Hàm số và đồ thị

Lời nói đầu:
Từ yêu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nớc đòi hỏi các nhà trờng
phải không ngừng nghiên cứu cải cách đổi mới nội dung, phơng pháp giảng dạy
các bộ môn văn hoá, nhằm giúp học sinh chẳng những tiếp thu đợc những đơn vị
tri thức khoa học cơ bản ở các bộ môn mà còn vận dụng đợc vào trong thực hành
và trong đời sống thực tế. Trong đó bộ môn Toán chiếm nhiều thời gian trong kế
hoạch đào tạo. Nếu trớc đây Toán học đóng vai trò quan trọng chủ yếu đối với phát
triển Cơ học, Vật lý học thì ngày nay Toán học không những chỉ xâm nhập vào các
ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà vào cả nhiều lĩnh vực trớc đây rất xa lạ với
nó: Sinh học, Ngôn ngữ học, Tâm lý học
Trong chơng trình Toán của bậc THCS hiện nay, nhìn chung hệ thống bài
tập đợc cấu trúc từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp và rất đa dạng về thể
loại. Do đó việc ứng dụng lý thuyết để giải quyết hết số lợng bài tập theo quy định
đối với học sinh là một việc làm hết sức khó khăn.
Trong khuôn khổ đề tài này, bằng vốn kiến thức còn rất hạn chế của mình,
tôi xin nêu một số quan điểm trong quá trình nghiên cứu giải bài toán Hàm số và
đồ thị nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời
giải của một dạng toán trên cơ sở kiến thức đã học. Hy vọng nó sẽ là cầu nối giữa
lý thuyết và thực hành Toán học.
Tôi rất mong nhận đợc ý kiến bổ xung xây dựng của tất cả các thày cô giáo,
các vị phụ huynh, các em học sinh và tất cả các bạn đọc!
I/ Mục đích yêu cầu:
I.1. Đối với giáo viên:
Ngời giáo viên phải có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các
kiên thức có liên quan. Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất của
hàm số, đồ thị. Biết phân loại các dạng bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng
của các đơn vị kiến thức đó.
Trớc khi dạy ngời giáo viên phải lờng đợc những sai lầm mà học sinh có thể
mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đa ra thông tin cho học sinh hoặc đa
bài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm, rút ra kết luận tránh sai lầm hoặc có
thể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiến

thức đó.
Tuỳ từng đối tợng học sinh, giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi,
ví dụ cho phù hợp.
I.2. Đối với học sinh:
Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một
ánh xạ nào đó có phải là hàm số hay không?
Nắm đợc, tìm đợc, chỉ ra đợc đâu là tập xác định của hàm số. Các tính chất
cơ bản của các hàm số đợc học trong trờng THCS. Cách cho một hàm số, lấy ví dụ
về một hàm số. Xác định đợc một hàm số.
Hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số y = f(x) là gì? Khái niệm hàm số về hệ
toạ độ, vẽ hệ toạ độ chính xác, đẹp. Biết cách biểu diễn một cặp số thực trên hệ
trục toạ độ, biết xác định toạ độ của một điểm trong mặt phẳng toạ độ và biết vẽ đồ
thị hàm số đặc biệt là các hàm số y = ax + b (a 0) và y = ax
2
(a 0) một cách
chính xác.
Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có
liên quan.
2
II/ Nội dung:
II.1. Đặt vấn đề:
Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong
chơng trình đại số ở bậc THCS. Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới đợc hình
thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo.
Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số, học sinh thờng gặp nhiều khó khăn,
đặc biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tơng ứng có phải là hàm số hay không,
cách xác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túng về
dạng của hàm số. Vì vậy đòi hỏi ngời giáo viên phải có một kiến thức vững vàng
cùng với phơng pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc làm quen và t duy
tốt tiếp nhận kiến thức một cách chủ động, tích cực.

II.2. Bài toán xuất xứ:
Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán
mối quan hệ giữa hai đại lợng, nhiều đại lợng. Đại lợng là một khái niệm tổng quát
hoá một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng, thời gian Mỗi
khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng, thời gian đợc biểu hiện bằng giá
trị số. Độ dài có thể lấy giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau. Từ đó
Toán học đã đa đến khái niệm đại lợng biến thiên. Chẳng hạn quan niệm độ dài
là một đại lợng biến thiên theo đơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S
= a
2
của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tơng quan) giữa hai đại lợng
biến thiên ấy.
Theo quan niệm của Toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tơng quan
giữa hai đại lợng biến thiên x; y đợc viết dới dạng y = f(x), trong đó f là một công
thức cho phép xác định với mỗi giá trị của x, ta xác định đợc giá trị tơng ứng của y.
Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn,
lý luận Toán học càng sâu sắc hơn thì ngời ta thấy cần phải định nghĩa khái niệm
hàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vân đề.
3
II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản:
Hàm số: Để hiểu thêm vầ hàm số, trớc hết ta hãy cho học sinh làm quen với
khái niệm ánh xạ.
II.3.1. Định nghĩa ánh xạ:
a) Cho hai tập hợp X, Y. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập Y là một quy
tắc cho tơng ứng cứ với mỗi phần từ x X với một và chỉ một phần tử y Y. Ký
hiệu quy tắc đó là f. ta có ký hiệu ánh xạ đó nh sau:
f:
X Y
hay
f

X Y

x y f (x)=a

x y f (x)=a
X là tập nguồn; Y là tập đích.
x là tạo ảnh; y là ảnh của x qua ánh xạ f.
b) Ví dụ:
VD1: Các cầu thủ An, Bách, Cầu, Dũng theo thứ tự mang áo số 1, 2, 3, 4. Sự
tơng ứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến
tập hợp số áo.
VD2: Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong R cũng là ánh xạ. Chẳng
hạn 3 và -5 thuộc R cho ta tơng ứng với số -2 thuộc R; ánh xạ này là quy tắc cộng
hai số trong R.
VD3: Các phép đối xứng qua trục, qua tâm cũng là các ánh xạ.
VD4: Các phép chiếu vuông góc các điểm của đờng thẳng d xuống đờng
thẳng a là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đờng thẳng d đến tập hợp các điểm
thuộc đờng thẳng a.
VD5: Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập hợp X và Y bởi các điểm, biểu
thị các tập hợp ấy bởi các đờng cong khép kín, sự tơng ứng biểu thị bởi các mũi
tên.
Xét các quy tắc cho tơng ứng thể hiện ở hình sau:
Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại sao?
X Y X Y

(a) (b)
4
X Y X Y
(c) (d)
X Y X Y

1
1 3
2
5
6
(e) (f)
Các quy tắc ở hình (c), (d), (e), (f) là các ánh xạ.
Chú ý: Với mỗi phần tử x thuộc X tơng ứng với một và chỉ một phần tử
y thuộc Y
Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ.
Chú ý: Một ánh xạ f: X

Y sao cho x
1
, x
2
X mà f(x
1
) + f(x
2
) thì f đợc
gọi là đơn ánh hoặc ánh xạ ax 1. (VD: (c), (e), (f)).
Một ánh xạ f: X

Y sao cho y Y đều có tạo ảnh là toàn ánh hoặc ánh
xạ lên. (VD: (d), (e), (f)).
Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh. (VD: (e), (f))
hoặc ánh xạ 1 1.
II.3.2. Định nghĩa hàm số:
a) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số

thì ánh xạ đợc gọi là hàm số. Nh vậy, một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một
quy tắc cho mỗi giá trị x X tơng ứng với một và chỉ một giá trị y Y.
Gọi hàm số là f, ta viết:
f:
X Y
x y f (x)=a
x: biến số
y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x
X: tập nguồn (tập xác định của hàm số)
Y: tập đích (tập giá trị của hàm số)
5
Chú ý: a) X, Y đều là tập số (ánh xạ (f)) là một hàm số.
b) Có thể tồn tại những giá trị của y Y mà không có giá trị tơng ứng x
X, những không thể có một giá trị thuộc X mà không có giá trị nào tơng ứng thuộc
Y.
c) Quy tắc cho tơng ứng trong định nghĩa hàm số có thể đợc thể hiện bằng
ba cách:
* Dùng bảng
VD: x 1 2 3 4
y -2 -4 -6 -8
* Dùng công thức:
VD: y = 7x
* Dùng đồ thị:
d) Các ví dụ về hàm số:
* Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số:
1) f: R

R
*
x

a
y =
4
x
2) f: N

R
x
a
y =
2x
3) f: N

R
x
a
y = x
3
4) X Y
2
2
-2
1
1
0
-1
* Các quy tắc sau đây không phải là hàm số:
1) f: R

R

x
a
y =
x
2) f: R

R
6
x
a
y =
4
x
3) X Y
An 1
5
Lê
3
Kỳ
4)
X Y
1
1
2
3
4 4
Xét hàm số f: X

Y (X, Y R)
* X đợc gọi là tập xác định của hàm số.

Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x đợc lấy những giá trị
nào: do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định đợc
giá trị tơng ứng của y.
Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng nh sau:
+) y =
a
f (x)
- Tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) 0
+) y =
f (x)
- Tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) 0
VD1: Với hàm số y =
4
x 2
Tập xác định D = R \ {2} (hay: x 2)
VD2: Với hàm số y =
2x
7
Tập xác định: x 0
* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x X, giá trị y = f(x) tơng ứng
của hàm số phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng hơn.
Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R. Vì thế ngời ra nói hàm số
f: X

R
x
a
y = f(x)
tức là nhấn mạnh hai yếu tố:
- Tập xác định của hàm số.

- Quy tắc xác định hàm số.
Còn tập rất quan trọng, ít đợc sử dụng trong chơng trình tính toán THCS đó
là tập giá trị của hàm số.
Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy
khắp X. Đó là tập con của Y và đợc ký hiệu là f(x).
f(x) = {y Yy = f(x), x X}
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số y =
3 x
Tập xác định: x 3
Tập giá trị: f(x) = R
+
= {y Ry 0}
VD2: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2x
2
Tập xác định: x R
Tập giá trị: f(x) = R
+
= {y Ry 0}
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số giá trị tuyệt đối:
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên tập hợp D.
* Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm chẵn nếu:
f(x) = f(-x) với x D và D = [-a; a]
VD: y = x
2
là hàm chẵn
Vì: x = 1 y = 1; x = -1 y = 1
Hay x
2
= (-x)
2

* Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm lẻ nếu:
f(x) = - f(-x) với x D và D = [-a; a]
VD: y = x là hàm lẻ
Vì: x = 1 y = 1; x = -1 y = -1
8
Hay x = -(-x)
+) Nhận xét:
- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O(0; 0) làm tâm đối xứng.
- Tổng đại số của hai hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn )hay lẻ).
- Tích của hai hàm số chẵn hay hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn. Còn
tích của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
II.3.4. Sự biến thiên của hàm số:
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D.
a) Hàm số y = f(x) đợc gọi là đồng biến trên D
nếu với x
1
, x
2
D: x
1
< x
2
y
1
= f(x
1
) < y
2
= f(x

2
)
b) b) Hàm số y = f(x) đợc gọi là nghịch biến trên D
nếu với x
1
, x
2
D: x
1
< x
2
y
1
= f(x
1
) > y
2
= f(x
2
)
Từ định nghĩa của hàm số đồng biến và nghịch biến trên D, suy ra các điều
kiện tơng đơng sau:
i) y = f(x) đồng biến trên D
2 1
2 1
y y
x x


> 0 với x

1
, x
2
D; x
1
x
2
ii) y = f(x) nghịch biến trên D
2 1
2 1
y y
x x


< 0 với x
1
, x
2
D; x
1
x
2
VD: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau:
1) Hàm số y = ax + b (a 0)
Xét tỷ số
2 1
2 1
y y
x x

=
2 1
2 1
(ax b) (ax b)
x x
+ +

2 1
2 1
y y
x x


=
2 1
2 1
ax ax
x x


=
2 1
2 1
a(x x )
x x


= a
+ Với a > 0, hàm số đồng biến.

VD: y = 2x + 3 có a = 2 > 0 Hàm số đồng biến
+ Với a < 0, hàm số nghịch biến.
VD: y = -2x + 1 có a = -2 < 0 Hàm số nghịch biến.
2) Hàm số y = ax
2
(a 0)
9
Xét tỷ số
2 1
2 1
y y
x x


=
2 2
2 1
2 1
ax ax
x x


2 1
2 1
y y
x x


=
2 2

2 1
2 1
a(x x )
x x


=
2 1 2 1
2 1
a(x x )(x x )
x x
+

= a(x
2
+ x
1
)
+ Với a > 0: x
1
, x
2
(0; + ): hàm số đồng biến.
x
1
, x
2
( ; 0): hàm số nghịch biến.
+ Với a < 0: x
1

, x
2
(0; + ): hàm số nghịch biến.
x
1
, x
2
( ; 0): hàm số đồng biến.
VD1: Hàm số y = 2x
2

Vì a = 2 > 0 nên:
- Với x > 0 hàm số đồng biến
- Với x < 0 hàm số nghịch biến
VD2: Hàm số y = -5x
2

Vì a = -5 < 0 nên:
- Với x > 0 hàm số nghịch biến
- Với x < 0 hàm số đồng biến
II.3.5. Đồ thị của hàm số:
Khi xét hàm số y = f(x), điều ta quan tâm là hàm số sẽ nhận giá trị nh thế
nào tơng ứng với mỗi giá trị của biến số x. Điều đó sẽ đợc phản ánh trên tập hợp tất
cả các cặp số (x; y), vì thế để nghiên cứu các hàm số, chúng ta cần nghiên cứu tập
hợp các cặp số (x; y).
Đồ thị của hàm số f: X

Y là tập con G = {(x; y)x X; y = f(x) Y}
Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét
khái niệm tích Đề-các tổng quát, ta chỉ xét các cặp số (x; y).

x; y R; x X; y Y
Đồ thị của hàm số f đợc định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ (x; y
= f(x)) trong mặt phẳng toạ độ.
Để vẽ đợc đồ thị của hàm số y = f(x), trớc hết ta vẽ hệ trục toạ độ Đề-các
vuông góc Oxy, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. Khi đó mỗi điểm M của mặt
10