PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
1

BÀI GIẢNG SỐ 4: PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua một điểm M cho trước và song song
với đường thẳng
D
.
Phương pháp:
· / /
d
d u u
D
D Þ =
uur uur

· Đường thẳng d : Qua M, có vectơ chỉ phương
d
u u
D
=
uur uur
.

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
d
, qua
(
)
1;2;3
M
và song song với đường
thẳng
D
đi qua 2 điểm
(
)
1;3;5
A
và
(2;1; 1)
B
-
.
Giải
Ta có:
(
)
(
)
1; 2; 6 1; 2; 6
d
AB u u
D

= - - Þ = - - =
uuur uur uur
. Đường thẳng
d
qua
(
)
1;2;3
M
, có VTCP
(
)
1; 2; 6
d
u
= - -
uur
nên d:
1 2 3
1 2 6
x y z
- - -
= =
- -
.
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có
(
)
(

)
(
)
1;0;2 , 1;2;3 , 4; 2;1
A B C- - . Viết phương trình chính tắc của d
trong các trường hợp sau:
1) Chứa cạnh AB cua tam giác ABC.
2) Qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với cạnh BC.
Đáp số : 1)
1 2
:
2 2 1
x y z
d
- -
= =
-
; 2)
4
2
3
: .
5 4 2
x
y z
d
-
-
= =
- -

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
2;1;3
A -
và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(
)
: 2 4 0
P x y z
+ + + =
và
(
)
:2 2 0
Q x y z
+ + + =
.
Đáp số :
2 1 3
:
1 1 3
x y z
d
+ - -
= =
-
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.

Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
2

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M cho trước và vuông góc
với mặt phẳng
(
)
P
cho trước.
Phương pháp:
· Vì
(
)
d P
^
nên chọn
d P
u n
=
uur uur
.
·
d
qua M , có vectơ chỉ phương
d P
u n

=
uur uur
.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có
(
)
(
)
(
)
1; 2;1 ; 4;0;2 ; 2; 1; 4
A B C
- - -
. Viết phương trình
d
đi qua gốc
tọa độ và vuông góc với mặt phẳng
(
)
ABC
.
Giải
Ta có :
(
)
3;2;1
AB =
uuur
;
(

)
1;1; 5
AC
= -
uuur
;
(
)
11;16;1
AB ACÙ = -
uuur uuur
. Chọn
(
)
11;16;1
n = -
r
là VTPT của
mặt phẳng
(
)
ABC
.
Vì
(
)
d ABC
^ nên
(
)

11;16;1
d
u n= = -
uur r
. Đường thẳng
d
qua điểm
(
)
0;0;0
O , có VTCP
(
)
11;16;1
d
u = -
uur
nên
:
11 16 1
x y z
d
= =
-
.
Bài tập: Cho
(
)
2;1;1
A

và mặt phẳng
(
)
:2 0
P x y z
+ - =
.
1) Viết phương trình d qua A và vuông góc với
(
)
.
P

2) Tìm tọa độ H là giao điểm của d và
(
)
P
. Tính khoảng cách từ A đến
(
)
P
.
Đáp số : 1)
2 1 1
:
2 1 1
x y z
d
- - -
= =

-
; 2)
6
.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
(
)
P
và
(
)
Q
.
Phương pháp:
· Tìm 1 điểm chung của
(
)
P
và
(
)
Q
.
·
d P Q
u n n
= Ù
uur uur uur
.
Biờn son: Nguyn ng Dng_GV chuyờn SP_GV trung tõm luyn thi VIP.

Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyn ng Dng.



Vit tng cỏc em hc sinh yờu quý ca tụi_Chỳc cỏc em hc tp tht tt!
3

Vớ d: Vit phng trỡnh d l giao tuyn ca hai mt
(
)
:2 3 8 0
P x y z
+ - - =
v
(
)
:3 4 3 11 0
Q x y z
+ - - =
.
Gii
Ta cú :
(
)
2;1; 3
P
n
= -
uur
;

(
)
3;4; 3
Q
n
= -
uur
;
(
)
9; 3;5
P Q
n n = -
uur uur
, chn
(
)
9; 3;5
d
u = -
uur
.
Cho
3
2 3 8
0
2
3 3 11
3
x

x y
y
x z
y
=
ỡ
- =
ỡ
ù
= ị
ớ ớ
- =
= -
ợ
ù
ợ
2
3;0;
3
A
ổ ử
ị -
ỗ ữ
ố ứ

d
ẻ
. ng thng d qua
2
3;0;

3
A
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
v
cú VTCP
(
)
9; 3;5
d
u = -
uur
nờn:
2
3
3
:
9 3 5
z
x y
d
+
-
= =
-
.
Bi tp: Vit phng trỡnh ng thng d l giao tuyn ca
(

)
P
v
(
)
Q
trong cỏc trng hp
sau:
1)
(
)
:3 2 11 0
P x y
- + =
v
(
)
:4 3 7 0
Q x z
- - =
.
2)
(
)
: 5 0
P x y
+ + =
v
(
)

:3 7 0
Q x y
+ + =
.
3)
(
)
: 2 0
P z
+ =
v
(
)
: 4 0
Q y
- =
.
ỏp s: 1)
11 2
3 3
:
7 4
3 3
x t
d y t
z t
ỡ
= - +
ù
ù

=
ớ
ù
-
ù
= +
ợ
; 2)
1
: 4
x
d y
z t
= -
ỡ
ù
= -
ớ
ù
=
ợ
; 3)
: 4
2
x t
d y
z
=
ỡ
ù

=
ớ
ù
= -
ợ
.
Bi toỏn 4: Phng trỡnh cỏc ng c bit trong tam giỏc.
4.1: Vit phng trỡnh ng thng cha trung tuyn AM ca tam giỏc ABC.
Phng phỏp:
ã Tỡm ta trung im M ca cnh BC.
ã Vit phng trỡnh qua 2 im A v M.
4.2: Vit phng trỡnh ng thng cha ng cao AH ca tam giỏc ABC.
Phng phỏp:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
4

· Tìm tọa độ điểm H dựa vào tính chất:
AH BC
BH kBC
ì
^
ï
í
=
ï

î
uuur uuur
uuur uuur

· Viết phương trình qua A và H.
Ví dụ : Cho tam giác ABC có
(
)
(
)
(
)
1;1;2 , 2;3;1 , 3; 1;4
A B C- -
. Viết phương trình các đường
thẳng chứa trung tuyến và đường cao vẽ từ B của tam giác.
Giải

ü Phương trình đường trung tuyến BM:
Gọi M là trung điểm của AC, suy ra
(
)
2;0;3
M
,
(
)
4; 3;1
BM = -
uuuur

. BM qua
(
)
2;3;1
B -
,
có VTCP
(
)
4; 3;1
u = -
r
. Vậy BM:
2 3 1
4 3 1
x y z
+ - -
= =
-
.
ü Phương trình đường cao BH:
Gọi
(
)
; ;
H x y z
là chân đường cao kẻ từ B của tam giac ABC.
Ta có:
(
)

(
)
2; 3; 1 ; 2; 2;2
BH x y z AC= + - - = -
uuur uuur
.Vì
. 0
BH AC BH AC
^ Û =
uuur uuur

4 0
x y z
Û - + + =
(1). Mặt khác H thuộc ÁC nên
AH
uuur
cùng phương với
AC
uuur

1 1 2
2 2 2
x y z
- - -
Û = =
-
2 0
1 0
x y

x z
+ - =
ì
Û
í
- + =
î

(
)
( )
2
3
. Giải hệ pt
(
)
(
)
(
)
(
)
1 ; 2 ; 3 1;3;0
HÛ -

(
)
1;0; 1
BH
= -

uuur
. BH qua
(
)
2;3;1
B - , có VTCP
(
)
1;0; 1
u
= -
r
2
: 3 ,
1
x t
BH y t R
z t
= - +
ì
ï
Þ = Î
í
ï
= -
î

Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có
(

)
(
)
(
)
11;4; 3 , 2;3;1 ; 4;4; 1
A B C
- -
. Viết phương trình đường trung
tuyến AM, đường cao AH.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
5

Đáp số:
11 16
: 4 ,
3 6
x t
AM y t t R
z t
= +
ì
ï
= + Î
í

ï
= - -
î
;
11 3
: 4 2 , .
3 2
x t
AH y t t R
z t
= +
ì
ï
= - Î
í
ï
= - +
î

Bài 2: Cho tam giác ABC có
(
)
(
)
1;3;4 , 2;2;0
A B , phương trình trung tuyến
1
: 3 ,
4
x t

AM y t R
z t
= +
ì
ï
= Î
í
ï
= -
î
. Viết phương trình cạnh BC, AC.
Đáp số:
2 2
:
3 2 3
x y z
BC
- -
= =
;
1 3 4
: .
4 1 1
x y z
AC
- - -
= =

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với
1 2

,
d d
(
1 2
,
d d
không
cùng phương).
Phương pháp:
· Vì
1 1
2
2
d d u u
d d
u u
ì
^ ^
ì
ï
Û
í í
^
^
î
ï
î
r ur
r uur
nên chọn

1 2
u u u
= Ù
r ur uur
là VTCP của d.
· d qua điểm A, có VTCP
u
r
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
(
)
1;1;3
A , vuông goác với hai đường thẳng
1
1 3 4
:
1 1 2
x y z
d
- - +
= =
-
và
2
1 12
: .
2 1 1
x y z
d

+ +
= =

Giải
Ta có :
(
)
(
)
1 2
1; 1;2 ; 2;1;1
u u= - =
ur uur
; Chọn
(
)
1 2
3;3;3
u u u= Ù = -
r ur uur
là VTCP của đường thẳng d. Mặt
khác d đi qua
(
)
1;1;3
A
nên d có phương trình là
1 1 3
:
1 1 1

x y z
d
- - -
= =
-
.
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
2; 1;1
A - và vuông góc với hai đường thẳng sau
1
1 2 2
:
1 1 2
x y z
d
- + -
= =
- -
và
2
2
: 3 2 , .
0
x t
d y t t R
z
= +
ì

ï
= - - Î
í
ï
=
î

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
6

Đáp số:
2 1 1
:
4 2 1
x y z
d
- + -
= =
.
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d

(
2
A d
Ï
).
Phương pháp:
· Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc vớ i
1
d
.
· Tìm giao điểm B của
2
d
với (P).
· Phương trình d là phương trình qua 2 điểm A và B.
Ví dụ: Viết phương trình d qua
(
)
1;1;1
A , vuông góc với
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
và cắt đường

thẳng
2
:
1 2 2
x y z
d
= =
.
Giải
ü Gọi (P) là mặt phẳng qua
(
)
1;1;1
A
vuông góc với
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
. Ta có :
(P) là mặt phẳng qua
(
)
1;1;1
A

có VTPT
(
)
1; 2;1
n = -
r
(
)
: 2 0
P x y z
Þ - + =
. Gọi
B là giao điểm của
2
d
với mặt phẳng
(
)
P
(
)
0;0;0
BÞ

ü
(
)
1; 1; 1
AB
= - - -

uuur
. Đường thẳng d qua
(
)
1;1;1
A có VTCP
(
)
1;1;1
u =
r
nên đường
thẳng d có phương trình
1 1 1
: .
1 1 1
x y z
d
- - -
= =

Bài tập: Viết phương trình d qua
(
)
1;2;3
A
, vuông góc với
1
2 2 3
:

2 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
và cắt
đường thẳng
2
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
- - +
= =
-
.
Đáp số:
1 2 3
: .
1 3 5
x y z
d
- - -
= =
- -

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt hai đường thẳng
1 2

;
d d

Phương pháp:
ü Gọi
1 2
;
M d N d
Î Î
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
7

ü Vì A, M, N thẳng hàng nên
AM k AN
=
uuuur uuur
từ đó suy ra toan độ M, N.
ü Phương trình d qua 2 điểm A,M hoặc A, N.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
1;1;1
A , cắt cả hai đường
1 2

;
d d
có phương trình
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
và
2
:
1 2 2
x y z
d
= =
.
Giải
ü Gọi
(
)
;1 2 ;1
M t t t
- +
và
(
)

;2 ;2
N u u u
thuộc
1 2
;
d d
. Ta có :
(
)
1; 2 ;
AM t t t
= - -
uuuur
;
(
)
1;2 1;2 1
AN u u u
= - - -
uuur
.
ü Vì A, M, N thẳng hàng nên
AM k AN
=
uuuur uuur
(
)
( )
( )
1 1

1
2 2 1 2
0
2 1
t k u
ku
t k u k
t
t k u
ì
- = -
=
ì
ï
ï
Û - = - Û =
í í
ï ï
=
= -
î
î

(
)
1;0;0
AMÞ = -
uuuur
. Suy ra d có phương trình
1

: 1 , .
1
x t
d y t R
z
= -
ì
ï
= Î
í
ï
=
î

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
1; 1;1
A - , cắt cả hai đường
1 2
;
d d
có phương
trình
1
1 2
: ,
3
x t
d y t t R

z t
= +
ì
ï
= Î
í
ï
= -
î
và
2
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ -
= =
-
.
Đáp số:
1 1 1
: .
6 1 7
x y z
d
- + -
= =
-

Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng d qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng
D
.
Phương pháp:
ü Gọi
M
Î D
AM
Þ
uuuur
.
ü Vì
. 0
AM AM u
D
^ D Û =
uuuur uur
M
Þ
.
ü Phương trình d qua hai điểm A và M.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
8

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua

(
)
4; 2;4
A - - , cắt và vuông góc với đường thẳng
3 2
: 1 , .
1 4
x t
y t t R
z t
= - +
ì
ï
D = - Î
í
ï
= - +
î

Giải
Gọi M thuộc
D

(
)
3 2 ;1 ; 1 4
M t t t
Þ - + - - +
(
)

(
)
1 2 ;3 ; 5 4 ; 2; 1;4
AM t t t u
D
Þ = + - - + = -
uuuur uur
.
Ta có :
(
)
. 0 1 3;2; 1
MA AM u t AM
D
^ D Û = Û = - Þ = -
uuuur uur uuuur
. Đường thẳng d qua
(
)
4; 2;4
A - -
, có
VTCP
(
)
3;2; 1
u
= -
r
. Vậy

4 2 4
: .
3 2 1
x y z
d
+ + -
= =
-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
4; 2;4
A - -
, cắt và vuông góc với đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
- +
D = =
-
.
Đáp số:
4 2 4
:
5 6 7
x y z
d
+ + -

= =
- -
.
Bài toán 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
.
Phương pháp:
ü Gọi A, B thuộc
1 2
;
d d
(theo 2 tham số khác nhau).
ü Ta có:
1 1
2
2
. 0
. 0
AB d ABu
AB d
AB u
ì
^ =
ì
ï
Û
í í
^

=
î
ï
î
uuur ur
uuur uur
, từ đó tìm được A, B.
ü Phương trình d là phương trình AB.
Ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:
1
3 1 4
:
1 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
;
2
2 4 3
:
2 1 4
x y z
d
- - +

= =
-
.
Giải
Gọi
(
)
3 ; 1 ;4
A t t t
+ - - +
;
(
)
2 2 ;4 ; 3 4
B u u u
+ - - + Î
1 2
;
d d
,
(
)
1 2 ;5 ; 7 4
AB u t u t u t
= - + - - + - + -
uuur

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.

Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
9

Ta có:
(
)
( )
1 1
2
2
1;1;2
. 0
7 3 13 1
21 7 35 2
4;3;1
. 0
A
AB d AB u
u t u
AB d u t t
B
AB u
ì
ì
^ =
- = =
ì
ì ì

ï ï
Û Û Û Û
í í í í í
^ - = = -
=
î î
î
ï
ï
î
î
uuur ur
uuur uur

Đường thẳng d qua
(
)
1;1;2
A , có VTCP
(
)
3;2; 1
u
= -
r
. Vậy
1 1 2
:
3 2 1
x y z

d
- - -
= =
-
.
Bài tập: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:
1
1 1 2
:
2 3 1
x y z
d
+ - -
= =
;
2
2 2
:
1 5 2
x y z
d
- +
= =
-
.
Đáp số:

17 7 24
13 13 13
: .
11 5 7
x y z
d
+ - -
= =
- -

Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng d song song với
D
và cắt cả hai đường
1 2
;
d d
.
Phương pháp:
ü Gọi M, N thuộc
1 2
;
d d

.
MN
Þ
uuuur

ü Vì / /
MN MN ku

D
D Þ =
uuuur uur
.
ü Phương trình d qua M hoặc N có VTCP
u
D
uur
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d song song với
4 5 2
:
3 4 1
x y z
+ - +
D = =
-
và cắt cả hai
đường
1
1 1 2
:
3 1 2
x y z
d
- + -
= =
;
2
2 3

: .
2 4 1
x y z
d
+ -
= =

Giải
Gọi
(
)
(
)
1 3 ; 1 ;2 2 ; 2 2 ;3 4 ;
M t t t N u u u
+ - + + - + + thuộc hai đường thẳng
1 2
;
d d
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
10

(
)

2 3 3;4 4; 2 2
MN u t u t u t
= - - - + - -
uuuur
và
(
)
3; 4;1
u
D
= -
uur
. Vì MN song song với
D
nên ta có:
( )
4
2 3 3 3
3
4 4 4 1 0; 1; 1
2 2 1
3
t
u t k
MN ku u t k u N
u t k
k
D
ì
= -

ï
- - =
ì
ï
ï
= Û - + = - Û = - Þ - -
í í
ï ï
- - =
î
ï
= -
î
uuuur uur
. Đường thẳng d qua
(
)
0; 1; 1
N
- -
,
có VTCP
(3; 4;1)
u = -
r
. Phương trình đường thẳng d:
1 1
3 4 1
x y z
+ +

= =
-
.
Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d song song với
1 5
:
3 1 1
x y z
- -
D = =
-
và cắt cả hai
đường
1
1 2 2
:
3 4 3
x y z
d
- + -
= =
;
2
4 7
: .
5 9 1
x y z
d
+ +
= =

Đáp số:
99 142 58
47 47 47
: .
3 1 1
x y z
d
- - -
= =
-

Bài toán 11: Viết phương trình d nằm trong (P) cắt cả hai đường thẳng
1 2
;
d d
.
Phương pháp:
ü Xác định
(
)
(
)
1 2
;
A d P B d P
= Ç = Ç
.
ü Phương trinh AB chính là phương trình d.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(
)
:2 4 0
P x y z
+ + - =
và cắt cả
hai đường
1
3 2 6
:
2 1 5
x y z
d
- - -
= =
và
2
6 1
:
3 2 1
x y z
d
- -
= =
.
Giải
Gọi
(
)
(

)
1 2
3 2 ;2 ;6 5 ; 6 3 ;2 ;1
A t t t d B u u u d
+ + + Î + + Î
. Vì A và B cùng thuộc (P) nên ta có:
(
)
(
)
( )
( )
1;1;1
2 3 2 2 6 5 4 0
1
2; 3;1
1
3; 2;0
2(6 3 ) 2 1 4 0
A
t t t
t
AB
u
B
u u u
ì
ì
+ + + + + - =
= -

ì
ï ï
Û Û Þ = -
í í í
= -
-
+ + + + - =
ï
î
ï
î
î
uuur
. Đường thẳng d qua
(
)
1;1;1
A
và có VTCP
(
)
2; 3;1
u = -
r
. Vậy
1 1 1
: .
2 3 1
x y z
d

- - -
= =
- -

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
11

Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(
)
: 2 0
P y z
+ =
và cắt cả hai
đường
1
1
:
4
x t
d y t
z
= -
ì
ï

=
í
ï
=
î
và
2
2
: 4 2
1
x u
d y u
z
= -
ì
ï
= +
í
ï
=
î
.
Đáp số:
1
: .
4 2 1
x y z
d
-
= =

-

Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc
với đường thẳng
D
.
Phương pháp:
ü Ta có:
(
)
P
u n
d P
d
u u
D
ì
ì
^
Ì
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^
ï
î
î
r uur
r uur

Chọn
P
u n u
D
= Ù
r uur uur
.
ü Gọi
(
)
.
M d M P
= ÇD Þ = D Ç

ü Viết phương trình d qua M có VTCP
u
r
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(
)
: 1 0
P x y z
+ - - =
cắt và
vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2
x y z

- - -
D = =
.
Giải
Ta có:
(
)
1;1; 1
P
n
= -
uur
;
(1;2;2)
u
D
=
uur
vì
(
)
P
u n
d P
d
u u
D
ì
ì
^

Ì
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^
ï
î
î
r uur
r uur
Chọn
(
)
4; 3;1
P
u n u
D
= Ù = -
r uur uur
. Gọi M
là giao điểm của
d
với
(
)
P
tọa độ M là nghiệm của hệ:
( )
1

0
1 2
1;1;1
1 2
1 0
x t
t
y t
M
z t
x y z
= +
ì
ï
=
ì
= +
ï ï
Û
í í
= +
ï
î
ï
ï
+ - - =
î

Đường thẳng d qua
(

)
1;1;1
M
, có VTCP
(
)
4; 3;1
u = -
r
. Vậy
1 1 1
: .
4 3 1
x y z
d
- - -
= =
-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(
)
:2 2 9 0
P x y z
+ - + =
cắt và
vuông góc với
1 3 3
:
1 2 1

x y z
- + -
D = =
-
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
12

Đáp số:
: 1 , .
4
x t
d y t R
z t
=
ì
ï
= - Î
í
ï
= +
î

Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , song song với mặt phẳng (P)
và vuông góc với đường thẳng

.
D

Phương pháp:
ü Ta có:
( )
/ /
P
u nd P
d
u u
D
ì
ì
^
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^
ï
î
î
r uur
r uur
Chọn
P
u n u
D
= Ù

r uur uur
.
ü Đường thẳng d qua A có VTCP
P
u n u
D
= Ù
r uur uur
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(
)
1;1;5
A , song song với mặt phẳng
(
)
: 1 0
P x y z
+ - - =
và vuông góc với đường thẳng
1 1 1
:
1 2 2
x y z
- - -
D = =
.
Giải
Ta có:
(

)
1;1; 1
P
n
= -
uur
;
(1;2;2)
u
D
=
uur
vì:
(
)
P
u n
d P
d
u u
D
ì
ì
^
Ì
ï ï
Þ Þ
í í
^ D
ï ^

ï
î
î
r uur
r uur
Chọ
(
)
4; 3;1
P
u n u
D
= Ù = -
r uur uur
.Đường
thẳng d qua
(
)
1;1;5
A
, có VTCP
(
)
4; 3;1
P
u n u
D
= Ù = -
r uur uur
. Vậy

1 1 5
: .
4 3 1
x y z
d
- - -
= =
-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(
)
1;1; 2
A
-
, song song với mặt phẳng
(
)
: 1 0
P x y z
- - - =
và vuông góc với đường thẳng
1 1 2
:
2 5 3
x y z
- - +
D = =
-
.

Bài toán 14: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(
)
P
và cắt hai
đường
1 2
;
d d
chéo nhau.
Phương pháp:
ü Giả sử
1 2
;
A d d B d d AB
= Ç = Ç Þ
uuur
.
ü Vì
(
)
,
P
AB P AB kn A B
^ Þ = Þ
uuur uur

ü Phương trình d qua A hoặc B có
1
d d

Ç
có VTCP
.
P
u n
=
r uur

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
13

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(
)
:7 4 0
P x y z
+ - =
và cắt cả
hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d

- +
= =
-
và
2
1 2
: 1 , .
3
x t
d y t t R
z
= - +
ì
ï
= + Î
í
ï
=
î

Giải
Giả sử:
(
)
(
)
1 2
; 2 ;1 ; 2 ; 1 2 ;1 ;3
A d d B d d A u u u B t t
= Ç = Ç Þ - - + - + +

. Ta có :
(
)
2 2 1; ;5
AB t u t u u
= - - + -
uuur
; VTPT của (P):
(7;1; 4)
P
n
= -
uur
vì
(
)
AB P
^ nên
AB
uuur
cùng phương
với
P
n
uur
2 2 1 5
2; 1
7 1 4
t u t u u
t u

- - + -
Û = = Û = - =
-
(
)
(
)
2;0; 1 ; 5; 1;3
A BÞ - - - . Vậy đường thẳng
d có phương trình là
2 1
:
7 1 4
x y z
d
- +
= =
-
.
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(
)
:3 1 0
P x y z
- + - =
và cắt
cả hai đường thẳng
1
1 1
:

1 2 1
x y z
d
- -
= =
-
và
2
:
1 2 2
x y z
d
= =
.
Đáp số:
7
3
13
14
: , .
13
14
13
x t
d y t t R
z t
ì
= +
ï
ï

ï
= - Î
í
ï
ï
= +
ï
î

Bài toán 15: Viết phương trình đường đường thẳng d qua điểm A, song song với mặt phẳng
(
)
P
và cắt đường thẳng
D
.
Phương pháp:
ü Viết phương trình mặt phẳng
(
)
Q
qua A song song với
(
)
P
.
ü Gọi
(
)
B Q

= D Ç
.
ü Phương trình d là phương trình
AB
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
3;2; 4
A
-
song song với mặt phẳng
(
)
:3 2 3 7
P x y z
- - -
và cắt
2 4 1
:
3 2 2
x y z
- + -
D = =
-
.
Biờn son: Nguyn ng Dng_GV chuyờn SP_GV trung tõm luyn thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyn ng Dng.

Vit tng cỏc em hc sinh yờu quý ca tụi_Chỳc cỏc em hc tp tht tt!
14

Gii
Mt phng
(
)
Q
qua A song song vi
(
)
P
ị

(
)
3; 2; 3
Q
n
= - -
uur
l VTPT ca
(
)
Q
ị
phng trỡnh
(
)

:3 2 3 17 0
Q x y z
- - - =
.
Gi
B
ẻD
ị
(
)
2 3 ; 4 2 ;1 2
B t t t
+ - - + , m
(
)
(
)
( ) 3 2 3 2 4 2 3(1 2 ) 17 0
B Q t t t
ẻ ị + - - - - + - =

6
7
t
=
32 40 19
; ;
7 7 7
B
-

ổ ử

ỗ ữ
ố ứ
. Vy phng trỡnh
3 2 2
:
11 54 47
x y z
d
- - +
= =
-
.
Bi tp: Vit phng trỡnh ng thng d qua
(
)
0;0;0
O
song song vi mt phng
(
)
: 4 5 1 0
P x y z
- + - =
v ct
1 2
:
2 1 3
x y z

- +
D = =
.
ỏp s:
:
28 27 16
x y z
d = =
.
Bi toỏn 16: Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng d l hỡnh chiu
vuụng gúc ca
D
lờn mt phng (P) (
d
khụng vuụng gúc vi
(
)
P
).
Phng phỏp:
ã Nu
(
)
/ /
P
D
thỡ:
ỹ Chn im M thuc
D
. Tỡm ta H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn

(
)
.
P

ỹ d qua H v cú VTCP l
u
D
uur
.
ã Nu d ct
(
)
P
thỡ:
ỹ Vit phng trỡnh mt phng
(
)
Q
cha
D
v vuụng gúc vi
(
)
.
P

ỹ ng thng d l giao tuyn ca hai mt phng
(
)

Q
v
(
)
.
P

Vớ d: Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
2 1 2
:
2 2 1
x y z
- + -
D = =
lờn mt phng
(
)
: 3 4 0
P x y z
- + - =
.
Gii
Nhn xột :
D
ct
(
)
P
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.

Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
15

Gọi
(
)
Q
là mặt phẳng chứa
D
và vuông góc với mặt phẳng (P).
(
)
Q
qua M
(
)
2; 1;2
- có VTPT
(
)
5;1;8
n = -
r
(
)
: 5 8 5

Q x y z
Þ - + + -
.
d là giao tuyến của
(
)
(
)
;
P Q
5 8 5 0
:
3 4 0
x y z
d
x y z
- + + - =
ì
Þ
í
- + - =
î
hay
4 1 3
: .
25 13 14
x y z
d
- - -
= =

Bài tập: Cho đường thẳng
8 3
:
1 1 3
x y z
d
+ -
= =
-
và mặt phẳng
(
)
P
đi qua 3 điểm
(
)
7;0;0
A ,
(
)
0;7;0
B ,
(0;0;7)
C
. Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên
(
)
P
.

Đáp số:
4
: 4 8 , .
7 8
x
d y t t R
z t
=
ì
ï
= - + Î
í
ï
= -
î

Bài toán 17: Viết phương trình hình chiếu song song của
1
d
lên mặt phẳng (P) theo phương
chiếu
2
d
(
1 2
d d
¹
).
Phương pháp:
ü Gọi (Q) là mặt phẳng:

(
)
( )
2
1 2
1
/ /
Q
Q d
n u u
Q d
ì
ï
Þ = Ù
í
É
ï
î
uur ur uur
.
ü Phương trình d là giao tuyến của
(
)
P
và
(
)
Q
.
Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu song song của

1
1
:
1 2 1
x y z
d
-
= =
lên mặt phẳng
(
)
: 2 2 1 0
P x y z
- - - =
theo phương chiếu
2
1 2
: .
2 2 1
x y z
d
- -
= =

Giải
Gọi (Q) là mặt phẳng:
(
)
( )
2

1 2
1
/ /
(0;1;2)
Q
Q d
n u u
Q d
ì
ï
Þ = Ù =
í
É
ï
î
uur ur uur
(
)
: 2 1 0
Q y z
Þ - - =
.
d là giao tuyến của
(
)
P
và
(
)
Q

2 2 1 0
:
2 1 0
x y z
d
y z
- - - =
ì
Þ
í
- - =
î
hay
3 1
: .
6 2 1
x y z
d
- -
= =

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
16

Bài tập: Viết phương trình hình chiếu song song của

1
1 3 3
:
2 1 2
x y z
d
- + -
= =
lên mặt phẳng
(
)
: 3 8 0
P x y z
- - + =
theo phương chiếu
2
1 3 1
: .
2 2 1
x y z
d
+ - -
= =

Đáp số:
25 27
7 7
:
4 1 7
x y

z
d
- -
= =
-
.
Bài toán 18: Viết phương trình đường thẳng d sử dụng công thức về góc.
Phương pháp:
Gọi
a
là góc của
d
và
D
ta có
.
os
.
d
d
u u
c
u u
a
D
D
=
uur uur
uur uur
.

Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d qua
(
)
1;1;2
A và vuông góc với
1 2
:
2 1 2
x y z
- -
D = =
và
tạo với trục Oz 1 góc
a
sao cho:
1)
45 ;
a
=
o

2)
a
nhỏ nhất.
Giải
Giả sử:
(
)
; ;
d

u a b c
=
uur
với
2 2 2
0
a b c
+ + >
là VTCP của d. Vì d
^ D
nên
. 0
d
u u
D
= Û
uur uur
2 2 .
b a c
= - -
Ta có
·
2 2 2 2 2
os( , ) os .
5 8 5
c c
C d Oz C
a b c a ac c
a
= = =

+ + + +

1)
2 2
2 2
1
45 5 8 3 0
5 3
2
5 8 5
a c
c
a ac c
a c
a ac c
a
= -
é
= Û = Û + + = Û
ê
= -
+ +
ë
o
.
Với
a c
= -
. Chọn
1 1; 0

c a b
= Þ = - =
1
: 1 , .
2
x t
d y t R
z t
= -
ì
ï
Þ = Î
í
ï
= +
î

Với
5 3
a c
= -
. Chọn
1 3
5 3; 4 : 1 4 , .
2 5
x t
c a b d y t t R
z t
= -
ì

ï
= Þ = - = - Þ = - Î
í
ï
= +
î

Biờn son: Nguyn ng Dng_GV chuyờn SP_GV trung tõm luyn thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyn ng Dng.



Vit tng cỏc em hc sinh yờu quý ca tụi_Chỳc cỏc em hc tp tht tt!
17

2) Ta cú :
2
2
2 2
os
5 8 5
c
C
a ac c
a
=
+ +

Vi
0 os 90

c C
a
= ị =
o

Vi
0
c
ạ
, t
a
t
c
=
ta cú
2
2
2
1 1 5
Cos
5 8 5 9
4 9
5
5 5
t t
t
a
= = Ê
+ +
ổ ử

+ +
ỗ ữ
ố ứ
. Vi
0 90
a
Ê Ê
o o
thỡ
a
nh
nht khi
os
C
a
ln nht
2
os
C
a

ln nht
4 4
5 5
a
t
c
-
= = -
. Chn

5
c
=
4; 2.
a b
ị = - = -

Phng trỡnh
1 1 2
:
4 2 5
x y z
d
- - -
= =
- -
.
Bi tp:
Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng d qua
(
)
1;2;3
A v to vi cỏc trc Ox, Oy cỏc gúc ln
lt l
60
o
v
45
o
.

ỏp s:
1
: 2 2 , .
3
x t
d y t t R
z t
= +
ỡ
ù
= ẻ
ớ
ù
=
ợ

Bi 2: Cho ng thng
2
:
1 2 2
x y z
-
D = =
v mt phng
(
)
: 5 0
P x y z
- + - =
. Vit phng

trỡnh ng thng d qua
(
)
3; 1;1
A - vuụng gúc vi
(
)
P
v to vi ng thng
D
mt gúc
45
o
.
ỏp s:
3
: 1
1
x t
d y t
z
= +
ỡ
ù
= - +
ớ
ù
=
ợ

hoc
3 7
: 1 8 , .
1 15
x t
d y t t R
z t
= +
ỡ
ù
= - - ẻ
ớ
ù
= -
ợ

Bi toỏn 19: Vit phng trỡnh ng thng s dng cụng thc v khong cỏch.
Phng phỏp: ng thng
D
qua im M, v cú VTCP l
u
r
khi ú khong cỏch t A n
D

l:
( )
;A
u AM
d

u
D

=
r uuuur
r
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
18

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d qua
(
)
1;0;1
A vuông góc với
1 1 1
:
1 2 1
x y z
- + -
D = =
-
,
đồng thời d cách gốc tọa độ một khoảng bằng
2.

Giải
Gọi
(
)
; ;
u a b c
=
r
với
2 2 2
0
a b c
+ + >
là VTCP của đường thẳng d. Vì
d
^ D
nên
. 0
d
u u
D
=
uur uur
2 0
a b c
Û + - =
Û
2
c a b

= +
. Ta có d qua
(
)
1;0;1
A
(
)
(
)
1;0;1 ; ;
d
OA OA u b a c b
Þ = Þ Ù = - -
uuur uuur uur

(
)
; 2 ;
b b b
= - -
( )
2 2
;
2 2 2 2 2
6 6
2
5 4 5
d
o d

d
OA u
b b
d
u
a b c a ab b
Ù
Þ = = = =
+ + + +
uuur uur
uur
( )
2
0
a b
Û + =
a b
Û = -
. Chọn
1 1; 1
a b c
= Þ = - = -
, đường thẳng
1 1
: .
1 1 1
x y z
d
- -
= =

- -

Bài tập:
Bài 1: Cho điểm
(
)
(
)
3;0;1 , 1; 1;3
A B- -
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 5 0
P x y z
- + - =
. Viết phương trình
đường thẳng d qua A song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d ngắn nhất.
Đáp số:
3 1
: .
26 11 2
x y z
d
+ -
= =
-

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
(

)
: 1 0
P x y z
+ - - =
, vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2
x y z
- - -
D = =
và cách giao điểm của
D
với
(
)
P
một khoảng là
78.

Đáp số:
3 6 8
:
4 3 1
x y z
d
- - -
= =
-
hoặc

1 4 6
:
4 3 1
x y z
d
+ + +
= =
-
.
Bài toán 20: Một số bài toán lập phương trình đường thẳng khác.
Ví dụ 1: Cho điểm
(
)
1;0;2
A -
, đường thẳng
3 2 6
:
2 4 1
x y z
- - -
D = =
và mặt phẳng
(
)
:2 3 0
P x y z
- - + =
. Viết phương trình d qua điểm A, cắt d tại B và cắt
(

)
P
tại C sao cho:
2 0.
AC AB
+ =
uuur uuur r

Giải
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
19

Gọi
(
)
(
)
5;6;7
M P M= D Ç Þ . Dựng đường thẳng
1
D
qua A và song song với
D
, suy ra
1

1 2
:
2 4 1
x y z
+ -
D = =
. Gọi N là giao điểm của
1
D
với
(
)
P
, suy ra
(
)
3; 4;1
N - - . Gọi C là điểm
trên
(
)
P
sao cho
(
)
2 0 19; 24; 11
NC NM C+ = Û - - -
uuur uuuur r
. Đường thẳng d cần tìm qua 2 điểm C và
A có phương trình là

1 2
: .
18 24 13
x y z
d
+ -
= =

Ví dụ 2: Cho điểm
(
)
1;1;1
M , đường thẳng
2 1
:
1 1 1
x y z
- -
D = =
-
và mặt phẳng
(
)
P
có phương
trình
(
)
: 3 0
P x y z

+ - + =
. Gọi A là giao điểm của
D
và
(
)
P
. Viết phương trình chứa M, cắt
D

và
(
)
P
tương ứng tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại B.
Giải
Đường thẳng
D
có VTCP là
(
)
1; 1;1
u = -
r
, mặt phẳng (P) có VTPT là
(
)
1;1; 1
n
= -

r
. Gọi H là hình
Chiếu của B trên (P) , khi đó
·
(
)
1
os os ,
3
C ABH C u n
= =
r r
. Do tam giác ABC cân tại B nên ta có:
·
·
ABH CBH
=
Þ
·
1
os
3
C CBH
=
hay
(
)
1
os ,
3

C MB n
=
uuur r

(*)
. Vì
(
)
2;1 ;
B B t t t
ÎD Þ + -
(
)
1; ; 1
MB t t t
Þ = + - -
uuur
nên từ
(*)
có
5
6
t
=
(
)
6 11; 5; 1
MB
Þ = - -
uuur

. Vậy đường thẳng d có phương
Trình là
1 1 1
: .
11 5 1
x y z
d
- - -
= =
- -

Bài tập:
Bài 1: Cho hai đường thẳng
1
3 1
:
1 2 5
x y z
d
- -
= =
-
;
2
2 1 3
:
3 1 2
x y z
d
- - -

= =
-
. Và mặt phẳng
(
)
:2 7 0
P x y z
+ + - =
. Đường thẳng
d
cắt
1
d
và
2
d
tại A và B, đồng thời khoảng cách từ d đến
mặt phẳng
(
)
P
bằng
6
. Viết phương trình đường thẳng d, biết rằng điểm A có hoành độ
dương.
Hướng dẫn: Chú ý rằng
(
)
/ /
AB P

. Đáp số:
9 13 30
:
10 11 31
x y z
d
- - +
= =
- -
.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_GV chuyên SP_GV trung tâm luyện thi VIP.
Hotline:0979564602_0965522668 ; FB:facebook.com/Nguyễn Đăng Dũng.



Viết tặng các em học sinh yêu quý của tôi_Chúc các em học tập thật tốt!
20

Bài 2: Cho hai đường thẳng
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
- +
= =
;
2
1 2

:
1 2 1
x y z
d
- -
= =
. Và mặt phẳng
(
)
: 2 3 0
P x y z
+ - + =
. Viết phương trình đường thẳng d song song với
(
)
P
và cắt
1 2
;
d d
lần
lượt tại
,
A

B
sao cho
29.
AB =

Đáp số:
3 1
:
4 2 3
x y z
d
- -
= =
hoặc
1 2 1
:
4 4 3
x y z
d
+ + +
= =
.
Bài 3: Cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
x y z
- + +
D = =
-
và mặt phẳng
(
)
: 2 0
P x y z

+ + + =
. Viết
phương trình
d
nằm trong mặt phẳng
(
)
P
sao cho cho
d
vuông góc với
D
và khoẳng cách
giữa hai đường
d
và
D
bằng
2 21
3
.
Đáp số:
5 2 5
:
2 3 1
x y z
d
- + +
= =
-

hoặc
3 4 5
:
2 3 1
x y z
d
+ + -
= =
-
.