Đề thi chuyên ĐHKHTN - ĐHQGHN vòng 1 năm 2010

đại học quốc gia hà nội
Trờngđại học khoa học tự nhiên
đề thi tuyển sinh lớp 10
Hệ thpt chuyên năm 2010
Môn : toán (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải hệ phơng trình
3x + 8y + 12xy = 23
x + y = 2
2) Giải phơng trình

2x + 1 +3 4x - 2x +1 = 3 + 8x + 1
Câu II
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x;y) thỏa mãn đẳng thức
(1 + x )(1 + y ) + 4xy+2(x + y)(1 + xy) = 25
2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất
khôngvợtquá a và kíhiệu là [a].CM với mọi n nguyên dơng luôn có
3 + 7 + + n + n +1 = n
1.2 2.3 n(n + 1)

Câu III
Cho đờng tròn (O) với đờng kính AB = 2R. Trên đờng thẳng tiếp xúc
với đờng tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho ACB = 30 . Gọi H là giao
điểm thứ hai của đờng thẳng BC với đờng tròn (O).
1) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đền đờng
thẳng BC theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đờng thẳng BM cắt (O) tại
điểm N B. CM 4 điểm C,M, N, H nằm trên cùng một đờng tròn và tâm đ-
ờng tròn đó di chuyển trên một đờng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng
AC.

Câu IV
Với a,b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1+a)(1+b) =9/4, hãy tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + a^4 + 1 + b^4