De+D.an chuyen tin vong 2 Lam Son 20-6-2010

Đề thi chuyên tin lam sơn - Thanh Hóa (20-6-2010)
Thời gian 150’
Câu 1: (2.5)
1. Cho
3
m 3 2 2 3 2 2 1= + − − −
;
3
n 17 12 2 17 12 2 2= + − − +
Tính giá trị biểu thức: T = 2(20m+6n)
2
- 38
2. GPT:
( )
2
2
1 1
2 x 7 x 9 0 1
x x
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
Câu 2: (2.5)

( )
( )
2 2 2
x y 2a 1 1

x y 2a 4a 1 2

+ = +


+ = + −


1. GPT với a = 1.
2. Tìm a để hệ có nghiệm với tích xy nhỏ nhất.
Câu 3: (1.0)
x
2
+ (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 trong đó a, b, c là ba cạnh của ∆.
C/m phương trình vô nghiệm.
Câu 4: (3.0)
Cho ∆ABC cân tại A có ∠BAC = 150
o
. Dựng các ∆AMB và ∆ANC sao cho
các tia AM, AN nằm trong góc BAC và ∠ABM = ∠CAN = 90
o
; ∠NAC = 60
o
và
∠MAB = 30
o
. Trên đoạn MN lấy điểm D sao cho ND = 3MD. Đường thẳng BD cắt
các đường thẳng AM; AN theo thứ tự tại K và E. Gọi F là giao điểm của BC với
AN. Cmr:
1. ∆NEC cân.
2. KF // CD.
Câu 5: (1.0)

Giải pt trên tâp số nguyên.
(2x - y - 2)
2
= 7(x - 2y - y
2
- 1)
Hết
Hướng dẫn giải
Câu 1: (2.5)
1,
3
m 3 2 2 3 2 2 1= + − − −
( ) ( )
2 2
3
3
1 2 1 2 1 1 1= + − − − = =
3
n 17 12 2 17 12 2 2= + − − +
( ) ( )
2 2
3
3
n 3 2 2 3 2 2 2 8 2= + − + + = =
T = 2(20m+6n)
2
- 38= 2(20.1 + 6.2)
2
- 38 = 2010
2, GPT:

( )
2
2
1 1
2 x 7 x 9 0 1
x x
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
( )
2 2
2
1 1
x t t 2 x t 2
x x
+ = ≥ ⇒ + = −
⇒pt: 2(t
2
- 2) - 7t + 9 = 0⇔ 2t
2
- 7t +5 = 0 ⇔ x
1
= 1 (loại) ; x
2
= 5/2 (t/m)
x
2
= 5/2 ⇒

2
1 2
1 5 1
x 2x 5x 2 0 x 2; x
x 2 2
+ = ⇔ − + = → = =
Câu 2: (2.5)

( )
( )
2 2 2
x y 2a 1 1

x y 2a 4a 1 2
+ = +


+ = + −


1, Thay a =1 ta có hệ:
( )
( )
2 2
x y 3 1
x y 5 2'
+ =


+ =



Bình phương (1) ⇒ x
2
+ y
2
+ 2xy = 9 kết hợp với (2’) ⇒ xy = 2
Vậy x ; y là 2 nghiệm của pt : X
2
- 3X + 2 = 0 ⇒ X
1
= 1 ; X
2
= 2
(x ;y) = (1 ;2) hoặc (2 ;1)
2, Tìm a để hệ có nghiệm với x.y nhỏ nhất.
Tương tự như trên ta có :
( )
( )
2
x y 2a 1 1
xy a +1 2'
+ = +


=


Vậy x ; y là 2 nghiệm của pt : X
2

- (2a + 1)X + a
2
+ 1 = 0
∆ = (2a + 1)
2
- 4(a
2
+ 1) = … = 4a - 3 ≥ 0 ⇔ a ≥ ¾
⇒ xy = a
2
+ 1 ≥ 9/16 + 1 = 25/16
Dấu bằng ⇔ x = y = 5/4
KL : với a = ¾ thì hệ pt có nghiệm t/m x.y đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: (1.0)
x
2
+ (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 trong đó a, b, c là ba cạnh của ∆.
∆ = (a + b + c)
2
- 4ab - 4bc - 4ca = a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab - 2bc - 2ca
Ta có a, b, c là ba cạnh của ∆ ⇒
( )
( )
( )

2
2 2 2 2
2
2 2 2
a b c a a b c
b c a b b c a a b c 2ab 2bc 2ca
c a b c c a b
a b c 2ab 2bc 2ca 0 0
< + ⇒ < + 

< + ⇒ < + ⇒ + + ≤ + +


< + ⇒ < +

⇔ + + − − − ≤ ⇔ ∆ ≤
Vậy pt vô nghiệm.
Câu 4: (3.0)
30
a
1
a
3
a
3
1
1
1
K
A'

O
E
D
M
F
N
A
B
C
gt:
kl: a, ∆CNE cân.
b, KF// DC.
C/M
a,
Đặt AB = AC = a
∆CAN vuông tại C⇒
NC a 3=
(1)
( )
AE AB
AE / /BA '
BA' AB
a 3
NE 3.BM 3. a 3 2
3
⊥

⇒

⊥


⇒ = = =
Từ (1) và (2) ⇒ NC = NE ⇒
∆CNE cân đỉnh N.
b,
* Tứ giác ABA’C nt, tg BACE nt
(vì ∠B
1
= 15
o
= ∠E
1
). Gọi tâm
đ.tròn đi qua 5 điểm B,A,C,E,A’
là O.
* ∆BOC cân có ∠B=60
o
⇒ ∆BOC đều.
O là tđ của BE, BD = ¼. BE ⇒ D là tđ của BO
⇒ CD là đương cao của ∆BOC ⇒ CD ⊥ BO. (3)
* ∠A’BE = ∠A’CE = 15
o
. ⇒ ∆ABK cân tại A ⇒ AK = AB = AC
… ⇒ ∆AFK = ∆AFC (cgc) ⇒ ∠K
1
= ∠C
1
= 15
o
. Mà ∠B

1
= ∠C
1
⇒ tg ABKF nt.
⇒ … ⇒ ∠BKF = 1v. ⇒ KF ⊥ BO (4)
Kết hợp (3), (4) ⇒ KF // CD (hq)
Câu 5: (1.0)
Giải pt trên tâp số nguyên.
C
1
. (2x - y - 2)
2
= 7(x - 2y - y
2
- 1) ⇔ [2x - 1 - (y + 1)]
2
= 7[x - (y + 1)
2
]
⇔ [2x - 1 - m]
2
= 7[x - m
2
] ⇔4x
2
+ 1 +m
2
- 4x + 2m - 4mx = 7x - 7m
2
⇔4x

2
- (11+4m)x + 8m
2
+ 2m + 1 = 0
Tính ∆
m
≥ 0 ⇒ … ≤ m ≤ … = … ⇒ -7/4 ≤ y ≤ ¼ ⇒ y = - 1;0
⇒ y = - 1 ⇒x = … (loại); y = 0 ⇒ x = 1 (t/m)
KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0)
C
2
. (2x - y - 2)
2
= 7(x - 2y - y
2
- 1)
⇔ 4x
2
- (15+4y)x + 8y
2
+ 18y + 11 = 0
∆
x
= (15+4y)
2
- 4.4(8y
2
+ 18y + 11) = -112y
2
- 168y + 49

∆
x
≥ 0 ⇔ -112y
2
- 168y + 49 ≥ 0 ⇔ 16y
2
+ 24y - 7 ≤ 0
∆’
y
= … = 256 ⇒ y
1
= -7/4 ; y
2
= ¼
∆’
y
≥0 ⇔-7/4 ≤ y ≤ ¼ mà y nguyên ⇒ y = 0 ; 1 ⇒ x = … (∉Z) ; 1 ∈Z
KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0)