Hướng dẫn giải đề thi HSG huyện Phú Tân

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ TÂN
Năm học : 2008 - 2009
Bài 1: (5đ)
1/. Tính
2 3 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3
A
+ −
= +
+ + − −
2/. Tính giá trị của biểu thức:
2
3 2B x x= + +
với
3
3
1
2 1
2 1
x = − −
−
Bài 2: (6đ) Giải phương trình:
1/.
2
9 20 2 3 10x x x+ + = +
2/.
1
2 1 2 1
2
x
x x x x

−
− − + + − =
Bài 3: (3đ)
Tìm giá trí nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2 2
2008 2009P x x= + + +
Bài 4: (6đ)
Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và
DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh rằng:
1/. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
2/. Khi điểm D di động trên đường tròn thì
·
·
BMD BCD+
không đổi.
3/. DB.DC = DN.DA
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
1/.
( ) ( )
2 2
2 3 2 3
2 3 1 2 3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
1
2 3 1 2 3 1 3 3 3 3
A
+ −
= +

+ − − −
+ − + −
= + = + =
+ + − + + −
2/.
( )
33
3
1 1
2 1 3 2 1 2 3
2 1
2 1
x x
 
= − − − − − = − −
 ÷
 ÷
−
−
 
Do đó:
3
3 2 0x x+ + =
Bài 2:
1/. Điều kiện
10
3
x ≥ −
Ta có:
2

9 20 2 3 10x x x+ + = +
( )
( )
2
2
3 3 10 1 0
3 0
3
3
3
3 10 1 0
x x
x
x
x
x
x
⇔ + + + − =
+ =

= −


⇔ ⇔ ⇔ = −
 
= −
+ − =




x = -3 thỏa điều kiện nên PT có nghiệm là x = -3.
2/.
( )
1
2 1 2 1 1
2
x
x x x x
−
− − + + − =
Điều kiện:
1x ≥
( ) ( )
1
1 1 1 1 1 2
2
x
x x
−
⇔ − − + − + =
Trường hợp 1:
1 2x≤ <
( )
( )
1
2 1 1 1 1
2
5
x
x x

x loai
−
⇔ − − + − + =
⇔ =
Trường hợp 2:
2x
≥
( )
( )
( )
1
2 1 1 1 1
2
1
5
x
x x
x loai
x nhan
−
⇔ − − + − + =
=
⇔

=

Vậy PT có nghiệm là x = 5.
Bài 3:
2008 2009 2008 2009 1P x x x x= + + + ≥ − − + + =
với mọi x thuộc R.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2008 0
2009 2008
2009 0
x
x
x
+ ≤

⇔ − ≤ ≤ −

+ ≥

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 tại
2009 2008x− ≤ ≤ −
Bài 4:
1/. Điểm M và B nằm trên đường tròn đường kính DC.
2/.
·
·
·
·
·
0 0 0
90 90 180BMD BCD BMC CMD BCD+ = + + = + =
(không đổi)
3/. Ta có
·
·
DBN DAC=

(cùng bằng
·
BCN
)
·
·
BMC BDC=
(góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
MB//DN ( do BMDN là hình bình hành)
·
·
BMC DNM=
(so le trong)
Suy ra
·
·
BDC DNM=
Suy ra hai tam giác DNB và CDA đồng dạng với nhau
Suy ra điều phải chứng minh.