Hướng dẫn giải đề thi vào THPT

Sở Giáo Dục & Đào Tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Bắc giang
Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán
Đề Chính thức
Ngày thi:20/06/2008
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích x
2
9 thành tích
2) x = 1 có là nghiệm của phơng trình x
2
5x + 4 = 0 không ?
Câu 2: (1 điểm)
1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy
Câu 3: (1,5 điểm)
Tìm tích của hai số biết tổng của chúng bằng 17. Nếu tăng số thứ nhất lên 3
đơn vị và số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị.
Câu 4: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: P =
2 1
:
a b ab
a b a b
+
+
với a, b

0 và a b

Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại B, các đờng cao AD, BE cắt nhau tại H. Đờng
thẳng d đi qua A và vuông góc với AB cắt tia BE tại F
1) Chứng minh rằng: AF // CH
2) Tứ giác AHCF là hình gì ?
Câu 6: (1 điểm)
Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn
(O) với các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F. Kẻ BB vuông góc với OA, AA
vuông góc với OB. Chứng minh rằng: Tứ giác AABB nội tiếp và bồn điểm D, E,
A, B thẳng hàng.
Câu 7: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x x
2
)(y 2y
2
) với 0

x

2
0

y


1
2
------------------ Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: ......Số báo danh
Giám thị số 1 (họ tên và kí): ..

Giám thị số 2 (họ tên và kí): ..
Đáp án
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích x
2
9 thành tích
x
2
9 = (x + 3)(x - 3)
2) x = 1 có là nghiệm của phơng trình x
2
5x + 4 = 0 không ?
Thay x = 1 vào phơng trình ta thấy: 1 5 + 4 = 0 nên x = 1 là nghiệm của phơng
trình.
Câu 2: (1 điểm)
1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng biến hay nghịch biến ?
Hàm số y = - 2x + 3 là hàm nghịch biến vì có a = -2 < 0
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy
Với x = 0 thì y = 3 suy ra toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với
trục Ox là: (0; 3)
Với y = 0 thì x =
3
2
suy ra toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với
trục Oylà: (
3
2
; 0)
Câu 3: (1,5 điểm)
Tìm tích của hai số biết tổng của chúng bằng 17. Nếu tăng số thứ nhất lên 3

đơn vị và số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị.
Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y
Vì tổng của hai số bằng 17 nên ta có phơng trình: x + y = 17 (1)
Khi tăng số thứ nhất lên 3 đơn vị thì số thứ nhất sẽ là x + 3 và số thứ hai lên 2 đơn
vị thì số thứ hai sẽ là y + 2.
Vì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị nên ta có phơng trình:
(x + 3)(y + 2) = xy + 45
2x + 3y = 39 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
17
2 3 39
x y
x y
+ =


+ =

Giải hệ phơng trình ta đợc
12
5
x
y
=


=

Câu 4: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: P =

2 1
:
a b ab
a b a b
+
+
với a, b

0 và a b
P =
( )
( ) ( )
2
.( ) .
a b
a b a b a b a b
a b

+ = + =

với a, b

0 và a b
Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại B, các đờng cao AD, BE cắt nhau tại H. Đờng
thẳng d đi qua A và vuông góc với AB cắt tia BE tại F
1) Chứng minh rằng: AF // CH
2) Tứ giác AHCF là hình gì ?
H
d

F
E
D
C
A
B
1) Ta có H là trực tâm tam giác ABC suy ra CH AB
d AB suy ra AF AB suy ra CH // AF
2) Tam giác ABC cân tại B có BE là đờng cao nên BE đồng thời là đờng trung
trực suy ra EA = EC , HA = HC, FA = FC
Tam giác AEF = tam giác CEH nên HC=AF suy ra AH = HC = AF = FC nên tứ
giác AHCF là hình thoi
Câu 6: (1 điểm)
Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn
(O) với các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F. Kẻ BB vuông góc với OA, AA
vuông góc với OB. Chứng minh rằng: Tứ giác AABB nội tiếp và bồn điểm D, E,
A, B thẳng hàng.
Tứ giác AABB nội tiếp vì có suy ra
ã
ã
' ' 'AB A ABA=
mà
ã
ã
' 'ABA DBA=
suy ra
ã
ã
' ' 'AB A DBA=
Tứ giác BDBO nội tiếp vì có

ã
ã
0
' 90BB O BDO= =
Do đó D, B, A thẳng hàng
Tơng tự ta cũng có E, A, B thẳng hàng suy ra ĐPCM
F
E
D
B'
A'
C
B
A
O
Câu 7: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x x
2
)(y 2y
2
) với 0

x

2
0

y

1
2
Với 0

x

2 0

y


1
2
thì 2x-x
2

0 và y 2y
2


0
áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 2x x
2
= x(2 - x)


2
x 2
1
2

x+

=
ữ

y 2y
2
= y(1 2y ) =
2
1 1 2 1 2 1
.2 (1 2 )
2 2 2 8
y y
y y
+

=
ữ


(2x x
2
)(y 2y
2
)


1
8
Dấu = xảy ra khi x = 1, y =

1
4
Vậy GTLN của A là
1
8
x = 1, y =
1
4
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Bắc giang
Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán
Đề Chính thức
Ngày thi:22/06/2008
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính
3 2 2 2+
b) Cặp số (x,y)= (1;2) có là nghiệm của hệ phơng trình
23
1
x y
x y
+ =


=

không ?
Câu 2: (1 điểm)

1) Điểm A(-1;2) có thuộc đờng thẳng y = 4 + 2x không ?
2) Tìm x để
2x
có nghĩa .
Câu 3: (1,5 điểm)
Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài trừ chiều rộng bằng 18m và chiều
dài gấp 3 lần chiều rộng.
Câu 4: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: P =
2
2 2
1 : 1
1
1
x
x
x


+ +
ữ
ữ
+



với -1 < x < 1
Câu 5: (5 điểm)
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. C là một điểm nằm trên nửa đờng
tròn sao cho

ã
0
30BAC =
và D là điểm chính giữa của cung AC. Các dây AC và BD
cắt nhau tại K.
1) Chứng minh rằng: BD là phân giác của
ã
ABC
và AK = 2KC
2) Tính AK theo R.
Câu 6: (1 điểm)
Trên đờng tròn tâm O lấy hai điểm A, B phân biệt. Các tiếp tuyến của đờng
tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Từ A kẻ đờng thẳng song song với MB cắt đ-
ờng tròn (O) tại C . MC cắt đờng tròn (O) tại E. Các tia AE và MB cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng: MK
2
= AK.EK và MK = KB.
Câu 7: (1 điểm)
Cho a, b là hai số thực dơng thoả mãn
5
4
a b+ =
Chứng minh rằng
4 1
5
4a b
+
Khi nào bất đẳng thức xảy ra dấu bằng ?
------------------ Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: ......Số báo danh

Giám thị số 1 (họ tên và kí): ..