Đề c­ương ôn tập hè lớp 10

Đề cơng ôn tập hè
Môn : toán 10-năm 2010
A. Đại số
Tiết 1+2: Bài 1: Hàm số
I.Hàm số bậc nhất:
1.Định nghĩa và các tính chất:
+Dạng : y= ax+b (a

0)
+TXD:D=R
+Hàm số đồng biến nếu a> 0
+ Hàm số nghịch biến nếu a<0
+đồ thị là đờng thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B(
b
a

;0)
2.Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: vẽ đồ thị hàm số:
Bài 1: vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. y= 2x-3 b. y= -x+2 c. y= -3x -2 d. y= 4x+3
Dạng2: xác định hàm số biết tính chất của nó:
Bài2: Tìm a sao cho hàm số sau: y=2x - a(x-1)
a.đi qua gốc toạ độ O
b.Đi qua A(-1;2)
c. song song với đờng thẳng y= -3x-2
Bài 3: Trong mỗi trờng hợp sau xác định a và b sao cho đờng thẳng y=ax+b
a.cắt đờng thẳng y=2x+5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đờng thẳng y=-3x+4 tại
điểm có tung độ bằng -2
b.song song với đờng thẳng y=
1

2
x
và đi qua giao điểm của hai đờng thẳng
1
1
2
y x= +
và
y=3x+5
Tiết 3+4: II.Hàm số bậc hai:
1.Định nghĩa và các tính chất:
+dạng: y=
2
( 0)ax bx c a+ +
+ TXD: D=R
+bảng Biến thiên:
+Dạng đồ thị : Đồ thị của hàm số y=
2
( 0)ax bx c a+ +
là parabol có đỉnh là điểm (
;
2 4
b
a a


) ;có trục đối xứng là đờng thẳng x=
2
b
a

;hớng bề lõm lên khi a>0 và xuống
khi a<0.
*phép tịnh tiến đồ thị:Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) ;p và q là hai số không âm.
+ khi tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị , ta đợc đồ thị của hàm số y= f(x)+q
+ Khi tịnh tiến (C) xuống dới q đơn vị ,ta đợc đồ thị hàm số y=f(x)-q
+Khi tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ,ta đợc đồ thị hàm số y=f(x+p)
+Khi tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị , ta đợc đồ thị hàm số y=f(x-p)
2.Các dạng bài tập cơ bản:
Bài1: Cho hàm số: y=
2
1
2
x
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. nếu tịnh tiến (C) lên trên hai đơn vị ta đợc đồ thị hàm số nào?
c.Nếu tịnh tiến (C) xuống dới ba đơn vị ,ta đợc đồ thi hàm số nào?
d. Nếu tịnh tiến (C) sang phải một đơn vị ta đợc đồ thị hàm số nào?
e.Nếu tịnh tiến (C) sang trái bốn đơn vị ta đợc đồ thị hàm số nào?
Bài2: Cho hàm số
2
2
3
y x=
(C)
a.vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
b.từ độ thị (C) ,bằng phép tịnh tiến hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
+
2

2
1
3
y x=
+
2
2
2
3
y x= +
+
2
2
( 2)
3
y x=
+
2
2
( 3)
3
y x= +

+
2
2
( 1) 2
3
y x= +
Bài 3: Cho hàm số: y=

2
4 3x x +
(C)
a.Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Dựa vào đồ thị (C) hãy chỉ ra khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dơng
c. Dựa vào đồ thị (C) hãy chỉ ra các khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm.
Bài tập t ơng tự
Bài 1:Tìm hàm số y=ax+b mà đồ thị của nó đi qua hai điểm A(2;-1) và B(-1;8).Hãy vẽ đồ
thị đó
Bài 2: a. Tìm hàm số y=ax +b mà đồ thị của nó song song với đờng thẳng y=3x và đi qua
giao điểm của hai đờng thẳng y=-x+1 và y=2x-3
b.xác định các hệ số avà b sao cho đồ thị của hàm số y= ax+b đi qua các điểm sau:
+A(
2
; 2)
3

và B(0;1)
+ M(-1;-2) và N(99;-2)
+ P(4;2) và Q(1;1)
Bài 3:Tìm giao điểm của hai đồ thị sau:
a.y=
2
6 3 1x x
và y= 2x+5
b.
2
8 9 14y x x=
và
2

7 4 6y x x= + +
bài 4: lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a.
2
2 2y x x= +
b.
2
4 3y x x= +
Bài 5: xác định hàm số bậc hai y=
2
4ax x c +
, biết rằng đồ thị của nó :
a.đi qua hai điểm A(1;-2) và B(2;3)
b.có đỉnh là I(-2;-1)
c.Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2;1)
d.Có trục đối xứng là đờng thẳng x=2 và cắt trục hoành tại điểm Q(3;0)
Tiết:5-13: phần II : Phơng trình và hệ phơng trình
I.ph ơng trình dạng :ax+b=0
+ Dạng : ax+b=0 (1)
+ Cách giải và biện luận :
(1)

ax=-b
- Nếu a

0 , thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất: x=
b
a

-Nếu a=0 khi đó (1)

0x=-b
. Nếu b=0 thì phơng trình đúng với mọi x

R
. Nếu b

0 thì phơng trình (1) vô nghiệm
1. Dạng 1 : Giải và biện luận phơng trình dạng ax+b =0
ví dụ 1: Giải và biện luận các phơng trình sau:
a. m(x+2)=3x+1
b.
2
( 1) 4 2m x x m+ = +
c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1)
2
2
2
. ( 2) 4( )
. 3 2 ( 1)
.( 1) (3 ) 2
d m x x m
e x m m x
f m x x m
=
+ + =
+ = +
2.Dạng 2: Ph ơng trình quy về dạng ax+b=0
* Dạng
1 1 2 2

( )( ) 0a x b a x b+ + =
(1)
+ Biến đổi (1)
1 1
2 2
0(2)
0(3)
a x b
a x b
+ =



+ =

+ Giải biện luận (2) và (3)
+ kết luận.
Ví dụ2: Giải các phơng trình sau:
a.(2x-3)(3+4x)=0 b.(3x+4)(5x-2)=0
3.Dạng 3:

2 2
( ) ( ) (1)
(1)
( )
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
+ = +
+ = +

+ = +

Ví dụ 3: giải các phơng trình sau:

2 2 2 2 2 2
.(2 3) (5 2 ) ; .(3 4) (2 3) ; .(4 5 ) (3 1)a x x b x x c x x = + = + = +
4.Dạng 4:
ax b cx d+ = +
(1)
0
(1)
( )
cx d
ax b cx d
ax b cx d
+



+ = +




+ = +

Ví dụ 4: Giải các phơng trình sau:
. 2 3 3; . 4 3 6; . 3 5 1; . 1 2 2a x x b x x c x x d x x = + = + = + = +
5.Dạng 5:
(1)
(1)
( )
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
+ = +
+ = +



+ = +

Ví dụ 5: Giải các phơng trình sau:
. 2 3 2
. 3 1 2 3
. 2 1 3 2
a x x
b x x
c x x
= +
+ =
+ =

II.Ph ơng trình vô tỉ
6.Dạng 6:
( ) ( )(1)f x g x=

(1)
( ) 0
(1)
( ) ( )
f x
f x g x




=

Ví dụ 6: Giải các phơng trình sau:
2 2
2 2
. 2 1 3 2
. 2 1 2 3
. 3 4 3 2 2
a x x
b x x x x
c x x x x
=
+ = +
+ = +
7.dạng 7:
( ) ( )(1)f x g x=
(1)
2
( ) 0
( ) ( )

g x
f x g x




=

Ví dụ 7: Giải các phơng trình sau:
a.
2
4 3 2 2 1x x x+ + = +
2
2
. 3 3 2 1
. 2 3 1 3
b x x x
c x x x
+ =
= +
các dạng bài tập t ơng tự:
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a. 2(x+3)-5=3(2-x)+4 b. 3x-7=4(2x+2)-6 c.3-5x=4-(4-3x) d. 6(2-5x)+3=4x-7
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a.
2 2
(2 5) (3 4)x x = +
b.
2 2
(1 2 ) (2 3)x x = +

c.
2 2
(5 2) ( 1) 0x x + =

Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a.(3x+1)(2x-5)=0 b.(4x+3)(5x-2)=0 c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0
Bài 4: Giải các phơng trình sau:
a.
4 2 1x x = +
b.
3 3 5x x+ = +
c.
2 3 3 8x x = +
d.
2 1 2x x+ =
Bài 5: Giải các phơng trình sau:
a.
5 3 1x x = +
b.
2 4 3x x = +
c.
3 5 1 0x x =
d.
5 2 3 0x x =
Bài 6: Giải các phơng trình sau:
a.
2
1 2x x x + =
b.
2

3 2 4x x x + + = +
c.
2
3 5 1 4x x x + = +
d.
3 3 1x x+ = +
c.
2
2 3 1 3x x x = +
c.
2
2 3 3 6 1x x x +
III. Ph ơng trình bậc hai
1.Giải và biện luận phơng trình dạng
2
0ax bx c+ + =
Ví dụ: Giải và biện luận các phơng trình sau:
2
2
2 2 2
.( 1) ( 3) 2 0
.(4 1) 4( 1) 0
.( 1) 2( 1) 1 0
a m x m x
b m x m x m
c m x m x m
+ + + + =
+ + =
+ + + + =
2.Các dạng ph ơng trình quy về bậc hai:

a.Phơng trình trùng phơng:
+ Dạng:
4 2
0ax bx c+ + =
(
0)a
+Cách giải: Đặt t=
2
( 0)x t
Ví dụ1: Giải các phơng trình sau:
4 2
4 2
. 5 6 0
.3 7 4 0
a x x
b x x
=
+ =
b. Phơng trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e trong đó a+b=c+d
* Cách giải: Đặt (x+a)(x+b) = t (*) (đk ) Ta có phơng trình bậc hai ẩn t. giải pt bậc hai
đó tìm t . So sánh đk . thay vào (*) giải tìm x.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:
2 2
2 2
.( 1)( 6)( 5)( 2) 252; .16( 1)( 8 15) 105
.( 1)( 2)( 3)( 4) 3; .( 3 4)( 6) 24
a x x x x b x x x
c x x x x d x x x x
+ + + + = + + =
+ + + + = + + =

c.Dạng :
4 4
( ) ( )x a x b c+ + + =
* Cách Giải: Đặt
;
2 2 2
a b a b a b
x t x a t x b t
+
+ = + = + + =
.Đặt
2
a b


=
, ta có pt:
4 4
4 2 2 4
( ) ( )
2 12 2 0
t t c
t t c


+ + =
+ + =
Ví dụ 3: giải các phơng trình sau:
4 4 4 4 4 4
.( 3) ( 5) 2; .( 5) ( 2) 17; .( 6) ( 8) 15a x x b x x c x x+ + + = + = + =

d.Phơng trình dạng :
4 3 2
0(*)ax bx cx bx a+ + + =
*Cách giải: + Xét x=0
+
0x

, chia hai vế của (*) cho x
2
,ta đợc pt:
2
2
1 1
( ) ( ) 0a x b x c
x x
+ + + =
Đặt t=
1
( )x
x

ta có phơng trình bậc hai ẩn t
Ví dụ 4: Giải các phơng trình sau:
4 3 2
4 3 2
4 3 2
. 2 6 2 1 0
. 10 26 10 1 0
. 4 4 1 0
a x x x x

b x x x x
c x x x x
+ + + =
+ + + + =
+ + + =
e.Phơng trình dạng:
. ( ) ( ) 0a f x b f x c+ + =
+ cách giải: Đặt
( ) ( : )f x t dk=
Ta có phơng trình:
2
0at bt c+ + =
Ví dụ 5: Giải các phơng trình sau:
2 2 2
2 2 2 2
.( 1)( 4) 3 5 2 6; . 4 2 8 12 6 0
. 9 9 12; . 4 3 4 20 10
3
. 1 5
1
a x x x x b x x x x
c x x x x d x x x x
e x
x
+ + + + = + =
+ + + = = +
=

Bài tập tơng tự: Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất và bậc hai:
1. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Dạng 1:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x
=

=

=

Ví dụ :Giải các pt sau:

. 3 2 5 ; . 3 1 4 2 ; . 3 2 3 5 ; . 2 3 4; . 1 4 2a x x b x x c x x d x e x = + = = + = =
Dạng 2:
( )
( ) ( 0)
( )
f x m
f x m m
f x m
=

=

=

Dạng 3:

( ) ( )f x g x=
(1)
Cách 1: bình phơng hai vế của pt (1), Ta đợc pt hệ quả:

2 2
1 2
(1) ( ) ( ) ; f x g x x x = = =
Thay
1 2
; x x
vào pt (1) loại nghiệm không
thoả mãn.
Cách 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối :
, 0
, 0
A khiA
A
A KhiA


=

<

+ Nếu f(x)

0; Ta có pt f(x)=g(x)
+ nếu f(x) < 0; ta có pt -f(x)=g(x)
Cách 3:
( ) 0

( ) ( )
(1)
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
g x
f x g x




=








=



Ví dụ: Giải các phơng trình sau:

. 2 3 5; .2 5 3 2 ; . 1 3 2 ; . 3 1 3a x x b x x c x x d x x = + = = + =
2.Phơng trình chứa ẩn trong dấu căn:
Dạng 1:

( ) ( 0)(1)f x m m=
Đkxđ của pt:
( ) 0f x

2
(1) ( )f x m =
Ví dụ: Giải các pt sau:

. 2 3 3; . 3 5 4; . 3 1 5; . 2 5 6; . 1 4 3a x b x c x d x e x = = + = = =
Dạng2:
( ) ( )(1); : ( ) 0f x g x Dkxd f x=
Cách1:
2
( ) 0
(1)
( ) ( )
g x
f x g x




=

Cách 2: Bình phơng hai vế của pt (1), ta đợc pt hệ quả:
2
( ) ( )f x g x=
Ví dụ :Giải các phơng trình sau:
2
2 2

. 3 1 3 ; . 2 1 2 ; . 3 2 2; . 1 1; . 1 2 1
. 3 3 5; . 5 2 7; . 2 4
. 4 4 ; . 2 2 1; . 4 4 3 2
a x x b x x c x x d x x e x x
f x x g x x h x x
k x x l x x x m x x x
+ = = = + = =
= + = + =
= + = + = +
Dạng 3:
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x


=

=

Ví dụ: Giải các pt sau:
2 2
. 2 3 1 4 ; . 3 4 1; . 4 3 2 4; . 2 2 4a x x b x x c x x x d x x x = = + = + + = +
IV. Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
*.Dạng:
1 1 1
2 2 2
a x b y c

a x b y c
+ =


+ =

**. Cách giải: có thể dùng pp thế hoặc cộng đại số hoặc dùng định thức(quy tắc crame):
+Tính :
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
; ;
x y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
= = = = = =
+ Biện luận:-Nếu D

0,hệ có nghịêm duy nhất
x
y
D
x
D
D
y
D

=

=


-Nếu D=0 và
0
x
D
hoặc
0
y
D
thì hệ vô nghiệm
-Nếu D=
0
x y
D D= =
hệ có vô số nghiệm thoả mãn pt:
1 1 1
a x b y c+ =
1.Dạng toán 1: giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng quy tắc crame:
Ví dụ 1:giải các hệ phơng trình sau:
2 3 5 5 6 4 2 5 7
. . .
3 4 1 3 7 4 3 1
x y x y x y
a b c

x y x y x y
+ = = =


= + = + =

2.Giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Ví dụ 2: giải và biện luận các hệ phơng trình sau:
1 4 2 0
. . .
2 1
mx y m mx y m x my
a b c
x my x my m mx y m
+ = + + = + =


+ = + = = +

Ví dụ 3 :Cho hệ phơng trình:
4 2mx y m
x my m
+ = +


+ =

a.tìm m để hệ có nghiệm
b.Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên
Ví dụ 4:Cho hệ phơng trình:

2 4
2 3 3
x y m
x y m
=


+ = +

a.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
b.Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x;y) của hệ không phụ thuộc vào m
c.Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn:
2 2
x y+
đạt giá trị bé nhất.
bài tập t ơng tự
Bài1: Giải và biện luận các hệ phơng trình sau:
a
( 2) 2 ( 1) 2 2
; .
2 3( 1) 3 ( 1)
mx m y m x y m
b
mx m y x m y m
+ = =


+ = + =

Bài 2:Cho hệ :

2
1
mx y m
x my m
+ =


+ = +

a.Giải và biện luận hệ phơng trình trên theo m.
b.Khi hệ có nghiệm (
0 0
; )x y
tìm hệ thức liên hệ giữa
0 0
,x y
không phụ thuộc m
c.khi hệ có nghiệm duy nhất (
0 0
; ),x y
tìm giá trị nguyên của m sao cho
0 0
,x y
là những số
nguyên
Bài 3:Tìm m để hệ pt sau có vô số nghiệm
3
4 6
mx y
x my

+ =


+ =

Bài 4: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm (x;y) nguyên
a.
2 1 3
; .
2 2 1 2 1
mx y m mx y m
b
x my m x my m
+ = + + =


+ = + = +

Bài 5: Cho hệ pt:
a.
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =


=

Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích x.y đạt giá trị lớn nhất.
V.Hệ ph ơng trình bậc hai hai ẩn
1.Hệ gồm 1pt bậc nhất và 1 pt bậc hai:
+ Dạng :
2 2
1 1 1
(1)
(2)
ax bxy cy dx ey f
a x b y c

+ + + + =

+ =

+Cách giải: rút 1ẩn từ pt (2) thế vào pt (1)
Ví dụ 1: giải hệ pt sau:
2 2
9 4 36
.
2 5
x y
a
x y

+ =

+ =

Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ pt sau theo m:

2 2 2 2
4 8 9 16 144
. .
2
x y x y
a b
x y m x y m

+ = =

+ = =

Ví dụ 3: tìm a để hệ pt sau có nghiệm duy nhất;
2 2
1x y
x y a

+ =

=

2.Hệ pt đối xứng loại I:
+ ĐN : Hệ hai pt chứa ẩn x,y gọi là đối xứng loại 1 nếu mỗi pt của hệ không thay đổi nếu
ta hoán vị xvà y.
+ Cách Giải: Đặt :
x y S
xy P
+ =

=

, (
2
4 )S P
biến đổi hệ đã cho về hệ hai ẩn S và P.Giải hệ này
tìm SvàP.
Với mỗi cặp (S;P),(
2
4 )S P
, x;y la là nghiệm của pt :
2
0X SX P + =
Lu ý : nếu hệ có nghiệm (x;y) thì cũng có nghiệm (y;x)
Ví dụ 1 : Giải các hệ pt sau:
2 2
2 2 2 2
1
2
4 11
2
. ; . ; . ; .
5
0
5
13 30
( )
2
2
x y xy

x y xy
x y x xy y
a b c d
x y
x xy y x y xy
xy x y
y x


+ =
+ + =

+ = + + =



+ + =
+ + = + =


+ =



Ví dụ 2 :Cho hệ pt:
2 2
6
x y m
x y

+ =

+ =

a.Giải hệ khi m=26
b.Tìm m để hệ vô nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
d.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ : tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất :
2 2 2 2
2
. ; .
1
x y xy m xy x y m
a b
x y m x y xy m
+ + = + + = +


+ = + = +

Hd: -Điều kiện cần: Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì cũng có nghiệm(b;a),thay vào hệ ,suy ra m
-Điều kiên đủ: thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hệ và thử lại và kết luận.
Ví dụ 3: giải các hệ pt sau:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

2 2 3 4 4 15
. ( :(3; 5),( 5;3))
19
3 3 3 2 2 1 0
1 2 2 1
. : ( ; ),( ; )
1
3 3 3 3
2 2 2 0
2
15 0
. : ( )
2 2 3 0
3 3 5 `1 0
.
3 3
x y xy x y
a ds
x xy y
x y xy x y
b ds
x xy y x y
x y xy x y
c ds vn t x
x xy y
x y xy x y
d
x y x

+ + + + =

+ + =



+ + + + =



+ =



+ + + + =
=

=

+ + =
+
1 37 1 37 1 37 1 37
: ( ; ),( ; )( )
6 6 6 6
2 0
ds t x
y

+ +

=

=

3. Hệ đối xứng loại II
+ĐN: Hệ hai pt ẩn x,y đợc gọi là đối xứng loại II nếu hoán vị x,y thì pt này biến thành pt
kia của hệ.
+Cách giải: trừ vế với vế của hai pt của hệ ,ta đợc pt có dạng(x-y)g(x,y)=0
Từ đó ta có hai hệ pt.
Ví dụ 1 : Giải các hệ pt sau;
2 2 2 2
2 2 2 2
3 4
13 4 2 3 2
. ; . ; . ; .
13 4 2 3 2
3 4
y
x y
x y y x x y x x y
x
a b c d
x
y x x y y x y y x
y x
y

=

= = + =


= = + =



=


Ví dụ 2: Cho hệ :
2
2
x y y m
y x x m

= +


= +


a.Giải hệ khi m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.(hệ có nghiệm (a;b)thì cũng có nghiệm (b;a) suy ra
a=b)suy m=1
Ví dụ 3 ; Cho hệ :
2
2
x y axy

y x axy

+ =


+ =


Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.ĐS:a=1
Ví dụ 4: Cho hệ
2 2 2
2 2 2
1 7 4
3 2 2 2
; . ; .
3 2 2 2
1 7 4
x y
x x y x y x y
b c
y y x y x y x
y x

+ + =

= + = +


= + = +

+ + =



Giải các hệ pt trên
Ví dụ 5: Cho hệ:
2
2
4 5 3
4 5 3
x x my
y y mx

= +


= +


a.Giải hệ khi m=1
b.tìm m để hệ có hai nghiệm.
Bài 4: bất phơng trình
I.Dấu của nhị thức bậc nhất : y= ax+b (a

0)
1. Bảng xét dấu:
+ a> 0:
x
-

b
a

+

f(x) - 0 +
+ a< 0:
x
-


b
a

+

f(x) + 0 -
2. ứng dụng :
* xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất :
ví dụ 1: xét dấu các nhị thức sau:
a. f(x)= 2x-5 b.f(x)= -5x-6 c.f(x)= -4x+1 d.f(x) = 2x+3
ví dụ 2:xét dấu các biểu thức sau:
a. f(x)= (2x-3)(3x+5) b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2) c. f(x)=
(2 3)(3 7)
2 5
x x
x
+

d.f(x) = (
2
4)(2 3 )x x
e.
2
3 5
( )
9
x
f x
x
+
=

g.f(x) =
(2 5)(1 3 )
1
x x
x
+

h.
1 3
( )
2 2 3
f x
x x
=
+
* Giải các bất phơng trình

ví dụ 3: Giải các bất phơng trình sau:
1 2 3 3
. 2; . 4; . 1; . 2; .(2 3)(4 ) 0; .( 3)(3 5) 0
2 1 3 1 2 3 4 1
a b c d e x x f x x
x x x x

> < + + >
+ + +
ví dụ 4: Giải các bất phơng trình sau:
. 2 3 2 2 5; . 3 2 1 0; . 2 5 3 1 0a x x x b x x c x x + + + + < + +
ví dụ 5: Giải các bất phơng trình sau:
a.
2 3 3x >
b.
4 2 5x <
c.
3 2 4; . 4 3 2x d x
d.
2 3 3 2x x > +
e.
4 3 5 3 ; 1 3 4 2 ; . 2 3 3 1x x f x x g x x
+ < + +
ví dụ 6: Giải các bất phơng trình sau:
2 3 3 1 0; . 2 4 2 5; . 4 1 3 5 2; . 3 4 3 1 0a x x b x x c x x d x x + + + + > + <
ví dụ 7: Giải các bất phơng trình sau:
1 2 3 1 2 1 1 2
. ; . . ; .
2 1 2 1 3 2 4 3 3 5 3 1
a b c d

x x x x x x x x

< >
+ + + +

II.Dấu của tam thức bậc hai :
1.đồ thị hàm số y=
2
ax bx c+ +
(a

0) và dấu của f(x)
2. ứng dụng :
!. xét dấu tam thức bậc hai:
a.f(x)=
2
2 3 4x x+ +
b. f(x)=
2
3 2x x +
c.f(x)=
2
6 9x x+ +
d.f(x)=
2
2 5 7x x
!!.giải bất phơng trình bậc hai:
ví dụ1 : giải các bất phơng trình sau:
a.
2

2 3 2 0x x+ >
b.
2
7 6 0x x +
c
2
12 2 9 0x x+
d.
2
3
1
4 3x x

+
e.
2
2
3 1
1
4 3
x x
x x
+

+
f.
2
2
2 5 3
0

3 2
x x
x x
+
>
+ +
!!!. xét dấu các biểu thức
ví dụ 2: xét dấu các biểu thức sau:
a.f(x)=
2 2
( 8 15)( 3 4)x x x x +
b.f(x)=(
2 2
9)(3 4 1)x x x +
c.
2
2
2 3 4 3
( ) ; . ( )
5 6 2 1
x x x
f x d f x
x x x
+ +
= =
+ +
Ví dụ 3: Giải các hệ bất phơng trình sau:
a.
2
2

3 2 0
2 5 3 0
x x
x x

+


+ <


b.
2
2
2 13 18 0
3 20 7 0
x x
x x

+ >


<


c.
2
2
6 8 0
5 6 0

x x
x x

+


+


d.
2
2
7 12 0
2 7 5 0
x x
x x

+ <


+ +


*Dạng toán 1: Tìm giá tri của tham số để tam thức bậc hai giữ nguyên dấu.
pp: Cho tam thức bậc hai f(x) =
2
ax bx c+ +
(a

0)

+ f(x) =
2
ax bx c+ +
> 0 với mọi x
0
0a
<



>

+ f(x) =
2
ax bx c+ +
< 0 với mọi x
0
0a
<



<

+ f(x) =
2
ax bx c+ +

0 với mọi x
0

0a




>

+ f(x) =
2
ax bx c+ +

0 với mọi x
0
0a




<

Ví dụ 4: tìm m ,để các bất phơng trình sau vô nghiệm:
a.
2
(2 3) 6 4 0m x mx+ + >
(vn) b.
2
(1 4 ) 3( 2) 0m x m x m + +
(
20 2 163
7

m
+

)
Ví dụ 5: Tìm m ,để các bất phơng trình sau đúng với mọi x:
a.
2
(2 1) 3 0x m x + + <
b.
2
( 1) 2( 1) 3 3 0m x m x m+ +
Ví dụ 6: Tìm m để các pt sau có nghiệm:
2 2
2 2
( 4) 2( 2) 2 1 0; .(2 1) (3 1) 1 0
.( 5) ( 4) 2 0
m x m x m b m x m x m
c m x m x
+ + + + = + + + =
+ + + =
Ví dụ 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn dơng :
2
. 4 3a x x m+
b.
2
( 2) 2 1x m x m+ + +
c.
2
(2 1) ( 3) 5m x m x
Ví dụ 8: Tìm tập xác đinh của các hàm số sau :

2
2
2 1 5 4 1 2
. ( ) ; . ( ) ; . ( )
4 3 2 1 3
x x x
a f x b f x c f x
x x x x
+
= = = +
+
Bài tập t ơng tự:
Bài 1:
Cho tam thức bậc hai: f(x)=(
2
1) 2 4( 1)m x mx m+ + +
a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x
b. tìm m để f(x)

0 với mọi x
c.tìm m để bất phơng trình f(x) >0 vô nghiệm
d.Tìm m đẻ bất phơng trình f(x) < 0 vô nghiệm
Bài 2:Tìm m sao cho với mọi x,ta có:
a.
2
5 0x x m + >
b.
2
10 5 0mx x <

c.
2
2( 1) 4 0mx m x m +
d.(
2
2) (3 1) 1 0m x m x m+ +
Bài 3:Tìm các giá trị của m sao cho phơng trình:
2
2( 1) 3 0mx m x m + =
a.Có hai nghiệm ttrái dấu.
b.Có hai nghiệm dơng.
c. Có hai nghiệm âm.
Bài 4: Tìm m sao cho phơng trình:
4 2 2
(1 2 ) 1 0x m x a+ + =
a. Vô nghiệm; b.có đúng 1 nghiệm c. Có đúng hai nghiệm
d. Có đúng 3 nghiệm e. Có đúng 4 nghiệm

Bài 5 : Cho tam thức f(x)= (m+1)x
2
2 4( 1)mx m + +

a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x.
b. Tìm m để f(x)

0 với mọi x.
c.Tìm m để bất pt f(x)>0 vô nghiệm
d.Tìm m để bất pt f(x) < 0 vô nghiệm.
Bài 6: Tìm m để các biểu thức sau luôn dơng :

2
. 4 5a x x m +
b.
2
( 2) 8 1x m x m + + +

c.
2 2
. 4 ( 1)c x x m+ +
d.
2
(3 1) (3 1) 4m x m x m+ + + +
Bài 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a.
2
( 4) ( 1) 2 1m x m x m + + +
b.
2
( 2) 5 4m x x+ +
Bài 8: giải các bất phơng trình sau:
2 1 5
.
1 1
x x
a
x x
+
<
+
b.

2
2
2 3
4 2
x x
x x
+
>

c.
2
2
3 8
1
1
x x
x x
+

+ +
Dạng toán 2: Giải bất phơng trình chứa căn thức
1.
)()( xgxf <
(1)

)()(
0)(
0)(
)1(
2
xgxf
xg
xf
Bài tập 1: Giải các bất phơng trình sau:
PhầnIII: Tiết14-23 : Góc lợng giác và công thức lợng giác
I.Kiến thức cơ bản:
1.các công thức lợng giác cơ bản:
2 2 2
2
2
2
1
.sin cos 1; .1 tan , ,
cos 2
1
.1 cot , , ; .tan .cot 1, ,
sin 2
a b k k Z
c k k Z d k k Z

+ = + = +
+ = =
2.Giá trị lợng giác của các cung đối nhau:
.cos( ) cos ; .sin( ) sin ; .tan( ) tan ; .cot( ) cota b c d

= = = =
3. Gia trị lợng giác của hai cung bù nhau:
.sin( ) sin ; .cos( ) cos ; .tan( ) tan ; .cot( ) cota b c d

= = = =
4. Giá trị lợng giác của các cung hơn kém

:
.sin( ) sin ; .cos( ) cos ; .tan( ) tan ; .cot( ) cota b c d

+ = + = + = + =
5.Gia trị lợng giác của các cung phụ nhau:
.sin( ) cos ; .cos( ) sin ; .tan( ) cot ; .cot( ) tan
2 2 2 2
a b c d


= = = =
6.Giá trị lợng giác của các cung hơn kém
2

:

.sin( ) cos ; .cos( ) sin ; .tan( ) cot ; .cot( ) tan
2 2 2 2
a b c d


+ = + = + = + =
7.Công thức cộng:
a. cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb
c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb
e.tan(a-b)=
tan tan
1 tan tan
a b
b

+
f.
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
b
+
+ =

cot cot 1 cot cot 1
.cot( ) ; .cot( )
cot cot cot cot
a b a b

g a b h a b
a b a b
+
+ = =
+
8.Công thức góc nhân đôi:
2 2
2
2
2
2
2 2
cos sin
(sin cos ) 1
2 tan cot 1
.cos 2 2cos 1 ; .sin 2 2sin cos ; .tan 2 ; .cot 2
1 tan 2cot
1 2sin 1 (sin cos )
a a
a a
a a
a a a b a a a c a d a
a a
a a a

+

= = = =

Ta cũng có : a.
2
2 2
1 tan 2 tan
cos 2 ; .sin 2
1 tan 1 tan
a a
a b a
a a

= =
+ +
9.Công thức biểu diễn theo t=tan
2
a
2 2
2 2 2
2 1 2 1
.sin ; .cos ; .tan ; .cot
1 1 1 2
t t t t
a a b a c a d a
t t t t

= = = =
+ +
10. Công thức nhân ba:
3 3
2 3
2 2

.sin 3 3sin 4sin ; .cos3 4cos 3cos
tan (3 tan ) cot 3cot
.tan 3 ( ,3 ); .cot 3
1 3 tan 2 3cot 1
a a a a b a a a
a a a a
c a a a k d a
a a


= =

= + =

11.Công thức hạ bậc :
2 2
2 3 3
1 cos 2 1 cos 2 1
.cos ; .sin ; .sin cos sin 2
2 2 2
1 cos 2 sin 3 3sin cos3 3cos
.tan ; .sin ; .cos
1 cos 2 4 4
a a
a a b a c a a a
a a a a a
d a e a f a
a
+
= = =

+ +
= = =
+
12.Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ] [ ]
[ ]
1 1
.cos cos cos( ) cos( ) ; .sin sin cos ( ) cos( )
2 2
1 1
.sin cos sin( ) sin( ) ; .cos sin [sin( ) si n( )]
2 2
a a b a b a b b a b a b a b
c a b a b a b d a b a b a b
= + + = +
= + + = +

*Đặc biệt:
.4cos cos( )cos( ) cos3 ; .4 cos .cos ( )cos( ) cos 3
3 3 3 3
.4 tan .tan( ).tan( ) tan 3
3 3
a x x x x b x x x x
c x x x x


+ = + =
+ =
13.Công thức biến đổi tổng thành tích :
.cos cos 2cos cos ; .cos cos 2 sin sin

2 2 2 2
.sin sin 2sin cos ; .sin sin 2cos sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a a b b a b
a b a b a b a b
c a b d a b
+ +
+ = =
+ +
+ = =
sin( ) sin( ) sin( )
.tan tan ( , );; .cot cot ( , ); .cot cot
cos cos 2 sin sin sin sin
a b a b b a
e a b a b k f a b a b k g a b
a b a b a b


+
= + + = =
2 cos( )
.tan cot ; .cot tan ; .cot tan 2 cot 2
sin 2 s in cos
a b
h a a k a b l a a a
a a b
+
+ = = =
Đặc biệt :

2 2
sin cos sin( )y A x B x A B x

= + = + +
( y=
2 2
cos( ))A B a

+
Trong đó:
2 2 2 2
cos ;sin
A B
A B A B

= =
+ +
(
2 2
0;0 2 )A B

+
*sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
*sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x cos x
x x x x

+ = + =
= = +
*cos sin 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
a a a a

= = +
14.bảng giá trị lợng giác của các cung đặc biệt
a
hslg
-
2

-
0
90
-
3

-
0
60
-
4

-
0
45
-
6

0
30
0
0
0
6

0
30
4

0
45
3

0
60
2

0
90
2
3

0
120
3
4

0
135
5
6

0
150

0
180
sina
-1
3
2

-
2
2
-
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
3

2
2
2
1
2
0
cosa
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2

2
2

3
2

-1
tana
kxđ
3
-1
1
3

0
1
3

1

3
kxđ
3
-1
1
3

0
cota
0
1
3


-1

3
kxđ

3

1
1
3

0
1
3


-1
3


kxđ
Ví dụ 1: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích để tính :
0
0
0 0 0
1
. 4 70 ( 2)
sin10
.cos14 cos134 cos106 ( 0)
a Sin DS
b DS

=
+ + =
Ví dụ 2: CMR:
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
.sin 20 2sin 40 sin100 sin 40
sin(45 ) cos (45 )
. tan
sin(45 ) cos( 45 )
3
.sin 200 sin 310 _ cos340 cos 50
2
a
a a
b a
a a
c
+ =
+ +
=
+ + +
=
Ví dụ 3: biến đổi thành tích:
a.A=sina+sinb+ sin(a+b) b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1
c.C=1+sina+sinb d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a
II. Các dạng bài tập cơ bản:
1.sử dụng các công thức lợng giác cơ bản :
Bài 1 : Tính các giá trị lợng giác của cung

biết :
3
.sin
4
a

=
và
2


< <
b.
2 3
.cos , ; .tan 3, ; .cot 2,0 2
3 2 2
b c d


= < < = < < = < <
Bài 2: CMR: a.với
3 4 4 2
2 2 2 2 4 2 4 2
sin
, : cos cos ; .sin cos 2cos 1
2 tan cot
.tan .sin tan sin ; . sin 4cos cos 4sin 3
k
k Z b a a a

c a a a a d a a a a



= = +
+
= + + + =
Bài 3: Cho cosa - sin a = 0,2. Tính giá trị của biểu thức A =
3 3
cos sina a
( A=0,296)
Bài 4:cho sina+ cosa=
4
3
.Tính gia trị các biểu thức sau :
3 3
. sin cos ; . sin cos ; . sin cosa A a a b B a a c C a a= = + =
Bài 5:CMR:
4 4 2 4 4 2 2
1 cos sin
.sin cos 2sin 1; .sin cos 1 2sin cos ; .
sin 1 cos
a a
a a a a b a a a a c
a a
+
= + = =


2. Sử dụng hệ thức về giá trị lợng giác của các cung có liên quan đặc biệt :

Bài 1 : CMR:
3 3
.sin( ) cos ; .cos( ) sin
2 2
3
sin( ) cot( )
2 2
. . sin
3
tan( )
tan( )
2
a a a b a a
a a
c a
a
a




= =
+
=
+

Bài 2 : Tính giá trị của biểu thức : A=
0 0 0 0
tan120 cot135 sin 315 2cos 210+ +
( A=

2 2
2
+

)
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: B=
2 2
5
1 sin( ) cos ( )
4 4
( 1)
sin ( ) sin ( )
4 4
a a
B
a a


+ + +
=
+ +
3. sử dụng công thức cộng :
Bài 1 : CMR :
sin( ) sin( ) sin( )
0
cos .cos cos .cos cos c. os
a b b c c a
A
a b b c c a

= + + =
Bài 2 : Tính :
2
sin(2 );cos(2 )
6 3
a a

+
Biết :
4
sin ;
5 2
a a


= < <
Bài 3: a.Biết sin a=
3
5
và
2
a


< <
. tính tan(a+
)
3

b.Biết :

0 0 0 0
4 8
sin (0 90 ),sin (90 180 )
5 17
a a b b= < < = < <
. Tính: cos(a+b) và sin(a-b)
c. cho hai góc nhọn a và b với tana=
1 1
; tan
2 3
b =
.Tính a+b
d.Biết tan(a+
) , 1
4
m m

=
.Tính tana
4. Sử dụng các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc :
Bài 1 : CMR:
4 4 6 6
1 3 3 5
.cos sin cos 4 ; .cos sin cos 4
4 4 8 8
a a a a b a a a+ = + + = +
Bài 2 : Tính :
0 0 0
. sin .cos .cos ; . sin10 sin 50 sin 70
16 16 8

a A b B

= =
Bài 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x=
1
cos8
8
x
áp dụng tính giá trị của :
0 0 0 0
3 5
. sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; . cos cos cos
7 7 7
a A b B

= =
Bài 4: CMR:
2
2 sin 2 1 cos 2
.cot tan ; .cot tan 2cot 2 ; . tan ; . tan
sin 2 1 cos 2 1 cos 2
a a
a a a b a a a c a d a
a a a

+ = = = =
+ +
Bài 5: tính:
2
11 5 5 7 11 11

. sin cos ( sin ); . sin sin sin sin (sin cos )
12 12 12 24 24 24 24 24 24
a A A b B

= = = =
0 0 0 0 0 0
1
. cos10 cos50 cos 70 ; . cos 20 cos 40 cos80 ( )
8
c C d D D= = =
Bài 6: Rút gọn :
tan 2
. ; . 1 sin 1 sin
tan 4 tan 2
a
a b a a
a a
+

Bài 7: Chừng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a:
6 6 4 4
4 4
8 8
. 2(sin ) 3(si n cos )
. 4(sin cos ) cos 4
. 8(cos sin ) cos 6 7 cos 2
a A a coa a a a
b B a a a
c C a a a a
= + +

= +
=
5. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng :
Bài 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)+cos(d+a)sin(d-a).
CMR : A= 0
Bài 2: CMR:
0 0 0
3
sin 20 .sin 40 sin 80
8
=
6. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích :
Bài 1; Cho tam giác ABC . CMR:
2 2 2
.sin sin sin 4 cos cos ; .cos cos cos 1 2cos cos cos
2 2 2
A B C
a A B C cos b A B C A B C+ + = + + =
c.cosA+ cosB+cosC=1+ 4
sin sin sin ; .sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin
2 2 2
A B C
d A B C A B C+ + =
Bài 2: Cho tam giác ABC .CMR:
2
3
sin (sin 2 sin 2 )
.tan tan tan tan tan 1; .sin cos( )
2 2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B C

a tan b A B C
+
+ + = =
Bài 3: CMR:
5 7
cos cos cos 0
9 9 9

+ + =
Bài 4: Tính A=
2 4 6
cos cos cos ( :
7 7 7
HD

+ +
nhân hai vế với
1
sin )( )
7 2
A

=
ôn tập hè : Môn hình học
Bài 1: Tiết:1 Véc tơ
I.Véc tơ và các phép toán trên véc tơ:
1. phép cộng véc tơ:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
2. Hiệu của hai véc tơ:

OB OA AB =
uuur uuur uuur
3. Tích véc tơ véctơ một số:
+Cho
a
r
và
( 0)b b
r r r
khi đó
,a b
r r
cùng phơng khi và chỉ khi : có một số k sao cho:
a kb=
r r
+ Ba điểm A,B ,C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để :
AB k AC=
uuur uuur

4.trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
+ Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi M,ta có:
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có:
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
II. Hệ trục toạ độ:
1.Hệ trục toạ độ và toạ độ của véc tơ:
a. Hệ trục toạ độ:
b.toạ độ của véc tơ: Trong mặt phẳng Oxy,cho véctơ

U
ur
,khi đó ta nói:
( ; )U x y U xi y j= = +
ur ur r r
Lu ý: cho
, ,
( ; ); ( ; )U x y V x y
ur ur
thì:
,
,
x x
U V
y y

=

=

=


ur ur
c.Toạ độ của một điểm: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M. ta nói M (x;y) hay
M=(x;y)
OM xi y j = +
uuuur r r
d. Lien hệ giữa toạ độ của véc tơ và toạ độ của điểm trong mặt phẳng;
Cho A(

; ); ( ; )
A A B B
x y B x y
.Ta có:
( ; )
B A B A
AB x x y y=
uuur
2.Toạ độ của các véc tơ
; ;u v u v ku+
r r r r r
3.Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng , toạ độ trọng tâm của tam giác :
+ Gọi M là trungđiểm của đoạn thẳng AB, ta có:
2
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+

=



+

=


+Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, Ta có:
3
3
B
A B C
G
A C
G
x x x
x
y y y
y
+ +

=



+ +

=


III.các dạng bài tập áp dụng:
1.Tìm toạ độ của điểm
Ví dụ1: cho tam giác ABC. b Biết các trung điểm của BC, CA, AB lần lợt là M(-

1;2);N(1;1) và P( 3:4)
Ví dụ 2:cho hình bình hành ABCD .Biết A(3;2) , B(-11;0) C(5;4). tìm toạ độ điểm D
Ví dụ 3: cho ba điểm A(1;4) B(-2;2) và C(4;0)
a. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b.Tính toạ độ của véctơ
AM
uuuur
với M là trung điểm của BC
c.Tính toạ độ của trọng tâm G của tam giác ABC
Ví dụ 4: cho véctơ
(2 1;3 2); (2;1)a m m b= + =
r r
a.tìm m để hai véctơ trên cùng phơng
b.Tìm toạ độ của véctơ có độ dài bằng 1 vàcùng phơng với
b
r
Ví dụ 5: cho hai điểm A(-2;1) và B(-4;5)
a.Tìm điểm M trên trục Ox sao cho A,B,M thẳng hàng
b.Tìm N trên trục Ox sao cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO;
c.Tìm giao điểm I của hai đờng chéo của hình thang.
Bài tập tơng tự:
Bài 1: Cho tam giác ABC, biết A(2;-2) ,B(10;-6), C nằm trên Oy, trọng tâm G nằm trên
trục Ox.Tìm toạ độ của C và G
Bài 2 :a. Cho A(-1;8), B(1;6) và C(3;4) CMR A,B,C thẳng hàng
b. Cho A(1;1) , B(3;2) và C (m+4;2m+1) . tìm m để A,B ,C thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC .Các điểm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) lần lợt là trung điểm của các
cạnh BC , CA;AB. Tính toạ đọ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ,cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5)
a.CMR A,B ,C thẳng hàng
b.Tìm toạ độ điểm D sao cho a là trung điểm của BD

c.Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho A ,B ,E thẳng hàng.
Bài 5: TRong mặt phẳng cho các điểm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2)
a.Tìm m để C nằm trên trục hoành , trục tung
b.Tìm toạ độ điểm D để tứ giác OADB là hình bình hành
c.Tìm m để tứ giác OACB là hình thang.
Bài 6 : Trong mặt phẳng toạ độ , cho ba điểm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5)
a. CMR : A, B ,C không thẳng hàng
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho
3AD BC=
uuur uuur
c.Tìm toạ độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE
Bài 2: tích vô hớng của hai véctơ và ứng dụng
I Kiến thức cơ bản:
1.Định nghĩa:
. . .cos( ; )a b a b a b=
r r r r r r
2. Công thức về toạ độ :
Cho vectơ
1 1 2 2
( ; ); ( ; )a x y b x y
r r
, khi đó ta có:
1 2 1 2
. . .a b x x y y= +
r r
3.Độ dài véctơ ,góc giữa hai vectơ;
Cho hai vectơ;
1 1 2 2
( ; ); ( ; )a x y b x y
r r

,khi đó ta có:
2 2
1 1
.a a x y= +
r
b.
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
.
cos( ; )
.
.
x x y ya b
a b
a b
x y x y
+
= =
+ +
r r
r r
r r
c.
1 2 1 2
. 0 0a b a b x x y y = + =
r r r r
d.cho
2 2
( ; ); ( ; ) ( ; ) ( ) ( )

A A B B B A B A B A B A
A x y B x y AB x x y y AB x x y y = +
uuur uuur
II. Các dạng bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC,với A(10;5);B(-1;-1);C(6;0).CMR tam giác ABC vuông tại B
Bài 2:Trong mặt phẳng toạ độ , cho tam giác ABC,có A(4;6),B(1;4),C(7:
3
)
2
.
a.CMR;tam giác ABC vuông tại A.
b.Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ
,a b
r r
trong các trờng hợp sau:
. (1; 2); ( 1; 3)
. (3; 4); (4;3)
. (2;5); (3; 7)
a a b
b a b
c a b



r r
r r
r r
Bài 3: Cho hai điểm A(2;4) và B(1;1).Tìm toạ độ điểm C,sao cho tam giác ABCvuông cân
tại B (C(4;0) và C(-2;2) )

Bài 4: Cho hai điểm A(5;4) ,B(3;-2).một điểm M di động trên Ox,tìm giá trị nhỏ nhất của :
A=
.MA MB+
uuur uuur
Bài 5: Cho tam giác ABC, có A(-4;1), B(2;4),C(2;-2).
a. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.(C=6(1+
5
);S=18)
b.Tìm toạ độ trọng tâm G,trực tâm H,và tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Từ
đó suy ra
2GH GI=
uuur uur
(H(
1
;1
2
);I(-
1
;1)
4
Bài 6:Cho tam giác ABC,có A(5;3),B(2;-1),C(-1;5).
a. Tính toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
b.Tính toạ độ chân đờng cao hạ từ A.
Bài 7: Cho hai điểm A(1;2),B(6;3).Tìm toạ độ điểm C nằm trên Ox sao cho tam giác ABC
vuông tại C.
Bài 8:Cho ba điểm A(1;-3),B(0;2),C(4;5).Xác định toạ độ ba điểm E,F,G,biết rằng:
. 3 4
. 2 4 0
a CE AB AC
b AF BF CF

=
+ =
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
Bài 9:Cho ba điểm A(1;2),B(4;6),C(9;8).xác định toạ độ chân đờng phân giác trongcủa góc
BAC ( D(
17 20
;
3 3
) )
Bài 10: cho tam giác ABC,có A(-3;6),B(1;-2),C(6;3)xác định toạ độ tâm I của đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS:I(1;3)
Bài 11: Biết A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD .Tìm toạ độ các đỉnh C và
Bài 3: Hệ thức lợng trong tam giác
I.Kiến thức cơ bản:
1. định lí côsin: trong tam giác ABC, ta có :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
+ = +
+ = +
+ = +
Hệ quả:
2 2 2

2 2 2
2 2 2
.cos
2
.cos
2
.cos
2
b c a
a A
bc
a c b
b B
ac
a b c
c C
ab
+
=
+
=
+
=
2. Định lí sin:Trong tam giác ABC, ta có:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =

3.Công thức trung tuyến :

2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
.
2 4
.
2 4
.
2 4
a
b
c
b c a
a m
a c b
b m
a b c
c m
+
=
+
=
+
=
4.Công thức tính diện tích tamgiác :

1 1 1
.
2 2 2
1 1 1
. sin sin sin
2 2 2
.
4
.
. ( )( )( )
a b c
a S ah bh ch
b S bc A ac B ab C
abc
c S
R
d S pr
e S p p a p b p c
= = =
= = =
=
=
=
II.Các Dạng toán cơ bản:
Dạng toán 1: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trớc .
pp:+ sử dụng trực tiếp định lí sin và định lí côsin
+ sử dụng các hệ thức khác .
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC,có b=7cm,c=5cmvà cosA=
3
5

.
a.Tính a,sinA và diện tích S của tam giác ABC.
b. Tính đờng cao
a
h
xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC,có BC=40cm,CA=13cm,AB=37cm.Tính góc nhỏ nhất của tam
giác
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC,biết A=60
0
, b=8cm,c=5cm. Tính đờng cao
a
h
,bán kính R của
đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC,có AB=5cm,BC=7cm,CA=8cm.Tính
.AB AC
uuur uuur
và góc A
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết a=21cm,b=17cm,c=10cm
a.Tính diệnn tích tam giác và chiều cao
a
h
.
b.tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
c.Tính độ dài đờng trung tuyến
a
m
Dạng toán 2: chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.

pp: dùng các hệ thức cơ bản đã học để biến đổi .
Ví dụ 1: cho tam giác ABC.gọi G là trọng tâm tam giác CMR:
2 2 2 2 2 2
1
( )
3
GA GB GC a b c+ + = + +

Ví dụ 2:trong tam giác ABC.CMR: a=bcosC+ccosB
Ví dụ 3: trong tam giác ABC, có BC=a,CA=b,AB=c và đờng trung tuyến AM=c. CMR:
2 2 2
2 2 2
. 2( )
.sin 2(sin sin )
a a b c
b A B C
=
=
Dạng toán 3: Giải tam giác:
*giả thiết bài toán có thể cho:
+Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g,c,g);
+ Biết một góc và hai cạnh kề vế nó (c,g,c);
+ biết ba cạnh (c,c,c)
pp:Để tìm các yếu tố còn lại tra sử dụng các định lí sin,cosin, định lí về tổng ba góc trong
tam giác .có thể sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông.
Ví dụ 1; Giải tam giác ABC, biết :
0 0 0
. 35 , 40 , 120 ; . 7 , 23 , 130 ; . 14 , 18 , 20a c cm A C b a cm b cm C c a cm b cm c cm= = = = = = = = =
Bài tập t ơng tự :
Bài1: cho tam giác ABC,có B

0 0
60 , 45C =
và BC=a.
a.Tính độ dài hai cạnh AB và AC
b.CMR:
0
6 2
cos 75
4

=
Bài 2: Cho tam giác ABC,có c=35,b=20,
0
60A =
a. Tính chiều cao h
a
.
b.Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
c.Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác .
Bài 3: CMR trong tam giác ABC,ta có :
2 2 2
cot cot cot
a b c
A B C R
abc
+ +
+ + =
Bài 4: CMR trong tam giác ABC, ta có :
2 2 2 2
. ( cos cos ); .( )cos ( cos cos ; .sin sin cos sin cosa b c a b C c B b b c A a c C b B c C A B B A = = = +

Bài 5:Tam giác ABC,có BC=12,CA=13,trung tuyến AM=8.
a.Tính diện tích tam giác ABC.
b.Tính góc B
Bài 6: Giải tam giác ABC, biết :
a.a=6,3;b=6,3;
0
54C =
.
b.c=14;
0 0
60 ; 40A B= =
.
c.a=6;b=7,3;c=4,8.
Bài 4: Phơng trình tổng quát và phơng trình tham số của đờng
thẳng
A.Kiến thức cơ bản :
I.Phơng trình tham số của đờng thẳng :
1Cho đờng thẳng d có véctơ chỉ phơng
1 2
( ; )U u u
ur
;đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
.Khi đó pt tham số
của đờng thẳng d là:
0 1
0 2
( )
x x u t

t R
y y u t
= +



= +

+Nếu d có véctơ chỉ phơng là
1 2
( ; )U u u
ur
,thì có hệ số góc là k=
2
1
u
u
.pt đờng thẳng qua
0 0 0
( ; )M x y
,có hệ số góc k là:
0 0
( )y y k x x =
+ Nếu k là hệ số góc của d thì một véctơ chỉ phơng của d là
(1; )U k
ur
2.Ví dụ:
ví dụ1; viết pt tham số của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
a.d qua A(-2;3) có véctơ chỉ phơng
(3; 2)U

ur
b. d qua hai điểm M(1;-3) và N(-2;5)
c. d qua B(3;-2) có hệ số góc k=2
II.phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
1. Cho đờng thẳng d có véctơ pháp tuyến
( ; )n A B
r
và đi qua điểm
0 0 0
( ; )M x y
.Khi đó phơng
trình tổng quát của đờng thẳng d có dạng:
0 0
( ) ( ) 0A x x B y y + =
,hay Ax+By +C=0(với C=
0 0
( )Ax By +
)
+nếu d có véctơ pháp tuyến là
( ; ) : ( ; )( ( ; ))n A B vtcp u B A u B A
r r r
2.Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
Cho hai đờng thẳng ;
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
; 0
A x B y C
A x B y C
+ + =

+ + =
Khi đó để xét vị trí tơng đối của
1 2
,
.ta xét hệ:
1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
+ + =


+ + =

(I)
+Nếu hệ (I) vn thì
1

song song với
2

+ Nếu hệ (I) có 1 nghiệm thì
1

cắt
2

+ Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì

1

trùng
2

Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau:

1 2
3 4
5 6
. : 2 3 1 0; : 4 3 7 0
. : 4 2 3 0; : 6 3 2 0
. : 2 3 4 0; : 4 6 8 0
a d x y d x y
b d x y d x y
c d x y d x y
+ + = =
+ = =
+ + =
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 3 4 1 0; : 4 3 7 0x y x y + = + =
a.Tìm giao điểm của hai đờng thẳng trên.
b.tính góc giữa hai đờng thẳng
1

và
2

.

3.Góc giữa hai đờng thẳng:
cho hai đờng thẳng
1 2
;
lần lợt có véctơ pháp t uyến là:
1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )n A B n A B
uur uuur
thì:
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
. .
.
cos( ; ) cos( ; )
.
.
A A B B
n n
n n
n n
A B A B
+
= = =
+ +
uruur
ur uur

ur uur
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng :
+khoảng cách từ
0 0 0
( ; )M x y
đến đờng thẳng

: Ax+By +C=0 là:d(
0 0
0
2 2
; )
Ax By C
M
A B
+ +
=
+
+đờng thẳng

chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa có bờ là đờng thẳng

, ta luôn có:
*Một nửa mf chứa các điểm
1 1 1
( ; )M x y
,thoã mãn:
1 1 1
( ) 0M Ax By C = + + >
* Một nửa mf chứa các điểm

2 2 2
( ; )M x y
,thoả mãn:
2 2 2
( )M Ax By C = + +
< 0
Ví dụ 1: viết pt tổng quát của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
a.d qua A(3;4) có véctơ pt là
(5; 2)n
r
b.d qua B(-2;5) có véctơ chỉ phơng là
(4; 3)u
r
Ví dụ 2: cho tam giác ABC có A(3;-1),B(6;2) C(1;4).
a. Viết pttq của các cạnh của tam giác ABC.
b.Viết phơng trình tổng quát của các đờng cao của tam giác
c.Viết pt các đờng trung tuyến của tam giác ABC.
ví dụ 3: a.tính khoảng cách từ A(3;5) đến đờng thẳng a:3x+4y+1=0
b.Tính khoảng cách từ B(2;4) đến đờng thẳng b: 4x-3y+2=0
Ví dụ 4: Cho đờng thẳng d:x-y+2=0 và hai điểm O(0;0), A(2;0) .
a.Chứng tỏ rằng Avà O nằm cùng một phía so với d.
b.Tìm điểm
,
O
đối xứng với O qua d.
c.Tìm điểm M trên d sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất .
B.các dạng bài tập cơ bản :
1. lập pt của đờng thẳng:
bài 1: Cho tam giác ABC,có A(3;2),B(1;1),C(-1;4).Viết pt tổng quát của :
a.đờng cao AH và đờng thẳng BC.

b.Đờng trung trực của AB.
c.đờng trung bình ứng với AB.
d.Đờng phân giác trong của góc A.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD,biết pt cạnh AB là: 2x-y+5=0,đờng thẳng AD qua gốc toạ
độ O và tâm hình chữ nhật là I(4;5).Viết pt các cạnh còn lại.
Bài 3: Cho đờng thẳng d: 3x-4y-12=0.
a. tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục toạ độ ;
b.viết pt đờng thẳng
,
d
đối xứng với d qua Ox;
c. Viết pt đờng thẳng
,,
d
đối xứng với d qua điểm I(-1;1).
Bài 4: Cho tam giác ABC,có A(1;2),B(3;-4),C(0;6).viết pt tham số và tổng quát của các đ-
ờng thẳng sau:
a.đờng thẳng BC;
b.đờng cao BH;
đờng thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với đờng thẳng d:3x-7y=0.
2.Tìm điểm trên đ ờng thẳng thoã mãn điều kiện cho tr ớc :
Bài 1: cho đờng thẳng d; có pt:
2 2
3
x t
y t
= +


= +

a. Tìm điểm M trên d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
b.Tìm toạ độ giao điểm của d và đờng thẳng a: x+y+1=0.
c.Tìm điểm M trên d sao cho AM ngắn nhất .
BàI 2: a. Tìm trên trục hoành điểm cách đờng thẳng d: 2x+y-7=0 một khoảng là
2 5
.
b.Tìm trên đờng thẳng a: x+y+5 =0 điểm cách đờng thẳngb: 3x-4y+4=0 một khoảng là 2
Bài 3: Cho hình vuông ABCD,có pt các cạnh AB: 3x-2y-1=0 ;CD:3x-2y-5=0 và tâm I thuộc
đờng thẳng x+y-1=0.
a.Tìm toạ độ điểm I.
b. Viết pt cạnh AD và BC.
Bài 4: Viết pt đờng thẳng d trong mỗi trờng hợp sau:
a.d qua M(-2;-4) và cắt các trục toạ độ lần lợt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân
b.d qua N(5;-3) và cắt các trục toạ độ tại Avà B sao cho N là trung điểm của AB.
c.d qua P(4;1)cắt Ox,Oy lần lợt tại Avà B phân biệt sao cho OA+OB nhỏ nhất .
Bài 5: Cho đờng thẳng
2 2
: ; (3;1)
1 2
x t
M
y t
=



= +

a.Tìm điểm A trên

sao cho A cách M một khoảng
13
b.Tìm điểm B trên

sao cho đoạn MB ngắn nhất.
Bài 6: cho hai điểm A(-1;2),B(3;1) và đờng thẳng
1
:
2
x t
y t
= +



= +

Tìm toạ độ điểm C trên

sao cho :
a.Tam giác ABC cân.
b.tam giác ABC đều.
Bài 5: đờng tròn
I. kiến thức cơ bản
1 *Phơng trình đờng tròn tâmI(a;b) bán kính R là:
2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
2. Trong mf,phơng trình có dạng :
2 2 2 2

2 2 0( 0)x y ax by c a b c+ + + + = + >
là pt đờng tròn tâm I(-a;-b) bán kính R=
2 2
a b c+
3.Tiếp tuyến với đờng tròn (C):
2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
,Tại
0 0 0
( ; )M x y
:Là đờng thẳng qua M
0

và vuông góc với vectơ
0 0 0
( ; )IM x a y b
uuuur
,có pt là:
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0x a x x y b y y + =
( công
thức phân đôi toạ độ )
II.Các dạng bài tập :
Dạng toán 1:xác định tâm và bán kính .điều kiện để 1 pt là đờng tròn:
Ví dụ 1: xác định tâm và bán kính của các đờng tròn sau:
2 2 2 2 2 2
.( 1) ( 2) 3; . 8 4 5 0; .3 3 4 1 0a x y b x y x y c x y x+ + = + + = + + + =
Ví dụ 2: Cho pt:
2 2 2
2 2 3 4 0(*)x y mx my m+ + + =

a.Tìm m để (*) là pt một đờng tròn .
b.Viết pt đờng tròn (*) biết nó có bán kính R=1.
c.Tính bán kính của đờng tròn (*) biết nó tiếp xúc với đờng thẳng d: 2x-y=0
Ví dụ 3: cho đờng tròn (C):
a.Tìm tâm và bán kính của (C)
b.Cho A(3;-1).CMR:Alà điểm ở trong đờng tròn .Viết ptđờng thẳng d qua A và cắt (C)
theo Một dây cung có độ dài nn
c. Cho a: 3x-4y=0.CMR a cắt (C) . tính độ dài dây cung.
Dạng toán 2: Lập pt đ ờng tròn:
+ cách 1:Tìm toạ độ tâm I(a;b) ,bán kính R
2 2 2
: ( ) ( )Pt x a y b R + =
+ cách 2: lập pt dạng:
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
(*) ,Tìm a,b,c từ các giả thiết
Lu ý:
* Đt (I;R) qua
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ; ) I ( ) ( ) 2 2 0M x y M R x a y b R x y ax by c = + = + + + + =
*Đt(I;R) tiếp xúc với
( ; )d I R =
*Đt(I;R) txúc với Ox
b R =
*Đt(I;R)T xúc với Oy
a R =
Ví dụ 1: Viết pt đờng tròn biết :
a.Đờng kính AB,biết A(3;1),B(2;-2)
b.có tâmI(1;-2),tiềp xúc với đờng thẳng d: x+y-2=0.

c.Có bán kính R=5, tâm thuộc Ox và qua A(2;4)
d.Có tâm I(2;-1) và tiếp xúc ngoài với đờng tròn:
2 2
( 5) ( 3) 9x y + =
.
e.Tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đờng thẳng a: 2x-y-3=0
Ví dụ 2: Viếtpt đờng tròn
a. qua A(-2;-1) ,B(-1;4), C(4;3).
b.Qua A(0;2),B(-1;1) và có tâm nằm trên đờng thẳng 2x+3y=0.
c. qua A(5;3) và tiếp xúc với đờng thẳng b: x+3y+2=0 tại điểm M(1;-1)
Dạng toán 3: Lập pt tiếp tuyến của đ ờng tròn:
+ Nếu biết tiếp điểm
0 0 0
( ; )M x y
thì lập pt dạng phân đôi toạ độ
+ Nếu cha biết tiếp điểm ta dùng điều kiện:

là ttcủa Đt (I;R)
( ; )d I R =
Ví dụ1:a.Viết pttt của đt ;
2
2
( 3) ( 1) 25x y + + =
tại điểm nằm trên dờng tròn có hoành độ -1
b. Viết pttt của Đt (C):
2 2
4 2 5 0x y x y+ + =
, tại giao điểm của nó với trục Ox
Ví dụ 2: Cho đờng tròn (C):
2 2

2 2 3 0x y x y+ + =
.
a, Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trên trục Ox.
b.Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đờng tròn (C).
Ví dụ 3; Cho đờng tròn (C):
2 2
4 6 7 0x y x y+ + + =
.