Bài giảng TAI LIEU BOI DUONG HOC SINH GIOI PHAN TAP HOP

i. Tập hợp
1. Một số khái niệm
+ Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, ...,
A = {x, y, ...}, x A, y A
+ Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn điều kiện P.
A = {x\ x thỏa mãn điều kiện P}
+ gọi là tập rỗng (tập hợp không có phần tử).
+ A B thì A là tập con của tập B.
+ A = B thì tập A và tập B đều là tập con của nhau.
2. Các phép toán về tập hợp
+ Hợp
A B = {x A hoặc x B}
+ A B = B A ; (A B) C = A (B C)
A A = A ; A A B ; B A B
A = A
+ Giao
A B = {x A và x B}
+ A B = B A ; A B B ; A B A
A A = A ; (A B) C = (A C) (B C)
A = ; (A B) C = (A C) (B C)
+ (A B) C = A (B C)
+ Hiệu
A \ B = {x | x A và x B}
A \ A =
(A \ B) C = (A C) \ B = (A C) \ (B C)
A \ B = A \ (A B)
A = (A B) (A \ B)
+ Phần bù
C
A
S = A\ S (S A)

3. Tập hợp số
+ Tập hợp số tự nhiên
N = {0, 1, 2, ...}
+ Tập hợp số nguyên
Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}
+ Tập hợp số hữu tỉ







=
*, NnZm
n
m
Q
+ Tập hợp số thực
R = {a
0
, a
1
, a
2
, ...| a
0
Z, a
k
{0, 1, 2, ..., 9}}

Nh vậy ta có : N Z Q R
II. Biểu thức đại số
1. Tính chất các phép toán trên số
+ Tính chất giao hoán của phép cộng và nhân
a + b = b + a
ab = ba
+ Tính chất kết hợp của phép cộng và nhân
(a + b) + c = a + (b + c)
(a.b).c = a.(b.c)
+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
(a + b)c = ac + bc
+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ
(a - b)c = ac - bc
2. Biểu thức phân
+ Tính chất cơ bản của phân thức

( )
0;0
=
cb
b
a
bc
ac
+ Các phép toán của phân thức

( )
( )
( )
( )

0;0;0:
0
0;0
0
=


=

=
=

+
=+
dcb
bc
ad
d
c
b
a
b
b
a
b
a
b
a
db
bd

ac
d
c
b
a
c
c
ba
c
b
c
a

3. Tỉ lệ thức
+ Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

( )
0;0
=
db
d
c
b
a
a, d là hai ngoại tỉ ; b, c là hai trung tỉ.
+ Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức :
ad = bc
+ Một số tính chất khác
Với a, b, c, d

0 và
d
c
b
a
=
thì :
d
dc
b
ba
d
dc
b
ba
c
d
a
b
a
c
b
d
d
b
c
a

=
+

=
+
===
;
;;

db
ca
d
c
b
a
dc
dc
ba
ba
c
dc
a
ba
c
dc
a
ba


==

+
=

+

=
+
=
+
;
;
III. luỹ thừa
+ Một số định nghĩa
* Luỹ thừa số mũ nguyên
0)aN;(n
1
a
0)(a 1a
1)nN*;(n .....
n-
0
=
=
=
n
n
n
a
aaaaa

* Luỹ thừa số mũ hữu tỉ
N*)nm,0;(a

11
a
N*)nm,0;(a a
N*)n0;(a
y-
y
1
>==
>==
>=
n
m
y
n
m
n
m
n
n
a
a
aa
aa
+ Các tính chất cơ bản của luỹ thừa
Giả sử a > 0, b > 0 x, y R ta có :
( )
( )
xy
y
x

x
x
x
xx
x
yx
y
x
yxyx
aa
b
a
b
a
aaab
a
a
a
aaa
=
=






=
=
=

+
+ Một số tính chất khác
x, y R, x < y
* Với a > 1 a
x
< a
y
* Với 0 < a < 1 a
x
> a
y
IV.căn bậc n
+ Định nghĩa : n N
*
, căn bậc n của số a là một số b sao cho b
n
= a, kí hiệu là
n
a
* Mọi số a chỉ có một căn bậc lẻ
* Số âm không có căn bậc chẵn
* Số dơng có hai căn bậc chẵn, hai căn ấy có số trị đối nhau. Giá trị dơng
của căn bậc chẵn n của số a > 0 kí hiệu là
n
a
.
+
0

n
a
với a > 0 gọi là căn số học
)1*;(
>
nNn
+
( )
aa
n
n
=
(a

0)
0)b0;(a
b
a
0)b0;(a
n
>=
=
n
n
nnn
a
a
baab

<

==
=
0)(a a-
0)(a
a
0)(a
2
n
k
a
a
aa
nk
V. dãy số
+ Định nghĩa
Gọi N
*
= {1, 2, 3, ...}
Một dãy số là một hàm số u từ N
*
tới R
u : N
*
R
n U(n)
Kí hiệu U

n
= U(n), viết dãy số dới dạng
U
1
, U
2
, U
3
, ....U
n
+ Cách cho dãy số
* Dãy số cho bởi công thức :
U
n
= 2n + 1
* Dãy số cho bởi cách mô tả các số hạng liên tiếp của nó
* Dãy số cho bởi công thức truy hồi chẳng hạn dãy số Phibonasi :
U
1
= U
2
= 1, U
n
= U
n - 2
+ U
n - 1
với n 3
Dễ dàng ta có dạng khai triển của dãy : 1, 1, 2, 3, 5, 8...
* Dãy số bằng quy nạp :

- Cho số hạng thứ nhất U
1
- Với n > 1 cho công thức U
n
khi biết U
n - 1
+ Dãy số tăng, giảm
* Dãy số (U
n
) gọi là tăng nếu n N
*
, U
n
< U
n + 1

* Dãy số (U
n
) gọi là giảm nếu n N
*
, U
n
> U
n + 1

+ Dãy số bị chặn
* Dãy số (U
n
) bị chặn trên nếu M sao cho n N
*

, U
n
M
* Dãy số (U
n
) bị chặn dới nếu M sao cho n N
*
, U
n
m
* U
n
gọi là bị chặn nếu M, m sao cho m U
n
M.
+ Các phép toán trên dãy số
* (U
n
) (V
n
) = (U
n


V
n
)
* (U
n
) = (U

n
)
* (U
n
).(V
n
) = (U
n.
V
n
)
*
( )
0;Nn
)(
)(
*









=
n
n
n

n
n
V
V
U
V
U
VI. Cấp số cộng
+ Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của
số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.
n N
*
, U
n + 1
= U
n
+ d
+ Tính chất của cấp số cộng
* U
n + 1
U
n
= U
n + 2
U
n + 1
*
2
2

1
+
+
+
=
nn
n
UU
U
+ Số hạng tổng quát
U
n
= U
1
+ d(n 1)
+ Tổng n số hạng đầu

( )
( )
n
nda
S
naa
S
n
n
n
2
12
2

1
1
+
=
+
=
VII. Cấp số nhân
+ Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số
hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trớc nó với một số
không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.
n N
*
, U
n + 1
= U
n
.q
+ Tính chất :
( )
0*
::*
21
121
>=
=
++
+++
nnnn
nnnn

UUUU
UUUU
+ Số hạng tổng quát :
U
n
= U
1
.q
n - 1
+ Tổng n số hạng đầu tiên
( )
1
1
1
1321



=++++=
q
q
q
UUUUUS
n
nn
+ Tổng của cấp số nhân vô hạn
Với |q| < 1
q
U
UUUUUS

nn

=++++=
1
1
1321
VIII. Một số công thức khác của dãy số
( )
( ) ( )
2 2 2 2
1
1 2 3
2
1 2 1
1 2 3
6
n n
n
n n n
n
+
+ + +ììì+ =
+ +
+ + +ììì+ =
( )
( )
( )
( )
2
2

3 3 3 3
2
2
2
2 2 2
1
1 2 3
4
1 3 5 2 1
4 1
1 3 5 2 1
3
n n
n
n n
n n
n
+
+ + +ììì+ =
+ + +ììì+ =

+ + +ììì+ =
( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
321
4
1
21432321

1137241
3
21
13221
2
+++=+++++
+=++++
++
=++++
nnnnnnn
nnnn
nnn
nn
IX. Hoán vị
+ Định nghĩa
Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, đợc sắp xếp theo
một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần.
Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là P
n

+ Công thức :
P
n
=1.2.3.....n = n !
X. Chỉnh hợp
+ Định nghĩa
Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k n) là một bộ sắp thứ tự gồm k
phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n
phần tử ký hiệu là .
Công thức :

( )
( ) ( )
( )
n n
k k
0 k 1 k n n
k n n n n
n 1 n
n n
n!
A ; A n n 1 n k 1
n k !
A 1 ;A n k A ; A P n!
A A n!
+

= = ììì +

= = = =
= =
(Qui ớc 0! = 1)
XI. Tổ hợp
+ Định nghĩa
Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n nguyên dơng). Một tổ hợp chập k của
n phần tử (0 k n) là một tập con của A gồm k phần tử. Số tất cả các tổ
hợp chập k của n phần tử ký hiệu là
k
n
C
+ Công thức

( )
( ) ( )
!
11
!!
!
k
knnn
C
knk
n
C
k
n
k
n
+
=

=
+ Tính chất
( )
( )
nkCCC
CCCC
CC
nkCC
k
n
k

n
k
n
n
n
nnnn
n
nn
kn
n
k
n
<=+
=++++
==
=
+
+
+

0
2
1
0
1
1
1
210
0
XII. Tam giác pascal

n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10
1
XIII. công thức newtơn
T
k
là số hạng thứ k + 1 của khai triển nhị thức :

kknk
nk
baCT

=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n

mmnm
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba
babbababaaba
babbabaaba
cabbaaba
bababa
baba
0222110
54322345
5
332234
4
3223
3
22
2
1
510105
464
33
2
++++++=+

+++++=+
++++=+
+++=+
++=+
+=+

Hoc (a +b )
n
= a
n
+
n
1
a
n-1
b +
n(n 1)
1.2

a
n-2
b
2
+
n(n 1)(n 2)
1.2.3

a
n-3
b

3
+...+b
n
XIV. Phơng trình
1. Một số khai triển
+ Đẳng thức f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x, đợc
gọi là phơng trình một ẩn số, x là ẩn số.
+ Giải phơng trình (1) là tìm giá trị x = x
0
để có đẳng thức đúng f(x
0
) = g(x
0
).
+ Tơng tự f(x
1
, x
2
, x
3
, ...., x
n
) = g(x
1
, x
2
, x
3
, ...., x
n

) đợc gọi là phơng trình n ẩn,
(n N
*
)
+ Tập hợp các giá trị x
0
gọi là tập hợp các nghiệm của phơng trình kí hiệu là M,
nếu phơng trình không có nghiệm thì tập hợp các nghiệm là tập .
2. Phơng trình tơng đơng - phép biến đổi tơng đơng
+ phơng trình f(x) = 0 (1) có tập hợp nghiệm là M
1
.
phơng trình g(x) = 0 (2) có tập hợp nghiệm là M
2
.
Nếu M
1
= M
2
(1) và (2) tơng đơng
+ Nếu M
1
M
2
(2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1).
+ Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x) + h(x) = h(x) (2) là tơng đơng nếu h(x) có
miền xác định chứa tập nghiệm (1).
+ Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x).h(x) = 0 (2) tơng đơng h(x)

0 và

miền xác định h(x) chứa miềm xác định của f(x).
3. Phơng trình bậc nhất
+ Dạng ax + b = 0 (x là ẩn a, b R miền xác định là R).
+ Nghiệm :
* a 0 : có nghiệm duy nhất :

a
b
x
=
* a = 0, b

0 : Vô nghiệm
* a = 0, b = 0 : Vô số nghiệm trên R
4. Phơng trình bậc hai
+ ax
2
+ bx + c = 0. = b
2
- 4ac
* Nếu > 0 thì M = {x
1
, x
2
}

a
b
x
2

2,1

=
khi b = 2b', '' = b'
2
- ac thì :

a
b
x
''
2,1

=
* Nếu = 0, thì M = {x
1
}

a
b
x
2
2,1

=
* Nếu < 0, thì M = .
+ Một số trờng hợp thờng gặp
*
qpqpxx 4;0
22

==++
Nếu > 0, M = {x
1
, x
2
}
{ }
2
,,0
2
22

11
2
2
2,1
p
xxMq
p
q
pp
x
===






=

=
< 0, M = .
* ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0
a
c
xxcba
a
c
xx
===+
==
21
21
;10
;1
+ Định lí Viét
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có
{ }

==
=+=
=
a
c
xxP
a
b
xxS
xxM
21
21
21
;
+ Xét dấu nghiệm (quy ớc x
1
> x
2
)
0
0
0
0
*

0
0
0
0
*
00*
21
21
21
<<





<
>
>
<<





>
>
>
<<<
xx
S

P
xx
S
P
xxP
5. Phơng trình quy về bậc hai
+ ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1) (a

0) (phơng trình trùng phơng)
Đặt :
( )
42
2
0
xy
yxy
=
=
Phơng trình (1) đã về ay
2
+ by + c = 0 (2). Giải phơng trình (2) tìm
nghiệm y 0, sau đó tìm x bằng công thức :
yx
=

+ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d.

Đặt y = (x + a)(x + b)
+
( ) ( )
kbxax
=+++
44
Đặt :
2
ba
xy
+
+=
+
( )
00
234
=+++
aabxcxbxax
Chia hai vế của phơng trình cho x
2
(vì x = 0 không phải nghiệm của phơng
trình).
6. Phơng trình bậc ba
+ Dạng x
3
+ px + q = 0 (1)
Công thức nghiệm của phơng trình (1) (công thức Cacđanô)
3
32
3

32
27422742
pqqpqq
x
++++=
+ Dạng y
3
+ ay
2
+ by + c = 0
Đặt
3
a
xy
=
ta có phơng trình dạng x
3
+ px + q = 0 và có công thức giải nh
trên.
7. Phơng trình chứa căn bậc hai




>
=
=
0
2
B

BA
BA
8. Phơng trình tuyệt đối



=

=
)()(
0)(
)()(
22
xgxf
xg
xgxf
9. Phơng trình mũ
( )
1,0
>=
aaNa
x
* N 0 phơng trình vô nghiệm
* N > 0 phơng trình có nghiệm duy nhất :
N
a
log
10. Phơng trình logarit
log
a

x = N (a > 0, a

1) có nghiệm duy nhất x = a
N
XV. hệ PhƯơng trình
1. Hệ phơng trình bậc nhất

( )
caac
ca
ca
bc
bc
baab
ba
ba
D
cybxa
cbyax
''
''
D bcb'-c'
''
D ''
''
1
'''
yx
======

=+
=+

* Nếu D

0 hệ phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất :







=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
* Nếu D = 0 và (Dx

0) hoặc (Dy

0) hệ phơng trình (1) vô nghiệm.

* Nếu D = Dx = Dy = 0
- Trờng hợp a = a' = b = b' = 0, c

0, c'

0 hệ phơng trình (1) vô nghiệm.
- Các trờng hợp khác hệ (1) vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc hai
+ Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn số có dạng





=+++++
=+++++
0''''''
0
22
22
fyexdycxybxa
feydxcybxyax
Ta chỉ xét hai hệ sau :
* Hệ phơng trình đối xứng đối với x và y (khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì hệ
phơng trình không đổi)
Chẳng hạn :



=++

=++
2
4
22
yxyx
yxyx
Đối với hệ phơng trình trình này đặt S = x + y, P = xy.
* Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng
2 2
ax bxy cy d
x xy y e

+ + =

+ + =

Nếu x = 0, y = 0 không phải là nghiệm thì đặt y = kx và ta đợc phơng trình bậc hai
theo k.
XVI. Bất pHƯơng trình và hệ bất phƯơng
trình bậc nhất
+ Dấu của nhị thức ax + b
x -

b
a

+

b
x

a

+
ữ

- 0 +
a
a x
b

+
ữ

Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
+ Bất phơng trình bậc nhất thờng có dạng
ax + b > 0, ax + b 0, ax + b < 0, ax + b 0.
ax + b > 0 ax > -b
* Nếu
0 , ;
b b
a x M
a a

> > = +
ữ

* Nếu
0 , ;
b b
a x M

a a

< < =
ữ

* Nếu a = 0, b > 0 bất phơng trình có nghiệm tuỳ ý M = R.
* Nếu a = 0, b < 0 bất phơng trình vô nghiệm M = .
+ Hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số là tập hợp gồm nhiều bất phơng trình bậc
nhất hai ẩn số.
Tìm miền nghiệm của từng bất phơng trình, sau đó tổng hợp tìm miền nghiệm của
hệ.
XVII. Bất phƯơng trình bậc hai
+ Tam thức
2
( )f x ax bx c= + +
có hai nghiệm
1 2
;x x
thì :
( ) ( )
1 2
( )f x a x x x x
=
+ Dấu của tam thức
2
( )f x ax bx c= + +

( 0)a

2
4b ac
=
* < 0 thì a.f(x) > 0 x R