LTDH 2010
Chủ đề: điểm và đồ thị - các bài toán liên quan
Cho họ đường
( ) ( )
: ,
m
C y f x m=
, với m là tham số thực và điểm
( )
0 0
;M x y
cho trước.
+
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
; ,
m
M x y C y f x mÎ Û =
(1)
+ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m. Chẳng hạn: mA+B = 0 (2)
+ Số nghiệm m của (2) bằng số đường của họ
( )
m
C
đi qua M.
Cụ thể:
i). phương trình (2) vô nghiệm (theo m) thì không có đường nào của họ
( )
m
C
đi qua M.
ii). phương trình (2) có k nghiệm m thì có k đường của họ
( )
m
C
đi qua M.
iii). phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m thì tất cả các đường của họ
( )
m
C
đi qua M. Khi đó điểm
M được gọi là điểm cố định của họ
( )
m
C
.
+ Các loại toán:
1. Tìm điểm cố định của họ đường
( )
m
C
.
Sơ đồ giải
b1. Gọi điểm
( )
0 0
;M x y
là điểm cố định của họ đường
( )
m
C
, ta có:
( )
0 0
,y f x m=
(1)
+ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m. Chẳng hạn: mA+B = 0 (2)
b2. Sử dụng tính chất vô số nghiệm của phương trình
(2) nghiệm đúng với mọi m
0
0
A
B
ì
=
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
î
(3)
b3. Kết luận: tọa độ điểm cố định (nếu có) là nghiệm của hệ (3)
2. chứng minh họ đường
( )
m
C
có ba điểm cố định thẳng hàng.
Sơ đồ giải
b1. Gọi điểm
( )
0 0
;M x y
là điểm cố định của họ đường
( )
m
C
, ta có:
( )
0 0
,y f x m=
(1)
+ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m. Chẳng hạn: mA+B = 0 (2)
b2. Sử dụng tính chất vô số nghiệm của phương trình
(2) nghiệm đúng với mọi m
0
0
A
B
ì
=
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
î
(3)
b3. Một trong hai khả năng xảy ra:
Khả năng 1:
+ Tìm được 3 nghiệm phân biệt của hệ (3). Khi đó họ đường
( )
m
C
đi qua 3 điểm cố định là
1 2 3
, ,M M M
+ chứng minh ba điểm
1 2 3
, ,M M M
thẳng hàng.
1 2 3
, ,M M M
thẳng hàng
1 2 1 3
.M M k M MÛ =
uuuuur uuuuur
Khả năng 2:
Không chỉ ra được 3 nghiệm phân biệt của hệ (3) hoặc hệ (3) có nghiệm “ không đẹp ”
+ chứng minh hệ (3) có 3 nghiệm phân biệt và kết luận
( )
m
C
đi qua 3 điểm cố định
1 2 3
, ,M M M
+ Từ hệ (3) suy ra phương trình hệ quả dạng ax + by + c = 0 (4). Từ đó kết luận 3 điểm cố định
1 2 3
, ,M M M
nằm trên đường thẳng (4) và chúng thẳng hàng
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 1
3. Tìm điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ đường
( )
m
C
không đi qua, với mọi m.
Sơ đồ giải
b1. Gọi điểm
( )
0 0
;M x y
là điểm mà họ đường
( )
m
C
không thể đi qua với mọi m, ta có:
( )
0 0
,y f x m=
vô nghiệm (theo m)
b2. Dùng tính chất vô nghiệm suy ra
( )
0 0
;x y
thỏa
b3. Kết luận
4. Tìm điểm mà họ đường
( )
m
C
có đúng k đường đi qua.
Sơ đồ giải
b1. Gọi điểm
( )
0 0
;M x y
là điểm mà họ đường
( )
m
C
có đúng k đường đi qua, ta có:
( )
0 0
,y f x m=
có đúng k nghiệm (theo m)
b2. Dùng tính chất có k nghiệm suy ra
( )
0 0
;x y
b3. Kết luận
5. Biện luận vị trí tương đối của một điểm cho trước với họ đường
( )
m
C
5. điểm trên đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
có tọa độ nguyên
B1. Tìm trên đồ thị
( ) ( )
2
1
: 5
6
C y x x= +
những điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên.
+ TXĐ: R
+ Ta có:
( ) ( ) ( )
2
1
; 5
6
M x y C y x xÎ Û = +
+ Giả sử x là số nguyên
( )
x Î ¢
và thử một số giá trị của x, ta có:
0 0x y= Þ =
;
1 1x y= Þ =
;
14
2
3
x y= Þ =
;
3 12x y= Þ =
;
4 24x y= Þ =
;
125
5
3
x y= Þ =
+ Qua đó ta thấy:
i).
0, 3x x= =
, ( có dạng
3 , x k k= Î ¢
)
yÞ Î ¢
ii).
1, 4x x= =
, ( có dạng
3 1 , x k k= + Î ¢
)
yÞ Î ¢
iii).
2, 5x x= =
, ( có dạng
3 2 , x k k= + Î ¢
)
yÞ Ï ¢
+ chứng minh
i). Nếu
3 , x k k= Î ¢
thì ta có:
( )
2
3
3 5
2
y k k= +
● Nếu k là số nguyên chẵn (
2 ,k m m= Î ¢
) thì
( )
2
6 6 5y m m= + Î ¢
● Nếu k là số nguyên lẻ (
2 1,k m m= + Î ¢
) thì
( ) ( )
2
3 2 1 3 4y m m= + + Î ¢
ii). Nếu
3 1 , x k k= + Î ¢
thì ta có:
( ) ( )
2
1
3 1 2
2
y k k= + +
● Nếu k là số nguyên chẵn (
2 ,k m m= Î ¢
) thì
( ) ( )
2
6 1 1y m m= + + Î ¢
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 2
● Nếu k là số nguyên lẻ (
2 1,k m m= + Î ¢
) thì
( ) ( )
2
2 3 2 2 3y m m= + + Î ¢
iii). Nếu
3 2 , x k k= + Î ¢
thì ta có
( ) ( )
2
1
3 2 3 7
6
y k k= + +
● Nếu k là số nguyên chẵn (
2 ,k m m= Î ¢
) thì
( ) ( )
2
2
3 1 6 7
3
y m m= + +
,
vì:
3 1m +
và
6 7m +
không chia hết cho 3 (
( )
3 1m + M3
và
( )
6 7m+ M3
)
nên
( ) ( )
2
2
3 1 6 7
3
y m m= + + Ï ¢
.
● Nếu k là số nguyên lẻ (
2 1,k m m= + Î ¢
) thì
( ) ( )
2
1
6 5 3 5
3
y m m= + +
vì:
6 5m +
và
3 5m +
không chia hết cho 3 (
( )
6 5m+ M3
và
( )
3 5m + M3
) nên
( ) ( )
2
1
6 5 3 5
3
y m m= + + Ï ¢
+ Vậy: Các điểm trên
( )
C
có tọa độ nguyên là những điểm có dạng
3x k=
Þ
( )
2
3
3 5
2
y k k= +
,
k Î ¢
và
3 1x k= +
Þ
( ) ( )
2
1
3 1 2
2
y k k= + +
,
k Î ¢
B2. Tìm các điểm thuộc đồ thị
( )
2
5 15
:
3
x x
C y
x
+ +
=
+
sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên
+ TXĐ: D =
{ }
\ 3-¡
và
9
2
3
y x
x
= + +
+
+ Ta có:
( ) ( )
9
; 2
3
M x y C y x
x
Î Û = + +
+
+ Giả sử x là số nguyên
( )
x Î ¢
thì
y là số nguyên
Û
x + 3 là ước số của 9
Û
x + 3
{ }
1, 3, 9Î ± ± ±
+ Vậy: có 6 điểm mà tọa độ là các số ngyên là
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 4; 11 , 2;9 , 6; 7 , 0;5 , 12; 11 , 6;9x y = - - - - - - -
B3. Tìm trên đồ thị
( )
2
4 3
:
1
x
C y
x
-
=
+
những điểm sao cho tọa độ của chúng là các số nguyên
+ TXĐ: D =
¡
+ Ta có:
( ) ( )
2
4 3
;
1
x
M x y C y
x
-
Î Û =
+
(1)
+ Từ (1) suy ra phương trình
2
4 3 0yx x y- + + =
(2) có nghiệm nguyên.
● Nếu y = 0 thì (2) trở thành:
4 3 0x- + =
3
4
xÛ =
(
Ï ¢
)
● Nếu
0y ¹
thì (2) là phương trình bậc hai.
(2) có nghiệm
Û
( )
/
4 3 0y yD = - + ³
2
3 4 0y yÛ - - + ³
Û
4 1y- £ £
Khi đó:
[ ]
{ }
0
4, 3, 2, 1,1
4;1
y
y y
y
ì
ï
¹
ï
ï
ï
Î Þ Î - - - -
í
ï
ï
ï
Î -
ï
î
¢
{ }
0,2xÞ Î
là số nguyên
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 3
+Vậy có hai điểm cần tìm là
( ) ( ) ( )
{ }
; 0; 3 , 2;1x y = -
B5. Tìm điểm thuộc
( ) ( )
2
: 2 1 4C y x y x y x= + + + +
có tọa độ là các số nguyên.
+ Ta có:
( ) ( ) ( )
2
; 2 1 4M x y C y x y x y xÎ Û = + + + +
(1)
+ Xét phương trình:
( ) ( )
2 2
2 1 4 2 1 4y x y x y x y x y x y x= + + + + Û - = + + +
( ) ( )
2
2
0
2 1 4
y x
y x y x y x
ì
- ³
ï
ï
Û
í
ï
+ + + = -
ï
î
2
4
4 2
y x
x x
y
x
ì
³
ï
ï
ï
ï
Û
í
-
ï
=
ï
ï
+
ï
î
( )
9 9
4 8 8 2 1
y x
x
y
x
ì
³
ï
ï
ï
ï
Û
í
= - +
ï
ï
+
ï
ï
î
9
8 2 9
2 1
y x
y x
x
ì
³
ï
ï
ï
Û
í
ï
- + =
ï
ï
+
î
Khi đó: x, y là các số nguyên
Û
2x + 1 là ước số của 9
{ }
2 1 1, 3, 9xÛ + Î ± ± ±
Từ đó ta có hai cần tìm là
( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 2 , 0;0x y = - -
BÀI TẬP LÀM THÊM
b1. Các đề thi TS. Tìm trên đồ thị
( )
C
các điểm có tọa độ nguyên.
1.
2
1
2
x x
y
x
+ -
=
+
2.
4
1
1
y x
x
= + +
-
3.
2
1
1
x x
y
x
+ -
=
-
4.
2
3 6
2
x x
y
x
+ +
=
+
5.
2 1
2
x
y
x
-
=
+
B2. Tìm điểm thuộc đồ thị
( )
C
có tọa độ là các số nguyên
a.
8 3
2 1
x
y
x
+
=
-
b.
10 4
3 2
x
y
x
-
=
+
c.
2
6 8
1
x
y
x
-
=
+
d.
2
12 3
1
x
y
x x
-
=
- +
B3. Tìm điểm thuộc đồ thị
( )
C
có tọa độ là các số nguyên
a.
( )
2
2 4 1 6y x y x y x= + + - +
b.
( )
2
3 8 2 5y x y x y x= - - + -
c.
( )
3 2
1
2 7 4
6
y x x x= + - +
d.
( )
3 2
1
3 2
12
y x x x= + +
6. Tìm điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn tính chất K cho trước.
Bài toán. Tìm điểm thuộc đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
thỏa mãn tính chất K cho trước
Sơ đồ giải
b1. Lấy điểm
( )
1 1
;M x y
tùy ý thộc
( )
C
, ta có:
( )
1 1
y f x=
b2. Vận dụng từ tính chất K cho trước.
b3. Kết luận
BÀI TẬP
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 4
B1. Cho hm s
( )
2
2 2
1
x x
y f x
x
- +
= =
-
cú th l
( )
C
. Tỡm tham s thc
k
sao cho trờn
( )
C
cú
hai im P, Q phõn bit tha món iu kin
P P
Q Q
x y k
x y k
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
. T ú chng minh P, Q cựng thuc mt
nhỏnh ca
( )
C
.
ỏp s:
1 2 2, 1 2 2k k< - > +
B2. Cho hm s
( )
2
1
1
x x
y f x
x
+ -
= =
-
cú th l
( )
C
. Tỡm tham s thc
m
sao cho trờn
( )
C
cú hai
im P, Q phõn bit tha món iu kin
P P
Q Q
x y m
x y m
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
ỏp s:
4 2 2, 4 2 2m m< - > +
B3. Tỡm cỏc im trờn th hm s
2
1
2
x x
y
x
+ -
=
+
sao cho ta ca chỳng l nhng s nguyờn.
ỏp s:
( ) ( )
1 2
3; 5 , 1; 1M M- - - -
B4. Tỡm trờn th hm s
3 2
1
x
y
x
+
=
-
tt c nhng im cú cỏc ta l s nguyờn.
ỏp s:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
6;4 , 4;2 , 2;8 , 0; 2M M M M- -
7. Tỡm hai im thuc th hm s v i xng vi nhau qua mt im cho trc.
Bi toỏn. Tỡm hai im
,A B
thuc th
( ) ( )
:C y f x=
sao cho chỳng i xng vi nhau qua im
( )
;I a b
cho trc.
S gii
b1. Ly hai im
( )
;
A A
A x y
,
( )
;
B B
B x y
thuc th
( ) ( )
:C y f x=
, ta cú:
( )
A A
y f x=
,
( )
B B
y f x=
b2. Dựng tớnh cht i xng qua mt im (i xng qua tõm) tỡm ta
,A B
.
,A B
i xng vi nhau qua
( )
;I a b
2
2
A B
A B
x x a
y y b
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
b3. Kt lun
BI TP
B1. Cho
( )
( )
3 2 2 2
: 3 3 1 1
m
C y x mx m x m= - + - + -
, vi m l tham s thc.
Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m th
( )
m
C
cú hai im phõn bit i xng vi nhau qua gc ta .
ỏp s:
1,0 1m m<- < <
B2. Xỏc nh tham s thc m th hm s
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
cú hai im i xng vi nhau
qua gc ta .
ỏp s:
{ }
2 2
; ; \ 1
2 2
m
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ẻ - Ơ - ẩ +Ơ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
8. Tỡm hai im thuc th hm s v i xng vi nhau qua mt ng thng cho trc.
Trn Chớ Thanh ( im v th hm s ) Page 5
Bài toán. Tìm hai điểm
,A B
thuộc đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường
thẳng
:d y ax b= +
( )
0a ¹
cho trước.
Sơ đồ giải
b1. Gọi
D
là đường thẳng vuông góc với
d
, ta có
1
: y x m
a
D =- +
và giả sử
D
cắt đồ thị
( )
C
tại hai
điểm phân biệt
,A B
. Khi đó hoành độ
,A B
là nghiệm của phương trình:
( )
1
f x x m
a
=- +
(1)
b2. Tìm điều kiện của
m
để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
,
A B
x x
và sử dụng hệ thức “Vi-
et” để tính
? , . ?
A B A B
x x x x+ = =
(theo
m
)
b3. Tính tọa độ trung điểm I của AB và lý luận I thuộc
d
ta sẽ tìm được
m
. Từ đó suy ra tọa độ
,A B
BÀI TẬP
B1. Tìm hai điểm
,A B
thuộc đồ thị
( )
2
:
1
x
C y
x
=
+
sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng
: 1d y x= +
đáp số:
2 2 2 2
;1 , ;1
2 2 2 2
A B
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- + -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
B2. Chứng minh rằng đồ thị
( )
1
:
1
x
C y
x
-
=
+
nhận đường thẳng
:d y x=-
làm trục đối xứng
B3. Tìm hai điểm
,A B
thuộc đồ thị
( )
2
:
1
x
C y
x
=
-
sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng
: 1d y x= -
đáp số:
2 2 2 2
; 1 , ; 1
2 2 2 2
A B
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- - + - -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
B4. Tìm hai điểm
,A B
thuộc đồ thị
( )
( )
2
3 4
:
2 1
x x
C y
x
- +
=
-
sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường
thẳng
:d y x=
.
đáp số:
1,2
15 57
6
x
±
=
9. Quỹ tích điểm (dạng xác định)
10. đồ thị đối xứng qua một điểm cho trước.
B1. Cho họ đường
( )
( ) ( )
2
1
:
1
m
x m mx
C y
x
- +
=
+
, với m là tham số thực. Chứng minh rằng
( )
m
C
và
( )
m
C
-
đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
HD.
+ Từ
( )
m
C
suy ra
( )
m
C
-
+ Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
1
;
1
m
x m mx
M x y C y
x
- +
Î Û =
+
(1)
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 6
+ Gi
( )
' '; 'M x y
l im i xng vi
M
qua O, ta cú:
' 0 '
' 0 '
x x x x
y y y y
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
+ = =-
ù ù
ợ ợ
(2)
+ Thay (2) vo (1) v chng minh
( )
'
m
M C
-
ẻ
+ Kt lun
B2. Cho
( )
2 2 2
2
:
1
m
x m x m
C y
x
+ +
=
+
, vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho
( )
m
C
cú hai im i
xng vi nhau qua gc ta O.
ỏp s:
{ }
2 2
; ; \ 1
2 2
m
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ẻ - Ơ - ẩ +Ơ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
B3. Tỡm cỏc im thuc th
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
- +
=
-
sao cho chỳng i xng vi nhau qua im
( )
2;1I
B4. Cho
( )
3 2
: 9 4
m
C y x mx x= + + +
, vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho
( )
m
C
cú hai im
i xng vi nhau qua gc ta .
ỏp s:
0m <
B9. Cho
( )
3 2
: 7 3
m
C y x mx x= + + +
, vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho
( )
m
C
cú hai im
i xng vi nhau qua gc ta .
B10. Cho
( )
( )
3 2 2 2
: 3 3 1 1
m
C y x mx m x m= - + - + -
, vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho
( )
m
C
cú hai im i xng vi nhau qua gc ta .
B5. Tỡm trờn th
( )
3 4
:
2 1
x
C y
x
+
=
-
cỏc cp im i xng vi nhau qua im
( )
1;1I
ỏp s:
( ) ( )
1 3;1 3 , 1 3;1 3A B- - + +
B6. Tỡm trờn th
( )
2
2
:
1
x x
C y
x
+ +
=
-
cỏc cp im i xng vi nhau qua im
5
0;
2
I
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ỏp s:
( ) ( )
3; 2 , 3;7A B- -
B7. Tỡm th
( ) ( )
' :C y g x=
i xng vi th
( )
( )
2
1
:
2
x
C y
x
-
=
-
qua im
( )
1;1I
.
ỏp s:
( )
2
1
' :
x
C y
x
+
=
B8. Tỡm th
( ) ( )
' :C y g x=
i xng vi th
( )
3 2
: 2 3 5 1C y x x x= + + +
qua im
( )
1;2I
.
ỏp s:
( )
3 2
' : 2 15 41 35C y x x x= - + -
B9. Tỡm th
( ) ( )
' :C y g x=
i xng vi th
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
- +
=
-
qua im
( )
2;1I
.
11. th i xng qua mt ng thng cho trc.
Bi toỏn 1. Chng minh rng
( ) ( )
:C y f x=
nhn ng thng
x a=
lm trc i xng
phng phỏp
Trn Chớ Thanh ( im v th hm s ) Page 7
+ Đặt
x a X
y Y
ì
= +
ï
ï
í
ï
=
ï
î
và thay vào phương trình
( )
y f x=
,ta được
( )
Y F X=
+chứng minh
( )
Y F X=
là hàm số chẵn
Bài toán 2. Tìm trục đối xứng dạng
x a=
của
( ) ( )
:C y f x=
HD.
+ Đặt
x a X
y Y
ì
= +
ï
ï
í
ï
=
ï
î
và thay vào phương trình
( )
y f x=
,ta được
( )
Y F X=
+ lý luận
x a=
là trục đối xứng của
( )
C
Û
( )
Y F X=
là hàm số chẵn
Û
các hệ số bậc lẻ của F(X) bằng 0. Từ đó suy ra giá trị của a
B1. Cho họ đường
( )
1
:
m
mx
C y
x m
+
=
+
, với m là tham số thực và
1m ¹ ±
. Chứng minh rằng
( )
m
C
và
( )
m
C
-
đối xứng với nhau qua đường thẳng
:d y x=
.
B2. Chứng minh rằng đường thẳng x = 1 là trục đối xứng của đồ thị
( )
4 3 2
: 4 2 12 1C y x x x x= - - + -
Từ đó giải phương trình
4 3 2
4 2 12 1 0x x x x- - + - =
B3. Chứng minh rằng trục hoành là trục đối xứng của đồ thị
a.
( )
2
: 2 3C y x x= - -
b.
( )
2
: 2 3C y x x= - -
B4. Chứng minh rằng đồ thị
( )
2 1
:
1
x
C y
x
-
=
-
có hai trục đối xứng lần lượt là
1
: 1d y x= +
và
2
: 3d y x=- +
B5. Tìm đồ thị
( ) ( )
' :C y g x=
đối xứng với đồ thị
( )
2
2
:
2
x x
C y
x
+ -
=
-
qua đường thẳng
: 2d y =
HD.
+ Ta có
( ) ( )
2
2
;
2
x x
M x y C y
x
+ -
Î Û =
-
(1)
+ Gọi
( )
' '; 'M x y
là điểm đối xứng với M qua đường thẳng
: 2d y =
, ta có:
'
'
'
4
2
2
x x
x x
y y
y y
ì
=
ï
ì
ï
=
ï
ï
ï
Û
í í
+
ï ï
= -
=
ï
î
ï
ï
î
(2)
+ Thay (2) vào (1) ta được phương trình của
( ) ( )
2
3 6
' :
2
x x
C y g x
x
- + -
= =
-
B6. Tìm đồ thị
( ) ( )
' :C y g x=
đối xứng với đồ thị
( )
2
2 3 7
:
1
x x
C y
x
- +
=
-
qua đường thẳng
: 2d x =
HD.
+ Ta có
( ) ( )
2
2 3 7
;
1
x x
M x y C y
x
- +
Î Û =
-
(1)
+ Gọi
( )
' '; 'M x y
là điểm đối xứng với M qua đường thẳng
: 2d x =
, ta có:
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 8
'
4 '
2
2
'
'
x x
x x
y y
y y
ì
+
ï
ì
ï
= -
=
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
ï
î
ï
=
ï
î
(2)
+ Thay (2) vào (1) ta được phương trình của
( ) ( )
2
2 13 17
' :
3
x x
C y g x
x
- +
= =
-
B7. Chứng minh rằng
( )
3 5
:
2 1
x
C y
x
- +
=
-
có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo
bởi hai đường tiệm cận của
( )
C
B8. Chứng minh rằng
( )
2
2 3 1
:
2
x x
C y
x
- +
=
+
có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc
tạo bởi hai đường tiệm cận của
( )
C
B9. Chứng minh rằng
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
- +
=
-
có hai trục đối xứng lần lượt là
( )
1
: 1 2 2d y x= - +
và
( )
2
: 1 2 2d y x= + -
B10. Tìm đồ thị
( ) ( )
' :C y g x=
đối xứng với đồ thị
( )
2
2 5 3
:
1
x x
C y
x
+ -
=
-
qua đường thẳng
: 1d y =-
.
B11. Tìm đồ thị
( ) ( )
' :C y g x=
đối xứng với đồ thị
( )
2
4 7 1
:
3 2
x x
C y
x
- + -
=
-
qua đường thẳng
: 1d x =
B12. Tìm đồ thị
( ) ( )
' :C y g x=
đối xứng với đồ thị
( )
3 2
: 3 5 10 2C y x x x= - + -
qua đường thẳng
: 2d x =-
Bài tập làm thêm.
1. Chứng minh rằng đồ thị
( )
1
:
1
x
C y
x
-
=
+
nhận đường thẳng
: 2d y x= +
làm trục đối xứng
2. Tìm các điểm M thuộc đồ thị
( )
1
:
1
x
C y
x
-
=
+
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa độ
là nhỏ nhất.
đáp số:
( )
1 2;1 2M - + -
3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị
( )
1
:
2
x
C y
x
+
=
-
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa
độ là nhỏ nhất.
đáp số:
1
0;
2
M
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
4. Tìm các điểm M thuộc đồ thị
( )
2 1
:
3
x
C y
x
+
=
-
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường
tiệm cận là nhỏ nhất.
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 9
đáp số:
( ) ( )
1 2
3 7;2 7 , 3 7;2 7M M+ + - -
5. Tìm các điểm M thuộc đồ thị
( )
2 1
:
1
x
C y
x
+
=
+
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường
tiệm cận là nhỏ nhất.
đáp số:
( ) ( )
1 2
0;1 , 2;3M M -
6. Chứng minh rằng với mọi
0m ¹
, họ đường
( )
( )
1
:
m
m x m
C y
x m
+ +
=
+
luôn luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố định.
7. M là một điểm bất kỳ trên đồ thị
( )
2 1
:
1
x
C y
x
-
=
-
có hoành độ
M
x m=
, tiếp tuyến của
( )
C
tại M cắt
các đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và tam giác IAB có
diện tích không đổi khi m thay đổi. Biết I là tâm đối xứng của
( )
C
.
8. Tìm hai điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của
( )
1
:
1
x
C y
x
+
=
-
sao cho đoạn AB ngắn nhất. Viết
phương trình của đường thẳng AB.
đáp số:
( ) ( )
1 2;1 2 , 1 2;1 2A B- - + +
và đường thẳng AB: y = x
9. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh của
( )
2 4
:
1
x
C y
x
-
=
-
sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
đáp số:
( ) ( )
1 2;2 2 , 1 2;2 2M N- + + -
10. Cho đồ thị
( )
2 4
:
1
x
C y
x
+
=
+
a). Gọi
( )
0 0
;M x y
là một điểm bất kỳ trên
( )
C
. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai
đường tiệm cận của
( )
C
bằng một hằng số (không phụ thuộc
0 0
,x y
).
b). Gọi I là tâm đối xứng của
( )
C
. Tìm điểm H thuộc
( )
C
sao cho đoạn IH ngắn nhất. Chứng minh
rằng khi đó tiếp tuyến của
( )
C
tại H vuông góc với IH.
đáp số: a). 2 b).
( ) ( )
1 2
1 2;2 2 , 1 2;2 2H H- + + - - =
11. Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của
( )
3
:
1
x
C y
x
+
=
+
cắt hai đường tiệm cận của
( )
C
lần lượt tại
A, B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB.
12. Cho đồ thị
( )
2 1
:
2
x
C y
x
+
=
+
và đường thẳng
:d y x m=- +
, m là tham số thực.
Chứng minh rằng đường thẳng
d
luôn luôn cắt đồ thị
( )
C
tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Tìm
tọa độ A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất.
đáp số:
( ) ( )
2 3;2 3 , 2 3;2 3A B- - + - + -
13. M là một điểm thuộc đồ thị
( )
2 1
:
1
x
C y
x
+
=
+
có hoành độ
( )
1x a a= ¹ -
. Chứng minh rằng diện
tích của tam giác được tạo bởi tiếp tuyến của
( )
C
tại M và hai đường tiệm cận của
( )
C
bằng một hằng
số không phụ thuộc M.
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 10
đáp số: S = 2
Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 11