại C. Sau va chạm vật B chuyển động trên máng tròn đờng kính CD
= 2R. Một tấm phẳng (E) đặt vuông góc với CD tại tâm O của máng tròn. Biết khối lợng của hai
vật là bằng nhau. Bỏ qua mọi ma sát. (Hình vẽ 1)
1. Xác định vận tốc của vật B tại M mà ở đó vật bắt đầu rời khỏi máng.
2. Biết
Rgv 5,3
0
=
. Hỏi vật B có thể rơi vào tấm (E) không ? Nếu có hãy xác định vị
trí của vật trên tấm (E).
1. Vì va chạm đàn hồi, khối lợng hai vật bằng nhau nên sau va chạm vật B c/đ với
vận tốc v
0
còn vật A đứng yên.
* Định luật bảo toàn cơ năng ( chọn gốc )
)sin1(
22
2
2
0

++= mgR
mv
mv

)sin1(2
2
0
2

+= gRvv
(1)
* Định luật II N:
R
mv
Nmg
2
sin =+

* Khi vật rời máng thì N = 0
Rg
Rgv
3
2
sin
2
0

=

(2)
* Vận tốc của vật B khi bắt đầu rời máng: Thay (2) vào (1) ta có :
3
2
2
0
Rgv
v

=
2. Khi
Rgv 5,3
0
=
từ (2)

vị trí vật rời máng có
0
30
2
1
sin ==

. Vận tốc của vật lúc đó :
2
2
Rg
v =
* Khi rời máng vật c/đ giống nh vật bị ném xiên với vận tốc ban đầu là v.
Chọn trục toạ độ
* phơng trình c/đ của vật :

cos)sin( Rtvx =

2
2
1
)cos(sin gttvRy ++=

* Để vật rơi vào vào tấm (E) thì :
0

x
và y =0. Với
0

x
g
R
t
6

(*)
Với y = 0 giải phơng trình đợc t
1
< 0 (**) So sánh (*) và (**) thấy vật B không rơi vào tấm (E)
Bài 4 ( HSG Lo Cai 06-07 ): Cho hệ dao động nh hình vẽ 4. Lò xo có khối lợng không đáng kể, độ cứng k. Vật M = 400g có
thể trợt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng vật m
0
= 100g bắn vào M theo phơng
ngang với vận tốc v
0
= 1m/s, va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Sau va chạm vật M dao động điều hoà, chiều dài cực đại và cực
tiểu của của lò xo lần lợt là 28cm và 20cm.
1. Tính chu kỳ dao động của vật và độ cứng của lò xo.
2. Đặt một vật m = 100g lên trên vật M, hệ gồm hai vật m và M đang đứng yên, vẫn dùng vật m
0
bắn vào với vận tốc v
0

. Va
chạm là hoàn toàn đàn hồi, sau va chạm ta thấy cả hai vật cùng dao động điều hoà. Viết phơng trình dao động của hệ hai vật m
và M. Chọn gốc toạ độ ở vị trí cân bằng và gốc thời gian là lúc bắt đầu va chạm. Xác định chiều và độ lớn của lực đàn hồi cực
đại, cực tiểu mà lò xo tác dụng vào điểm cố định I trong quá trình hệ hai vật dao động.
3. Cho biết hệ số ma sát giữa vật M và vật m là
à
= 0,4. Hỏi vận tốc v
0
của vật m
0
phải nhỏ hơn giá trị bằng bao nhiêu để vật
m vẫn đứng yên (không bị trợt) trên vật M trong khi hệ dao động. Cho g = 10m/s
2
.
Gii
1. Va chạm đàn hồi nên động lợng và động năng đợc bảo toàn
Ta có :
MVvmvm +=
000
(1)
222
2
0
2
00
MV
vmvm
+=
(2)
Với v , V lần lợt là vận tốc của các vật m

0
và M ngay sau va chạm
* Giải hệ (1), (2) đợc :
)/(40)/(4,0
2
0
00
scmsm
Mm
vm
V ==
+
=
* Sau v/c vật M dao động điều hoà, vận tốc cực đại của vật là V = 40(cm/s)
Biên độ dao động là :
2
minmax
ll
A

=
= 4(cm) Ta có: V = A.

)/(10 srad
A
V
==

=> chu kỳ của dao động là: T =
)(

5
s

Độ cứng của lò xo :
)/(40.
2
mNMk ==

.
D
AB
C
(E)
0
v

O
Hình vẽ 1
D
B
C
(E)
O
Hình vẽ 1
P

N

M
m

0
0
v

I k
Hình vẽ
2.
a. Va chạm đàn hồi nên động lợng và động năng đợc bảo toàn
Ta có :
h
VmMvmvm )(
1000
++=
(3)
2
)(
22
22
10
2
00 h
VmMvmvm +
+=
(4)
Với v
1
, V
h
lần lợt là vận tốc của các vật m
0

và (M + m) ngay sau va chạm
* Giải hệ (3), (4) đợc :
)/(
3
100
2
0
00
scm
mMm
vm
V
h
=
++
=
* Sau v/c vật (M + m) dao động điều hoà nên phơng trình dao động có dạng
)sin(

+= tAx
.
Vận tốc cực đại của hệ vật là : V
h
=
3
100
(cm/s). Tần số góc :
)/(54 srad
mM
k

=
+
=

Chọn trục toạ độ có gốc trùng VTCB, chiều dơng cùng hớng
0
v

.
Lúc t = 0 ta có :



=
=
h
VA
A


cos
0sin





==
=

>
=

)/(73,3
cos.
0
0cos
0sin
scm
V
A
h




* Vậy phơng trình dao động của vật là :
))(54sin(73,3 cmtx =
b. * Tại các vị trí biên lực đàn hồi của lò xo tác dụng vào điểm cố định là lớn nhất ta có
)(492,110.73,3.40.
2
max
NAkF ===

Tại vị trí biên bên trái lực đàn hồi hớng sang bên phải
Tại vị trí biên bên phải lực đàn hồi hớng sang bên trái
* Tại VTCB lực đàn hồi của lò xo có giá trị nhỏ nhất : F

min
= 0.
3. Để vật m không bị trợt trên M trong quá trình dao động thì lực ma sát nghỉ cực đại phải có giá trị

giá trị của lực quán tính
cực đại tác dụng lên vật m (Xét trong hệ quy chiếu gắn với vật M) :
(max)(max) qtmsn
FF
(*)
* Ta có :
Lực ma sát nghỉ CĐ :
mgNF
msn
àà
== .
(max)
Lực quán tính :
[ ]
)sin(.
2

+== tAmamF
qt
Để lực quán tính đạt cực đại thì
AmFt
qt
2
(max)
.1)sin(

==+
* Từ biểu thức (*) ta có :
2
2

à
à
g
AAmmg
* Mặt khác:
( )

Mmm
vmVV
A
h
++
===
0
00max
2

( )
( )
)/(34,1
2
2
0
0
0

2
0
00
sm
m
Mmmg
v
g
Mmm
vm
=
++

++


à

à

Vậy v
0
)/(34,1 sm
thì vật m không bị trợt trên vật M trong quá trình hệ dao động.
Cõu 4 (HSG Hu Giang) . Mt con lc n cú chiu di l thc hin dao ng iu ho trờn mt chic xe ang ln t do
xung dc khụng ma sỏt. Dc nghiờng mt gúc so vi phng nm ngang.
a) Chng minh rng: V trớ cõn bng ca con lc l v trớ cú dõy treo vuụng gúc vi mt dc.
b) Tỡm biu thc tớnh chu kỡ dao ng ca con lc.
p dng bng s l =1,73 m; =30
0

; g = 9,8 m/s
2
.
ỏp ỏn
+ Gia tc chuyn ng xung dc ca xe l a = gsin.
Xột h quy chiu gn vi xe
+ Tỏc dng lờn con lc ti mt thi im no ú cú 3 lc:
Trng lng P,
lc quỏn tớnh F
v sc cng T ca dõy treo.
Ti v trớ cõn bng
Ta cú:
0TFP =++

+ Chiu phng trỡnh trờn xung phng OX song song vi mt dc ta cú: Psin - F + T
X
= 0
M F = ma = mgsin
suy ra T
X
= 0.
iu ny chng t v trớ cõn bng dõy treo con lc vuụng gúc vi Ox
T
F
P

x
+ V trớ cõn bng nh trờn thỡ trng lc biu kin ca con lc l P' = Pcos. Tc l gia tc biu kin l g' = gcos.
+ Vy chu kỡ dao ng ca con lc s l T = 2
'

l
g
= 2
cos
l
g

2,83 (s).
Bài 1 HSG Lo Cai 08-09
Buộc vào hai đầu một sợi dây dài 2l hai quả cầu nhỏ A và B giống nhau có cùng khối lợng m, ở chính giữa
sợi dây gắn một quả cầu nhỏ khác khối lợng M. Đặt ba quả cầu đứng yên trên mặt bàn nằm ngang nhẵn, dây
đợc kéo căng.(Hình vẽ 1)
Truyền tức thời cho vật M một vận tốc
0
V
theo phơng vuông góc với dây. Tính lực căng của dây khi hai
quả cầu A và B sắp đập vào nhau.
Gii
Hệ kín động lợng bảo toàn
0 1 2
MV mv mv M v= + +
uur ur ur r

0 1 2
1 2
0
y y M
x x
MV mv mv Mv
mv mv

= + +
= +
Ta luôn có:
1 2 1 2
;
y y x x
v v v v= =
Khi hai quả cầu sắp đập vào nhau:

1 2y y M y
v v v v= = =

0
2
y
MV
v
m M
=
+
áp dụng định luật bảo toàn năng lợng:
2 2 2 2
0
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
y x y
MV mv mv Mv= + +
(
x

v
độ lớn vận tốc của hai quả cầu A,B lúc chúng sắp đập vào nhau)
2
2
0
2
x
mMV
mv
m M
=
+
Gia tốc của quả cầu M:
2T
a
M
=
Trong hệ quy chiếu gắn với M hai quả cầu m chuyển động tròn áp dụng định luật 2 Niutơn, chiếu xuống phơng Oy:
2
x
q
v
T F m
l
+ =

2
0
2
(2 )

mMV
T
T m
M l m M
+ =
+
Lực căng của dây khi đó:
2 2
0
2
(2 )
mM V
T
l m M
=
+
Bài 2 (HSG Lo Cai 08-09) Một lò xo lý tởng treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ cố định, đầu dới treo một vật nhỏ
có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25N/m. Từ vị trí cân bằng nâng vật lên theo phơng thẳng đứng một đoạn 2cm rồi
truyền cho vật vận tốc
310

cm/s theo phơng thẳng đứng, chiều hớng xuống dới. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc
cho vật, chọn trục tọa độ có gốc trùng vị trí cân bằng của vật, chiều dơng thẳng đứng xuống dới. Cho g = 10m/s
2
;
10
2


.

1. Chứng minh vật dao động điều hòa và viết phơng trình dao động của vật.
2. Xác định thời điểm lúc vật qua vị trí mà lò xo bị giãn 6cm lần thứ hai. Xác định hớng và độ lớn của lực tác dụng lên
điểm treo tại thời điểm đó.
1. Chứng minh vật dao động điều hòa
Gii
* Viết phơng trình dao động của vật:
Tại VTCB:
4
=
l
(cm) Tần số góc:

5
=
(rad/s). Tại thời điểm t = 0 ta có:



==
==
)/(310sin
)(2cos
scmAv
cmAx


Vì
3
2
3tan;0cos;0sin

==<<
(rad) Biên độ dao động : A = 4 (cm)
Vậy phơng trình dao động của vật là:






=
3
2
5cos4


tx
(cm)
2. Khi vật qua vị trí mà lò xo bị giãn 6cm lần thứ hai thì vật có li độ x = 2cm và chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ.
Ta có:







>

=







0
3
2
5sin
2
1
3
2
5cos




t
t
Giải hệ phơng trình (lấy giá trị nhỏ nhất) đợc kết quả:

2,0=t
(s)
* Xác định hớng và độ lớn của lực tác dụng lên điểm treo tại thời điểm đó:
- Hớng: Phơng thẳng đứng, chiều từ trên xuống dới.
- Độ lớn:
5,110.6.25
2
1
===

lkF
(N)
2 y
v
T
ur
T
ur
T
ur
T
ur
1y
v
v
T
ur
T
ur
T

ur
1y
v
1x
v
T
ur
2 y
v
2x
v
O
x
y
Hình vẽ 1
0
V
B
A
M
Câu 1: (7 điểm) Hai vật 1 và 2 đều có khối lượng bằng m gắn chặt vào lò xo có độ dài l, độ cứng k đứng yên trên mặt
bàn nằm ngang tuyệt đối nhẵn. Vật thứ 3 cũng có khối lượng m chuyển động với vận tốc v đến va chạm hoàn
toàn đàn hồi với vật 1 (xem hình 1)
1) Chứng tỏ hai vật m
1
và m
2
luôn chuyển động về cùng một phía.
2) Tìm vận tốc của hai vật 1 và 2 và khoảng cách giữa chúng vào thời điêm lò xo biến dạng lớn nhất.
3

2
1
v
Ngay sau lúc va chạm vật 1 có vận tốc v (lò xo chưa biến dạng, vận tốc vật 2 bằng không). Gọi v
1
, v
2
là vận tốc
vật1,vật2 vào thời điểm sau va chạm của vật 3 vào 1 la øv
1,
v
2
. độ biến dạng là k
0
là x.
+ Đònh luật bảo toàn động lượng:

mv = mv
1
+ mv
2
.
⇒
v = v
1
+ v
2
(1)
+ Đònh luật bảo toàn cơ năng:
2

1
mv
2
=
2
1
2
1
mv
+
2
2
2
1
mv
+
2
2
1
kx


2
21
2
2
)( vvv
m
kx
+−=⇒

(2). Từ (1) va ø(2):
m
kx
2
2
= v
1
v
2
(3) vì
m
kx
2
2
> 0
⇒
v
1
v
2
> 0 : tức là v
1
và v
2
cùng dấu nghóa là sau khi va chạm hai vật 1 và 2 luôn chuyển động về
cùng một phía.
2) v
1
+ v
2

= v = const. Suy ra tích v
1
v
2
cực đại khi v
1
= v
2
=
2
v
nghóa là
m
kx
2
2
cực đại
lúc đó:
4
2
v
=
m
kx
2
2
max

⇒
x

max
= v
k
m
2
lò xo biến dạng lớn nhất khi v
1
= v
2
=
2
v
lúc này khoảng cách giữa vật 1 và
vật 2 là: l
12
=
k
m
vlxl
2
max
±=±

Bài 2(4,0 điểm)(HSG Nghệ An 07-08)
Vật nặng có khối lượng m nằm trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối
với một lò xo có độ cứng k, lò xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A như hình
2a. Từ một thời điểm nào đó, vật nặng bắt đầu chịu tác dụng của một lực khơng đổi F
hướng theo trục lò xo như hình vẽ.
a) Hãy tìm qng đường mà vật nặng đi được và thời gian vật đi hết qng
đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất.

b) Nếu lò xo khơng khơng gắn vào điểm A mà được nối với một vật khối
lượng M như hình 2b, hệ số ma sát giữa M và mặt ngang là
µ
. Hãy xác định độ lớn
của lực F để sau đó vật m dao động điều hòa.
a) Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng vào vị trí cân bằng của vật sau khi đã có lực F tác
dụng như hình 1. Khi đó, vị trí ban đầu của vật có tọa độ là x
0
. Tại vị trí cân bằng, lò xo bị biến dạng một lượng x
0
và:
.
00
k
F
xkxF −=⇒−=
Tại tọa độ x bât kỳ thì độ biến dạng của lò xo là (x–x
0
), nên hợp lực tác dụng lên vật là:
.)(
0
maFxxk =+−−
Thay biểu thức của x
0
vào, ta nhận được:
F
m
k
Hình 2a
A

F
m
k
Hình 2b
M
F
m
k
Hình 1
O
x
0
.0"
2
=+⇒=−⇒=+






+− xxmakxmaF
k
F
xk
ω
Trong đó
mk=
ω
. Nghiệm của phương trình này là:

).sin(
ϕω
+= tAx
Như vậy vật dao động điều hòa với chu kỳ
k
m
T
π
2=
. Thời gian kể từ khi tác dụng lực F lên vật đến khi vật
dừng lại lần thứ nhất (tại ly độ cực đại phía bên phải) rõ ràng là bằng 1/2 chu kỳ dao động, vật thời gian đó là:
.
2 k
mT
t
π
==
Khi t=0 thì:
0cos
,sin
==
−==
ϕω
ϕ
Av
k
F
Ax









−=
=
⇒
.
2
,
π
ϕ
k
F
A
Vậy vật dao động với biên độ F/k, thời gian từ khi vật chịu tác dụng của lực F đến khi vật dừng lại lần thứ
nhất là T/2 và nó đi được quãng đường bằng 2 lần biên độ dao động. Do đó, quãng đường vật đi được trong thời
gian này là:
.
2
2
k
F
AS ==
b) Theo câu a) thì biên độ dao động là
.
k
F

A =
Để sau khi tác dụng lực, vật m dao động điều hòa thì trong quá
trình chuyển động của m, M phải nằm yên. Lực đàn hồi tác dụng lên M đạt độ lớn cực đại khi độ biến dạng của lò
xo đạt cực đại khi đó vật m xa M nhất (khi đó lò xo giãn nhiều nhất và bằng:
AAx 2
0
=+
).
Để vật M không bị trượt thì lực đàn hồi cực đại không được vượt quá độ lớn của ma sát nghỉ cực đại:
2.2. Mg
k
F
kMgAk
µµ
<⇒<
Từ đó suy ra điều kiện của độ lớn lực F:
.
2
mg
F
µ
<
Bài 3.(3.0 điểm)HSG Nghệ AN 07-08
Hai nguồn sóng kết hợp S
1
và S
2
cách nhau 2m dao động điều hòa cùng pha, phát ra hai sóng có bước sóng
1m. Một điểm A nằm ở khoảng cách l kể từ S
1

và AS
1
⊥S
1
S
2
.
a)Tính giá trị cực đại của l để tại A có được cực đại của giao thoa.
b)Tính giá trị của l để tại A có được cực tiểu của giao thoa.
a) Điều kiện để tại A có cực đại giao thoa là hiệu đường đi từ A đến hai nguồn sóng phải bằng số nguyên lần bước
sóng (xem hình 2):
.
22
λ
kldl =−+
Với k=1, 2, 3
0.5đ
Khi l càng lớn đường S
1
A cắt các cực đại giao thoa có bậc càng nhỏ (k càng bé), vậy ứng với giá trị lớn nhất
của l để tại A có cực đại nghĩa là tại A đường S
1
A cắt cực đại bậc 1 (k=1).
0.5đ
Thay các giá trị đã cho vào biểu thức trên ta nhận được:
).(5,114
2
mlll =⇒=−+
S
1

S
2
l
A
d
k=1
k=2
k=0
Hình 2
0.5
b) iu kin ti A cú cc tiu giao thoa l:
.
2
)12(
22

+=+ kldl
Trong biu thc ny k=0, 1, 2, 3,
0.5
Ta suy ra :


)12(
2
)12(
2
2
+

+
=
k
kd
l
.
0.5
Vỡ l > 0 nờn k = 0 hoc k = 1.T ú ta cú giỏ tr ca l l :
* Vi k =0 thỡ l = 3,75 (m ).
* Vi k= 1 thỡ l 0,58 (m).
Câu 1 (4,5 điểm). Cho cơ hệ nh hình vẽ 1. Hai thanh cứng MA và NB khối lợng không
đáng kể, cùng chiều dài l = 50cm. Đầu tự do của mỗi thanh đều có gắn một quả cầu nhỏ
cùng khối lợng m =100g, đầu M và N của mỗi thanh có thể quay dễ dàng. Lò xo rất nhẹ
có độ cứng k = 100N/m đợc gắn vào trung điểm C của thanh NB. Khi hệ cân bằng lò
xo không biến dạng, hai quả cầu tiếp xúc nhau. Kéo quả cầu A sao cho thanh MA lệch
về bên trái một góc nhỏ rồi thả nhẹ. Coi va chạm giữa các quả cầu là đàn hồi xuyên
tâm. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10m/s
2
.
Hãy mô tả chuyển động và xác định chu kì dao động của hệ .
Giai
+ Do A va chạm với B là đàn hồi nên động lợng và động năng hệ đợc bảo toàn.

' '
1 1 2
2 ' 2 ' 2

1 1 2
( ) ( )
2 2 2
mv mv mv
mv m v m v
= +
= +
ur uur
ur
+ Chọn chiều dơng cùng chiều với
1
v
ur
suy ra:

' '
1 1 2
2 ' 2 ' 2
1 1 2
( ) ( )
2 2 2
mv mv mv
mv m v m v
= +
= +

' '
1 2 1
0,v v v = =
+Tơng tự cho va chạm từ quả cầu B trở lại quả cầu A, ta đợc:

'' ' ''
1 2 2
, 0v v v= =
+ Sau va chạm quả cầu này truyền hoàn toàn vận tốc cho quả cầu kia. Hệ thống dao động tuần hoàn, mỗi con lắc tham gia một
nửa dao động.
+ Chu kỳ dao động
1 2
1
( )
2
T T T= +
với T
1
là chu kì dao động con lắc đơn, T
2
là chu kì dao động của con lắc gắn với thanh và
lò xo.
+ Ta biết chu kỳ dao động của con lắc đơn
1
2 1,4( )
l
T s
g

= =
Ta tìm T
2
bằng phơng pháp năng lợng:
+Chọn mốc thế năng trọng trờng tại mặt phẳng ngang qua m khi cân bằng.

+Xét vật m tại vị trí có li độ x:
-Động năng của quả cầu E
đ
=
2
2
mv
-Thế năng trọng trờng E
t1
=
2
2
mgx
l

-Thế năng n hi: E
t2
=
2
2
1
2 8
kx kx
=
Cơ năng của hệ: E = E
đ
+ E
t1
+ E
t2

=
2
2
mv
-
2 2
2 8
mgx kx
l
+
(1). Do không có lực cản nên E = const.
+Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo thời gian t, ta đợc: mvv

-
' '
0
4
mgxx kxx
l
+ =
Hay x

+(
) 0
4
k g
x
m l
=
.

+Vậy vật dao động điều hòa với tần số góc
4
k g
m l

=
và chu kì
2
2
0,4T s


= =

A
B
M
N
C
k
Hình 1
+Hệ dao động tuần hoàn với chu kỳ
1 2
1
( )
2
T T T= +
= 0,7 + 0,2 = 0,9s
(HSG Hu Lc 05-06)
đ): a) Cho con lắc liên hợp nh hình vẽ 1 biết khối lợng m

1
, m
2
và chiều dài l
1
, l
2
. Bỏ qua khối lợng dây treo và lực cản môi tr-
ờng. Tính tần số dao động.
b) Nếu mắc thêm vào hệ 3 lò xo K
1
= K
2
= K
3
nh hình vẽ 2, hệ vẫn dao động điều hoà. Tính tấn số dao động của hệ, cho nhận
xét về tần số.
Câu a (1đ):. Học sinh có thể làm theo nhiều cách cho kết quả: =
2
22
2
11
2211
)(
lmlm
glmlm
+
+
Câu b (1,5đ).
HS lập luận đợc hệ gồm có: (K

1
nt K
2
) // K
3
// K
h
(với K
h
là K
h
ở câu a) (0,5đ)
Học sinh tính đợc
K

(hệ mới) :
K

=
hh
KKKK
K
K
+=++
2
3
2
2
Kết quả:

=
2
22
2
11
2
1
2211
)(
2
3
lmlm
l
glmlm
K
M
K
+
+
+
=

hay


=
1
1
l

2
22
2
11
2211
2
1
)(
2
3
lmlm
glmlml
K
+
++
(1đ)
Bi 1(HSG Hai B Trng)Hai vt khi lng m
0
v m c ni vi nhau bng mt si dõy mnh, bn khụng dón cú chiu di
L. Ti thi im ban u vt m
0
c nộm t mt phng ngang vi vn tc ban u v
0
thng ng hng lờn. Hi cao cc
i m m
0
cú th t ti.
Trng hp 1: Nu
gLv 2
2

0

thỡ dõy cỏp khụng b cng v cao cc i
L
g
v
H =
2
2
0
Trng hp 2:
+ Nu
gLv 2
2
0

thỡ ngay trc lỳc dõy cng, vn tc ca m
0
l
gLvv 2
2
01
=

+ Sau ú m
0
v m cú cựng vn tc v
+ nh lut bo ton ng lng: m
0
v

1
= (m + m
0
)v
0
10
mm
vm
v
+
=

+ cao h vt lờn c k t lỳc dõy cng:










ì

+
==
g
ghv
mm
m
g
v
h
2
2
2
2
0
2
0
0
2

+ Vy H
max
= L + h = L +

ì








+ g
ghv
mm
m
2
2
2
0
2
0
0
I. Cơ học (6,5 điểm): HSG THANH HOA 06-07
1/. Một hạt thực hiện dao động điều hoà với tần số 0,25 (Hz) quanh điểm x = 0. Vào lúc t = 0 nó có độ dời 0,37 (cm). Hãy xác
định độ dời và vận tốc của hạt lúc lúc t = 3,0 (s) ?
2/. Một con lắc đơn có chiều dài L thực hiện dao động điều hoà trên một chiếc xe đang lăn tự do xuống dốc không ma sát. Dốc
nghiêng một góc so với phơng nằm ngang.
o
Hình 1

l
2
l
1
m
1
m
2

K
3
K
2
K
1
o
Hình 2
m
1
m
2
l
2
l
1
m
0
m
0
v

a) Hãy chứng minh rằng: Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí có dây treo vuông góc với mặt dốc.
b) Tìm biểu thức tính chu kì dao động của con lắc.
áp dụng bằng số L=1,73 m; =30
0
; g = 9,8 m/s
2
.
3/. Một con lắc đơn đợc kéo ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ
0
= 0,1 rad rồi buông không có vận tốc ban đầu. Coi rằng
trong quá trình dao động lực cản của môi trờng tác dụng lên con lắc không đổi và bằng 1/1000 trọng lợng của con lắc. Hỏi sau
bao nhiêu chu kì dao động thì con lắc dừng hẳn lại ?
4/. Một hạt khối lợng 10 (g), dao động điều hoà theo qui luật hàm sin với biên độ 2.10
-3
(m) và pha ban đầu của dao động là
-/3 (rad). Gia tốc cực đại của nó là 8.10
3
(m/s
2
). Hãy:
a) Viết biểu thức của lực tác dụng vào hạt dới dạng hàm của thời gian.
b) Tính cơ năng toàn phần của dao động của hạt.
Câu 1(1,5 điểm):
+ Tần số dao động = 2 = /2 (rad/s) ; Biên độ của dao động A = 0,37 (cm)
Vậy x = 0,37sin(
2

t+ ) (cm).
+ Tại t = 0 thì x = 0,37 => = /2. Vậy phơng trình dao động của hạt là

x = 0,37sin (
2

t +
2

) (cm) = 0,37cos
2

t (cm).
+ Lúc t = 3 (s) độ dời là x
t
= = 0,37cos
2

.3 = 0 và v = x'
t
= - 0,37.
2

. sin
2

3 = 0,581 (cm/s).
Câu 2 (1,5 điểm): a)
+ Gia tốc chuyển động xuống dốc của xe là a = gsin.
+ Tác dụng lên con lắc tại một thời điểm nào đó có 3 lực:
Trọng lợng P, lực quán tính F (do xe ch đg nh dần đều)
và sức căng T của dây treo.
Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí có hợp lực bằng 0.

Tức là
0TFP =++

+ Chiếu phơng trình trên xuống phơng OX song song với mặt dốc ta có: Psin - F + T
X
= 0
+ Chú ý rằng độ lớn lực quán tính F = ma = mgsin suy ra T
X
= 0. Điều này chứng tỏ dây treo con lắc vuông góc với OX khi
ở trạng thái cân bằng. (đpcm).
b)
+ Vị trí cân bằng nh trên thì trọng lực biểu kiến của con lắc là P' = Pcos. Tức là gia tốc biểu kiến là g' = gcos.
+ Vậy chu kì dao động của con lắc sẽ là T = 2
'g
L
= 2
cosg
L
2,83 (s).
Câu 3(1,5 điểm):
+ Năng lợng ban đầu của con lắc là E
0
= mgl.(1-cos
0
) =
2
0
mgl
2
1

.
+ Gọi
1
và
2
là hai biên độ liên tiếp của dao động (một lần con lắc qua vị trí cân bằng). Ta có độ giảm thế năng là (
2
1
mgl
2
1
-
2
2
mgl
2
1
).
+ Độ giảm này bằng công của lực cản môi trờng A = F
c
.S = F
c
.l.(
1
+
2
).
+ Suy ra
( )

21
mg
2
1

= F
c
.
+ Độ giảm biên độ góc mỗi lần sẽ là (
1
-
2
) = 2F
c
/ mg = 2.10
-3
mg/mg = 2.10
-3
rad.
+ Đến khi con lắc ngừng dao động thì số lần đi qua vị trí cân bằng sẽ là N =
0
/(
1
-
2
) = 50. Tơng ứng với 25 chu kì.
Câu 4(2,0 điểm):
+ Gia tốc a = x'' = -
2
x => gia tốc cực đại a

m
=
2
A => = (a
m
/A)
1/2
= 2.10
3
(rad/s).
+ Vậy ta có F = ma = - 0,01.(2.10
3
)
2
. 2.10
-3
sin(2.10
3
.t -
3

) = 80 sin(2.10
3
t +
3
2
) (N)
+ Vận tốc cực đại của hạt là v
m
= A = 4 (m/s)

+ Cơ năng toàn phần E
0
=
2
mv
2
m
= 0,08 (J).
HSG Lí VONG 2
Bi 2: (4)
a, (1) Khi cha t dõy:
0
2 .mg k l
=
;
T
F
P

P'
m
2 m
Ngay sau khi dây đứt: * Vật m:
0 1
.k l mg ma
∆ + =

⇒

1

3 30a g
= =
(
2
/m s
)
* Vật 2m:
0 2
. 2 2k l mg ma
∆ − =

⇒

2
0a
=
b, (3đ) Xét hệ quy chiếu gắn với trọng tâm G của hệ.G cách vật m một khoảng bằng 2/3 khoảng cách từ vật m đến vật 2m.
* Xét vật m :
- Khi ở VTCB:
0
qt
mg F
− + =
(1)
- Khi ở li độ x: lò xo giãn một đoạn bằng 3x/2 . Suy ra:
''
3
.
2
qt

x
mg F k m a mx
− + − = =
(2)
Từ (1) và (2) :
''
3
0
2
k
x x
m
+ =

⇒

'' 2
0x x
ω
+ =
với
3
10
2
k
m
ω
= =
(rad/s)

⇒

3
.sin( . )
2
k
x A t
m
ϕ
= +
Tại
0t
=
:
0
0
2
.sin 0,2
3
l
x A
ϕ
∆
= = =
(m) và
0
. .cosv A
ω
=
ϕ

0
=

⇒

0,2A
=
(m); và
2
π
ϕ
=
(rad)

⇒

0,2.sin(10. / 2)x t
π
= +
(m);
- Độ biến dạng của lò xo:
3 / 2 0,3,sin(10. / 2)l x t
π
∆ = = +
;
- Lò xo đạt trạng thái không biến dạng lần đầu tiên
⇒

0l
∆ =

⇒

1,57
20
t
π
= ≈
(s).
- Trọng tâm G chuyển động với gia tốc g, khi đó trọng tâm G đã đi được :

2 2
/ 2 / 80h gt
π
∆ = =
(m) với vận tốc
. / 2
G
v g t
π
= =
(m/s).
Tại thời điểm đó ta có:
2 os(10.t+ /2)=x c
π
′
=
-2 (m/s)
⇒

2 / 2 3,57
m G
v v x
π
′
= − = + ≈
(m/s)
- Theo ĐLBTNL:
2 2 2
0 2
1 1 1
. 3 . .2 .
2 2 2
m m
k l mg h mv m v
∆ + ∆ = +
;
Mặt khác, ta có:
0
. 2k l mg∆ =

⇒

2
1 0,57
2
m
v
π

= − ≈
(m/s)