lập phương trình đường bậc hai

SP TOAN 35A CDSP DAKLAK

LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI

I/Phương Pháp :
Cho (C) : F(x,y) =ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0 với (a,b,c) (0,0,0)
Dựa vào những yếu tố đề bài cho ta xây dựng các hệ phương trình 6 ẩn số . giải hệ => phương trình
(C)
Ví Dụ:
Lập phương trình đường cong bậc hai đi qua 5 điểm : (0,0) ; (0,2) ; (-1,0) ; (-2,1) ; (-1,3) .
Giải :
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
Đi qua điểm (0,0) => f=0.
Đi qua điểm (0,2) => 4c +4e = 0 => c = -e (1)
Đi qua điểm (-1,0) => a – 2d = 0 => a = 2d (2)
Đi qua điểm (-2,1) =>4a – 4b + c – 4d + 2e = 0 thế (1),(2) vào => 8d – 4b – e – 4d + 2e = 0
4d – 4b + e = 0 (3)
Đi qua điểm (-1,3) => a – 6b + 9c – 2d + 6e = 0 thế (1),(2) vào => 2d – 6b – 9e - 2d + 6e = 0
2b + e = 0  e = - 2b (4)
Thế (4) vào (3) ta được 4d – 6b = 0 => b = d . Chọn d = 3 => b = 2 => e = -4 , c = 4 , a = 6
Vậy phương trình (C) có dạng ; 6x
2

+ 4xy +4y
2
+ 6x – 4y = 0  3x
2
+ 2xy + 4y
2
+ 3x – 2y = 0
Bài tập :
Câu 1 : Lập phương trình tổng quát của tất cả các đường cong bậc hai , có cùng tâm (x
0
,y
0
)
Giải :
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
(C) có tâm là (x
0
,y
0
) ta sử dụng phương pháp đổi trục tọa độ ta được:
a(x’ + x
0
)
2
+ 2b(x’ + x
0

)(y’ + y
0
) + c(y’ + y
0
)
2
+ 2d( x’ + x
0
) + 2e( y’ + y
0
) + f = 0
 ax’
2
+ 2bx’y’ + cy’
2
+ 2(ax
0
+ by
0
+ d)x + 2(by
0
+ cy
0
+ e)y + ax
0
2
+ 2bx
0
y
0

+ cy
0
2
+ 2dx
0
+ 2ey
0
+ f
= 0 (1)
Mặt khác tâm (x
0
,y
0
) thoả hệ phương trình và ta đặt ax
0
2
+ 2bx
0
y
0
+ cy
0
2
+ 2dx
0
+ 2ey
0
+ f = F
Nên (1)  ax’
2

+ 2bx’y’ + cy’
2
+ F = 0 

a(x – x
0
)
2
+ 2b(x –x
0
)(y – y
0
) + c(y – y
0
)
2
+ F = 0
Vậy phương trình đường cong bậc hai (C) có tâm (x
0
,y
0
) là :

a(x – x
0
)
2
+ 2b(x –x
0
)(y – y

0
) + c(y – y
0
)
2
+ F = 0
Câu 2 : Lập phương trình tổng quát của tất cả những đường cong bậc hai nhận hai đường thẳng ax +
by + c = 0 và a
1
x + b
1
y + c
1
= 0 làm tiệm cận
Giải :
Vì (C) nhận (d
1
) ax + by + c = 0 và (d
2
) a
1
x + b
1
y+ c
1
= 0 làm tiệm cận thì phương của (d
1
) và (d
2
) là

hai phương tiệm cận của (C) nên với là phương tiệm cận của (C).
 (C) có dạng (ax + by)( a
1
x + b
1
y) + 2dx + 2ey + f = 0
 a
1
ax
2
+ ( ab
1
+ a
1
b)xy + b
1
by
2
+ 2dx + 2ey + f = 0 (*)
Mặt khác tâm I của (C) là nghiệm của hệ :
 (I)
Vì (d
1
) và (d
2
) là đường tiệm cận nên tâm I cũng thỏa hê (II)
Thế hệ (II) vào (I) ta được (III)
Thế (III) vào (*) ta được a
1
ax

2
+ ( ab
1
+ a
1
b)xy + b
1
by
2
+ (a
1
c + ac
1
)x + (b
1
c + bc
1
)y + f = 0
- 1 - VÕ VĂN TUẤN

 a
1
x(ax + by + c) + b
1
y(ax + by + c) + c
1
(ax + by + c) + f – cc
1
= 0
Đặt k = f – cc1 (ax + by + c) (a

1
x + b
1
y) + k = 0
Vậy phương trình tổng quát của tất cả những đường cong bậc hai nhận hai đường thẳng ax + by + c =
0 và a
1
x + b
1
y + c
1
= 0 làm tiệm cận là :
(ax + by + c) (a
1
x + b
1
y) + k = 0
Câu 3 : Lập phương trình hypebol đi qua điểm (1;2) ; (-1;-2) và với điều kiện 1 tiệm cận của nó
trùng với trục Ox
Giải :
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
Có 1 phương tiệm cận (1,0) => a + 2b.1.0 + c.0 = 0 => a = 0
y = 0 là tiệm cận nên hệ sau có nghiệm duy nhất đó là tâm I của (C)
vì a= 0
Vậy tâm I có tọa độ ( ; 0 )
Phương trình (C) có tâm I là ( ; 0 ) có dạng a(x + )

2
+ by(x + ) + cy
2
+ f’ = 0
Mà a = 0 nên (C) cá dạng by(x + ) + cy
2
+ f’ = 0
Đi qua điểm (2,1) => 4b + 2e + c + f’ = 0
Đi qua điểm (-1;-2) => 4b – 4e + 4c + f’ = 0
Đi qua điểm => - 4b – 8e + c + f’ = 0 ta chọn f’ = 1 ta được b = , c = 17, e =
Vậy (C) có dạng
Câu 4 : Một đường cong bậc hai chỉ cắt mỗi trục tọa độ tại tại gốc O . ngoài ra nó đi qua hai điểm
(2;1) và (-2:2) . Lập phương trình đường cong đó
Giải:
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
Cắt Ox chỉ tại một điểm => y = 0 => ax
2
+ 2dx + f = 0 => a = 0 và d 0
Cắt Oy chỉ tại một điẻm => x = 0 => cy
2
+ 2ey + f = 0 => c = 0 và e 0
Vậy (C) 2bxy + 2dx + 2ey + f = 0
Mặt khác (C) đi qua các điểm (0;0) => f = 0
(2;-1) => - 4b + 4d – 2e = 0 (1)
(-2;2) => - 8b – 4d + 4e = 0 (2)
(1) + (2)  - 12 b + 2e = 0  e = 6b chọn b = 1 => e = 6 => d = 4

Vậy phương trình đường cong bậc hai (C) có dạng :
xy + 4x + 6y = 0
Câu 5 : Lập phương trình parabol tiếp xúc với trục Ox tại điểm (3;0) và trục tung tại điểm (0;5)
Giải:
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
,y
0
) có dạng
ax
0
x + b(yx
0
+ y
0
x) + cy
0
y +d(x
0
+ x) + e(y
0
+ y) + f = 0 (1)
(ax
0
+ by

0
+ d)x + (by
0
+ cy
0
+ e)y +dx
0
+ ey
0
+ f = 0
Tiếp xúc Ox : y = 0 tại điểm (3;0) => (3a + d) + (3b + e) y + 3d + f = 0
(2)
Tiếp xúc Oy : x = 0 tại điểm (0;5) => (5b + d) + (5c + e) y + 5e + f = 0
(3)
Mặt khác parabol không có tâm nên b
2
– ac = 0 (4)
Giải hệ (2),(3),(4) ta được d = -3a ,f = 9a,
Vậy ta có hai parabol
Câu 6 : Lập phương trình đường cong bậc hai đi qua gốc tọa độ tiếp xúc với đường thẳng 4x + 3y + 2
- 2 - VÕ VĂN TUẤN

= 0 tại điểm (1;2) và với đường thẳng x – y – 1 = 0 tại điểm (0;-1)
Giải:
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
Đi qua điểm (0,0) => f=0

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
,y
0
) có dạng
ax
0
x + b(yx
0
+ y
0
x) + cy
0
y +d(x
0
+ x) + e(y
0
+ y) = 0 (1)
(ax
0
+ by
0
+ d)x + (by
0
+ cy
0
+ e)y +dx
0
+ ey
0

= 0
Tiếp xúc 4x + 3y + 2 = 0 tại điểm (1;2) => (a – 2b + d)x + (b –c + e) y + d – 2e + f = 0
Tiếp xúc x - y -1 = 0 tại điểm (0;-1) => (-b + d)x + ( –c + e) y - e + f = 0
(C) đi qua ( 1,2) => a – 4b + 4c +2d – 4e + f = 0 (5)
(C) đi qua ( 0,-1) => c -2e +f = 0 (6)
Giải (1),(2),(3),(4),(5),(6) ta được + f = 0
Đi qua điểm (0,0) => f=0.
Đi qua điểm A( 0,1) => c + 2e = 0 => c = - 2e (1)
Đi qua điểm B( 1,0) => a + 2d = 0 => a = -2d (2)
Tâm C của đường cong bậc hai là nghiệm của hệ phương trình
(I) thế C(2,-3) (I)  thế (1),(2) vào (I) 

Câu 7 : Một đường cong bậc hai đi qua gốc tọa độ và các điểm A(0,1) ; B(1,0) . Ngoài ra biết tâm
C(2,-3) . Lập phương trình đường cong đó .
Giải :
Gọi phương trình (C) có dạng : ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey
Chọn e = 2 => d = -5 , c = -4 , a = 10 , b = 5
Vậy phương trình (C) có dạng : 10x
2
+ 10y - 4y
2
- 10x + 4y = 0  5x
2
+ 5xy - 4y
2
-5x + 5y = 0

Câu 8 : Một đường cong bậc hai đi điểm ( +1 , -1) và thừa nhận các đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0 và
5x + 3y – 8 = 0 làm tiệm cận . Lập phương trình đương cong đó .
Giải :
Đường cong bậc hai thừa nhận các đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0 và 5x + 3y – 8 = 0 làm tiệm cận
(2x + 3y – 5)(5x + 3y – 8) + k = 0 và đi qua điểm ( 1, -1) => k = - 36
Vậy phương trình (C) có dạng : (2x + 3y – 5)(5x + 3y – 8) – 36 = 0
Câu 9 : Lập phương trình đường cong tiếp xúc với đường thẳng 4x + y + 5 = 0 và thừa nhận các
đường thẳng x -1 =0 và 2x – y + 1 = 0

- 3 - VÕ VĂN TUẤN