Chuyên đề: Tích Phân (Hot)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (226.45 KB, 19 trang )
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫
xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫
uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t lnx dt
x
= Þ =
2
x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ =
2
2
1
1
dt
I ln t ln2
t
Þ = = =
ò
.
Vậy
I ln2=
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cosx
I dx
(sin x cosx)
p
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Trang 1
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sin x cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t tanu= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
( )dx u t dt=
.
Bước 2. Đổi cận:
, x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.
Giải
Đặt
x sint, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= Î - Þ =
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= Þ = = Þ =
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t
p p
Þ = =
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x 2sint=
Trang 2
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
ĐS:
I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= Î - Þ = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
p p
+ p
Þ = = =
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tant+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ò
.
ĐS:
I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
ĐS:
I
12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos xsin xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cosx=
ĐS:
2
I
15
=
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sin x=
ĐS:
8
I
15
=
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Trang 3
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cosx sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
.
ĐS:
I ln2=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sinx 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= p - Þ = -
x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sint 1 sint 1
p
p
p -
p
Þ = - = -
p - + + +
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= p - Þ =
+ +
ò ò
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p p
æ ö
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p p p
÷
ç
= = - = p
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= Þ = = Þ =
Trang 4
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Chuyờn : Tớch Phõn
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
ị = -
p p
- + -
ũ
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ũ
(1).
Mt khỏc
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ũ
(2). T (1) v (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tng quỏt:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = ẻ
+ +
ũ ũ
Z
.
Vớ d 17. Tớnh tớch phõn
6
2
0
sin x
I dx
sinx 3cosx
p
=
+
ũ
v
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3cosx
p
=
+
ũ
.
Gii
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3cosx
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + ị =
1
I J ln3
4
+ =
(2).
T (1) v (2)
3 1 3 1 1 3
I ln3 , J ln3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Vớ d 18. Tớnh tớch phõn
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ũ
.
Gii
t
2
x tant dx (1 tan t)dt= ị = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= ị = = ị =
(
)
4 4
2
2
0 0
ln(1 tant)
I 1 tan t dt ln(1 tant)dt
1 tan t
p p
+
ị = + = +
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
0
4
0
4
I ln(1 tant)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ị = + = - + -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tanu 2
ln 1 du ln du
1 tanu 1 tanu
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0
ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln2
8
p
=
.
Trang 5
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Chuyờn : Tớch Phõn
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cosx
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
x t= -
S:
2
I
2
=
.
Tng quỏt:
Vi
a > 0
,
0a >
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - a a
thỡ
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ũ ũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
v tha
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ũ
,
x t dx dt= - ị = -
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - ị = = ị = -
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
ị = - = ị = + = - +
ũ ũ
2 2
0
2
cosxdx 2 cosxdx 2
p p
p
-
= = =
ũ ũ
.
Vy
2
I
3
=
.
3.3. Cỏc kt qu cn nh
i/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a
a
f(x)dx 0
-
=
ũ
.
ii/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ũ ũ
.
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,
n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n!! 2
p p
ỡ
-
ù
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
-
p
ù
ù
ù
ù
ợ
ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Trang 6
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Ví dụ 21.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ò
.
Ví dụ 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ò
.
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số
u(x), v(x)
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + Þ = +
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udvÞ = + Þ = +
ò ò ò
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vduÞ = + Þ = -
ò ò ò ò
.
Công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ò ò
(1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ò ò
(2).
2. Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx
ò
ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1. Đặt
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx=
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
ò
phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx
ò ò ò
với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)=
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x)lnxdx
ò
thì đặt
u ln x=
.
Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=
ò ò
và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
Trang 7
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - =
ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I xlnxdx=
ò
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u lnx
x
dv xdx
x
v
2
ì
ï
=
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
xlnxdx lnx xdx
2 2 4
+
Þ = - =
ò ò
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2
x
0
I e sinxdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
x x
u sinx
du cosxdx
dv e dx v e
=
=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î
î
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sinxdx e sinx e cosxdx e J
p p
p
p
Þ = = - = -
ò ò
.
Đặt
x
x
u cosx
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cosxdx e cosx e sinxdx 1 I
p p
p
Þ = = + = - +
ò ò
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
Þ = - - + Þ =
.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t x=
2
0
I 2 t costdt 2
p
Þ = = = p -
ò
L L
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin1 cos1)e 1
I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Trang 8
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
a
1
x
2
x
b
f(x)
+
0
-
0
+
Bước 2. Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-
1
2
2
x 3x 2- +
+
0
-
0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Vậy
59
I
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4cos x 4sin xdx
p
= - -
ò
.
ĐS:
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Trang 9
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x
– 0 + +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-
= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a
I max f(x), g(x) dx=
ò
và
{ }
b
a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0>
thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + - + + =
ò ò ò
.
Vậy
80
I
3
=
.
Ví dụ 13. Tính tích phân
{ }
2
x
0
I min 3 , 4 x dx= -
ò
.
Giải
Đặt
( )
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + -
.
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln3 2 ln3 2
æ ö
÷
ç
= + - = + - = +
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
.
Vậy
2 5
I
ln3 2
= +
.
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh
b
a
f(x)dx 0³
ò
(hoặc
b
a
f(x)dx 0£
ò
) ta chứng minh
f(x) 0³
(hoặc
f(x) 0£
) với
[ ]
x a; b" Î
.
Trang 10
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Ví dụ 14. Chứng minh
1
3
6
0
1 x dx 0- ³
ò
.
Giải
Với
[ ]
1
3 3
6 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" Î £ Þ - ³ Þ - ³
ò
.
2. Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx³
ò ò
ta chứng minh
f(x) g(x)³
với
[ ]
x a; b" Î
.
Ví dụ 15. Chứng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
Giải
Với
11 10
x 0; : 0 sinx 1 0 sin x sin x
2
p
é ù
" Î £ £ Þ £ £
ê ú
ë û
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
Þ + ³ + > Þ £
+ +
.
Vậy
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
3. Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m f(x) M£ £
.
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - £ £ - =
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5£ + £
ò
.
Giải
Với
[ ]
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" Î £ + £ Þ £ + £
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5£ + £
ò
.
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4
2
4
dx
4 2
3 2sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.
Giải
Với
2
3 2 1
x ; : sinx 1 sin x 1
4 4 2 2
p p
é ù
" Î £ £ Þ £ £
ê ú
ë û
2
2
1 1
1 3 2sin x 2 1
2
3 2sin x
Þ £ - £ Þ £ £
-
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2sin x
p
p
p p p p
Þ - £ £ -
-
ò
.
Trang 11
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Vậy
3
4
2
4
dx
4 2
3 2sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
Giải
Xét hàm số
cotgx
f(x) , x ;
x 4 3
p p
é ù
= Î
ê ú
ë û
ta có
2
/
2
x
cotgx
sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
-
-
p p
é ù
= < " Î
ê ú
ë û
( ) ( )
Q (x) f x ;
3 4 4 3
p p p p
é ù
Þ £ £ " Î
ê ú
ë û
3 cotgx 4
x ;
x 4 3
p p
é ù
Þ £ £ " Î
ê ú
p p ë û
( ) ( )
3
4
3 cotgx 4
dx
3 4 x 3 4
p
p
p p p p
Þ - £ £ -
p p
ò
.
Vậy
3
4
3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ì
£ " Î
ï
ï
ï
ï
Þ £
í
ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
ì
£ " Î
ï
ï
ï
ï
Þ £
í
ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Giải
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
é ù
" Î £ £ £
ê ú
ê ú
ë û
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2
1 x 1 x
Þ £ - £ - £ Þ £ £
- -
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
Þ £ £
- -
ò ò ò
.
Đặt
x sint dx costdt= Þ =
2
x 0 t 0, x t
2 4
p
= Þ = = Þ =
Trang 12
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Chuyờn : Tớch Phõn
2
2 4
2
0 0
dx costdt
cost 4
1 x
p
p
ị = =
-
ũ ũ
.
Vy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
Ê Ê
-
ũ
.
Vớ d 20. Chng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
Ê Ê
+ -
ũ
.
Gii
Vi
[ ]
2
x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1" ẻ - Ê + - Ê -
2
x x x
3 1 2 1
x 2 1
ị Ê Ê
- -
+ -
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1
x 2 1
ị Ê Ê
- -
+ -
ũ ũ ũ
.
Vy
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
Ê Ê
+ -
ũ
.
V. NG DNG CA TCH PHN
A. TNH DIN TCH HèNH PHNG
1. Din tớch hỡnh thang cong
Cho hm s
f(x)
liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi cỏc ng
y f(x), x a, x b= = =
v trc honh l
b
a
S f(x) dx=
ũ
.
Phng phỏp gii toỏn
Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) trờn on [a; b].
Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn
b
a
f(x) dx
ũ
.
Vớ d 1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
y lnx, x 1, x e= = =
v Ox.
Gii
Do
[ ]
lnx 0 x 1; e " ẻ
nờn
( )
e e
e
1
1 1
S ln x dx lnxdx x ln x 1 1= = = - =
ũ ũ
.
Vy
S 1=
(vdt).
Vớ d 2. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = =
v Ox.
Gii
Bng xột du
x 0 1 3
y 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + + + - + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
8
S
3
=
(vdt).
Trang 13
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x), x a, x b= = = =
là
b
a
S f(x) g(x) dx= -
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx-
ò
.
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)= =
là
S f(x) g(x) dx
b
a
= -
ò
. Trong đó
, a b
là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình
f(x) g(x)=
( )
a b£ a < b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
,
x 0, x 2= =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= Û = Ú = Ú =
(loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + - + - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
5
S
2
=
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= Û = Ú = Ú =
.
Bảng xét dấu
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -
ò ò
2 3
4 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + - - - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Trang 14
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Chuyờn : Tớch Phõn
Vy
1
S
2
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu trong on
[ ]
; a b
phng trỡnh
f(x) g(x)=
khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng cụng
thc
[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ũ ũ
.
Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y x , y 4x= =
.
Gii
Ta cú
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
ị = - + -
ũ ũ
0 2
4 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
S 8=
(vdt).
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4 x 3= - +
v trc honh.
Gii
Ta cú
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = =
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
= = =
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ
ờ ờ ờ
= = =
ở ở ở
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
ị = - + = - +
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + + - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
Vy
16
S
3
=
(vdt).
Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3= - +
v
y x 3= +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x 4x 3 x 3- + = +
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +
ớ
ờ ờ
=
ù
ù
ở
ờ
ù
- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5
2
x 4x 3- +
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dxị = - + - + - + -
ũ ũ ũ
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + - =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy
109
S
6
=
(vdt).
Trang 15
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Chuyờn : Tớch Phõn
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù
ù
ộ
- = +
=
ớ ớ
ờ
=ù ù
ù ù
ợ
ờ
ù
- = - -
ờ
ù
ợ ở
( ) ( )
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
-
ị = - - + = - - +
ũ ũ
Bng xột du
x 0 1 3
2
x 1-
0 +
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dxị = - - - + - -
ũ ũ
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
73
S
3
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh (tuy nhiờn thi H thỡ khụng cú).
B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY
1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
y f(x) 0 x a;b= " ẻ
,
y 0=
,
x a=
v
x b (a b)= <
quay quanh trc Ox l
b
2
a
V f (x)dx= p
ũ
.
Vớ d 9. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn
2 2 2
(C) : x y R+ =
quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im ca (C) v Ox l
2 2
x R x R= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -
( ) ( )
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
-
ị = p - = p -
ũ ũ
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
3
4 R
V
3
p
=
(vtt).
2. Trng hp 2.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
x g(y) 0 y c;d= " ẻ
,
x 0=
,
y c=
v
y d (c d)= <
quay quanh trc Oy l
d
2
c
V g (y)dy= p
ũ
.
Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
+ =
quay quanh Oy.
Gii
Trang 16
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Chuyờn : Tớch Phõn
Tung giao im ca (E) v Oy l
2
2
y
1 y b
b
= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ị = p - = p -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ũ ũ
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
2
4 a b
V
3
p
=
(vtt).
3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=
v
[ ]
x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= p -
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
y x=
,
2
y x=
quay quanh
Ox.
Gii
Honh giao im
4
x 0
x 0
x 1
x x
=
ỡ
ộ
ù
ù
ờ
ớ
ờ
=ù
=
ù
ở
ợ
.
( )
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dxị = p - = p -
ũ ũ
( )
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
p
= p - =
.
Vy
3
V
10
p
=
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x f(y), x g(y)= =
,
y c=
v
[ ]
y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d )= < " ẻ
quay quanh trc Oy l
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= p -
ũ
.
Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
x y 5= - +
,
x 3 y= -
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im
2
y 1
y 5 3 y
y 2
= -
ộ
ờ
- + = -
ờ
=
ở
.
( )
( )
2
2
2
2
1
V y 5 3 y dy
-
ị = p - + - -
ũ
( )
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
-
= p - + +
ũ
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - + + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
.
Trang 17
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
Vậy
153
V
5
p
=
(đvtt).
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1. Tính I=
( )
1
10
0
1−
∫
x dx
Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
1 2 10
10 10 10
1 1 1
1
2 3 11
= − + − +
S C C C
2. Tính:
( )
1
19
0
1I x x dx= −
∫
. Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1
2 3 4 20 21
S C C C C C= + − + −−
.
3. Chứng minh rằng:
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=
sin cos
sin cos
x x
x x
+
−
, biết rằng
ln2
4
F
π
÷
− =
2. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
2 5-7
e
x x
dx
x
+
∫
B=
2
2
-2
-1x dx
∫
C=
2
0
2 ln 2
x
dx
∫
3. Tính các tích phân sau:
A=
3
3 cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx
x
∫
C
*
=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
∫
D
*
=
2
1
1 -1
x
dx
x
+
∫
4. Tính các tích phân sau:
I=
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
J=
4
2
6
sin cot
dx
x x
π
π
∫
K=
10
1
lg xdx
∫
L=
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
xdx
x x
π
+
∫
N=
2
2
1
- 9
dx
x
∫
C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x
dx
x
π
+
∫
5. Tính các tích phân sau:
A=
1
2
0
4 -
dx
x
∫
B=
3
2
3
3
dx
x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
+
∫
E=
3
2
2
2
1
dx
x −
∫
6. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
B
*
=
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
C
*
=
2
2
1
ln x
dx
x
∫
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
E=
2
4
3
1
3 2x x
dx
x
−
∫
1
2
*
4
1
1
1
x
F dx
x
−
−
=
+
∫
7. Tính:
A=
4
2
0
cos xdx
π
∫
B=
2
3
0
cos xdx
π
∫
C=
1
0
x
xe dx
∫
D=
4
1
x
e
dx
x
∫
E=
2
1
lnx xdx
∫
F=
1
ln 1
e
x
dx
x
+
∫
G=
2
2
0
1 2x x dx+
∫
H=
4
0
1 2x xdx+
∫
I=
2
1
1
x
dx
x +
∫
J=
1
2
0
1
x
dx
x+
∫
Trang 18
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Chuyên đề: Tích Phân
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x
+
b. y=2
x
; y=3−x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=
3
π
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
−2x
2
+4x−3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.
−Hết−
Trang 19
