Giải phương trình POISSON VÀ phương trình LAPLACE dạng sai phân bằng MATLAB - Báo cáo lý thuyết trường potx

Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 1

BÀI 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE
DẠNG SAI PHÂN BẰNG MATLAB

I. Mục đích

Giúp sinh viên học sử dụng chương trình Matlab để giải phương trình Poisson và
phương trình Laplace của điện trường tĩnh dưới dạng sai phân bằng phương pháp tính
lặp.

II. Nội dung

Tính sự phân bố của điện thế V của điện trường tĩnh trong 1 miền phẳng hình chữ
nhật ABCD với các kích thước a, b. Cho điện thế V=0 trên các cạnh AB, BC, CD, DA và
mật độ điện tích khối tự do phân bố đều ở miền bên trong các biên ρ = 2ε.
Ta chia hình chữ nhật ABCD thành 1 lưới hình vuông với cạnh bằng h, bằng các
dòng i = 1, 2, …, n và các cột j = 1, 2, …, m.
Phương trình Poisson : ΔV = - ρ/ε
Đưa về dạng sai phân:
{ V(i+1,j) + V(i-1,j) + V(i,j+1) + V(i,j-1) – 4V(i,j) }/ h
2
+ ρ(i,j)/ε
Với i = 1, 2, …, n
j = 1, 2, …, m
Ta có thể giải phương trình trên bằng phương pháp tính lặp theo công thức:
V
k+1
(i,j) = { V

k
(i+1,j) + V
k
(i-1,j) + V
k
(i,j+1) + V
k
(i,j-1) + ρ(i,j)/ε }/4
Với i = 2, 3, …, n - 1
j = 2, 3, …, m - 1
k = 1, 2, …, N
Với k = 1 ta có thể lấy V
1
= V0(i,j) = 0
Với i = 2, 3, …, n – 1
j = 2, 3, …, m - 1
Phép lặp sẽ dừng khi thỏa mãn yêu cầu về độ chính xác
Max {V
k+1
(i,j) - V
k
(i,j)} ≤ δ
Với i = 2, 3, …, n - 1
j = 2, 3, …, m – 1

*) Giải phương trình bằng Matlab ta tiến hành như sau:

>> % Dinh nghia cac thong so da cho cua bai toan

>> n=8; m=10; h=1; rotd=2; delta=0.01;

>> % Xac dinh cac dieu kien bien

>> i=1; for j=1: m, V0(i,j)=0; end;

>> i=n; for j=1: m, V0(i,j)=0; end;

Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 2

>> j=1; for i=1: n, V0(i,j)=0; end;

>> j=n; for i=1: n, V0(i,j)=0; end;

>> % Thuc hien lenh

>> V = poisson(n,m,h,rotd,delta,V0)

Thongbao =

Do chinh xac da dat duoc roi

deltamax =

0.0098

thongbao =

So lan tinh lap da thuc hien

k =

32


V =

Columns 1 through 8

0 0 0 0 0 0 0 0
0 2.2164 3.4615 4.1462 4.4532 4.4555 4.1522 3.4689
0 3.4118 5.4948 6.6834 7.2244 7.2282 6.6933 5.5071
0 3.9468 6.4382 7.8860 8.5505 8.5548 7.8973 6.4523
0 3.9487 6.4415 7.8901 8.5548 8.5588 7.9005 6.4545
0 3.4164 5.5028 6.6933 7.2348 7.2377 6.7010 5.5124
0 2.2207 3.4689 4.1554 4.4629 4.4644 4.1594 3.4738
0 0 0 0 0 0 0 0








Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 3

Columns 9 through 10

0 0
2.2219 0
3.4210 0
3.9574 0
3.9585 0
3.4236 0
2.2244 0
0 0

>> % Ham lenh poisson nay da duoc viet va cai vao thu muc work

>> % Giai phuong trinh Laplace( truong hop dac biet cua phuong trinh Poisson voi ρ=0)
dang sai phan bang phuong phap lap dung lenh sau

>> V = laplace(n,m,delta,V0)

Thongbao =

Do chinh xac da dat duoc roi

deltamax =

0

thongbao =

So lan tinh lap da thuc hien

k =

1


V =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 4

BÀI 2. KHẢO SÁT ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH

I. Mục đích

Giúp sinh viên học sử dụng PDE toolbox của Matlab để khảo sát sự phân bố của điện
thế V của điện trường tĩnh trong các vùng không gian khác nhau.

II. Nội dung

Xét bài toán xác định điện thế trong 1 miền không khí được bao bởi 2 biên hình
vuông có cạnh là 4m và 6m. Biên trong, điện thế là 1000V, biên ngoài điện thế là 0V.
Không có điện tích trong miền không khí, ta xét sự phân bố trường.
 Giải phương trình Laplace ΔV = 0 với điếu kiện biên V=1000 ở bên trong và V=0
ở bên ngoài
Giải bài toán bằng cách sử dụng toolbox PDE của Matlab, ta tiến hành như sau:
+ Gõ lệnh pdetool tại cửa sổ làm việc của Matlab.
+ Đặt lưới cho cửa sổ PDE, vào menu Options/Grid.
+ Vẽ 2 hình vuông đồng tâm với cạnh là 4m và 6m bằng cách vào menu Draw/
Rectangle/square ( centered). Định tâm và di con trỏ để vẽ.


Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 5

+ Trong cửa sổ Set Formula gõ lệnh: R2-R1 để xác định miền cần khảo sát trường điện
từ.
+ Có thể đặt lại thông số cho các hình vuông bằng cách nháy đúp lên nó, bảng thông số
hiện ra.



+ Chọn Options/ Application/ Electrostatics.
+ Thiết lập điều kiện bờ: chọn Boundary/ Boundary mode.



Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 6

+ Nhấn shift và kích chuột vào các đường biên hình vuông bên trong để chọn điều kiện
bờ giống nhau cho toàn bộ biên trong. Nháy đúp , hiện cửa sổ Boundary Condition, chọn
Dirichlet và gán giá trị cho các biến r=1000, h=1 của biên trong.
Tương tự đặt điều kiện bờ cho biên ngoài với r=0, h=1.








+ Chọn PDE/ PDE Specification, gán các giá trị epsilon=1(hằng số điện môi), rho=0(mật
độ điện tích không gian).





Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 7




+ Khởi tạo lưới các phần tử hữu hạn cho miền khảo sát: chọn Mesh/ Initialize Mesh.

Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 8




+ Quan sát sự phân bố thế: chọn Solve/ Solve PDE.

Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 9






+ Quan sát sự phân bố điện thế V trong vùng không gian khảo sát dưới dạng các đường
đẳng thế: chọn Plot/ Parameters.

Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 10




Quan sát các đường đẳng thế: chọn Contour.
Quan sát điện trường E, chọn Arrows hoặc Deformed Mesh.











Báo cáo lý thuyết trường ĐHBKHN

Page 11





Quan sát phân bố và giá trị của các đường đẳng thế 1 cách trực quan hơn, chọn
Height (3-D plot).