đề thi vào lớp 10 chuyên đại học sư phạm và lơi giải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2010
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 06 – 06 – 2010
Câu 1 ( 2,0 điểm )
Cho biểu thức
x 2x x 1 2
P : .
9 x
3 x x 3 x x
   
−
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
1) P có nghĩa
⇔
x 0
x 3;x 25
>


≠ ≠

x(3 x) 2x x 1 2( x 3) x(3 x) x 5
P : :

9 x 9 x
x 3 x x 3 x (3 x)(3 x) (3 x) x
x x(3 x) x
. .
(3 x) x 5 x 5
       
− − − + −
= + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
− −
− − + − −
       
−
=
− − −
2) P
4
3
= −
⇔
4
3
5
= −
−
x
x
⇔
4

3 4 20 0 (3 10)( 2) 4
3
5
= − ⇔ + − = ⇔ + − ⇔ =
−
x
x x x x x
x
Câu 2 ( 2,0 điểm )
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x
2
+4x + 1 = y
4

2 2
( 2 )( 2 ) 3(*)⇔ + + + − =x y x y
2 2
ì x, y nguyên và 2 2+ + ≥ + −v x y x y
nên từ (*) suy ra:

2 2
2 2
2 3 2 1
(I) và ( )
2 1 2 3
 
+ + = + + = −
 
 
+ − = + − = −

 
 
x y x y
II
x y x y
. Giải (I) ta được
0
1
=


= ±

x
y
Giải (II) ta được
4
3
=


= ±

x
y
.
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 2
2

3
x xy y 3 x xy y 3 x xy y 3
2)
x 3(y x) 1 x y 3(y x) 1 y (x y)3 3(y x) 1 y
x 1
x xy y 3
x x 2 0
x 2
y 1
y 1
y 1
  
+ + = + + = + + =
  
⇔ ⇔
  
+ − = − + − = − − + − = −
  
  
 =


+ + =

+ − =
 

⇔ ⇔ ⇔
= −
  


=
=




=

.
Câu 3 ( 2,0 điểm )
Cho phương trình ẩn x: (m-10)x
2
+ 2(m-10)x + 2 =0 (3)
1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
.
Với m=10 phương trình (3) trở thành 2=0 nên (3) vô nghiệm khi m=10
Với m
≠
10 phương trình (3) trở thành phương trình bạc hai ẩn x có
∆
’=(m-12)(m-10).
(3) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì

' 0∆ > ⇔
(m-12)(m-10) >0
⇔
m>12 hoặc m<10.
2) Chứng minh rằng khi đó ta có:
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x 4+ + + < −
Với m>12 hoặc m<10 theo Vi ét ta có:
1 2
1 2
2
2
10
+ = −



=

−

x x
x x
m
khi đó
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x 4+ + + < −
2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6 2
(x x )[(x x ) 3x x ] x x (x x ) 4 2(4 ) ( 2) 4
m 10 m 10
⇔ + + − + + < − ⇔ − − + − < −
− −
( ) ( )
( )
2
m 12 m 10
3 1 2
2 1 1 0 0
m 10 m 10 m 10
m 10
− −
⇔ − + > ⇔ − > ⇔ >
− − −
−
(ĐPCM)
Câu 4 ( 3,0 điểm )
E
F
J
K
I
D
C
B
A
O

M
N
1) Dễ thấy D, O, M, N, A nội tiếp đường tròn đường kinh AO.
2) Ta thấy
·
· ·
·
BDM ONM OMN=CDN
= =
.
3) Từ K kẻ đường vuông góc với BC đường này cắt AO tại J kẻ JE
⊥
AB; JF
⊥
AC khi
đó JE=JF(*).
Ta có OI//KJ ( cùng
⊥
BC); OM//JE ( cùng
⊥
AB) theo Talets ta có:
//
= = ⇒
AI AO AM
MI KE
AK AJ AE
Tương tự ta có NI//KF => K, F, E thẳng hàng=>
·
·
KEJ KFJ

=
.
Dễ thấy
·
·
·
·
KEJ KBJ;KFJ KCJ
= =
=>
· ·
KBJ CKJ
= ⇒ ∆
BJC
cân tại J nên KB=KC (ĐPCM).
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6. Chứng minh rằng:
CM:
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( )
b c a b c a
+ + + + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + + + + − − −
ab bc ca a b c a b c a b c ab bc ca
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c 1 a b c
( ) ( ) ( )
b c a 2 b c a

 
+ + ≥ + + + − + − + − ⇒ + + ≥ + +
 
a b c a b b c c a a b c
(ĐPCM)
Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 1
CM:
2 2 2
3+ + ≥a b c
Ta có :
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 2 2 2+ + + + + ≥ + +a b c a b c
(1)
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 0 2( ) 2( ) (2)− + − + − ≥ ⇔ + + ≥ + +a b b c c a a b c ab bc ca
Từ (1) và (2)
2 2 2 2 2 2
3( ) 3 2(a+b+c+ab+bc+ca) 3+ + + ≥ ⇔ + + ≥a b c a b c
(ĐPCM)
HẾT