Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 17-04
Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng.
Bài 1: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có phương
trình: x+3y-3=0. Một đỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và đường chéo thứ 2 của hình thoi.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua
N sao cho khoảng cách từ M tới đó bằng 2.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 2
trục tọa độ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), đường trung
tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là:
2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x+3y+1=0
2x+3y+1=0 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M tạo với d một góc 45
0
………………….Hết………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 17-04
Bài 1: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có
phương trình: x+3y-3=0. Một đỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và đường chéo thứ
2 của hình thoi.
Giải:

Giả sử A(0;1) và tọa độ B là nghiệm của hệ PT:
3 3 0
(15; 4)
2 7 0
x y
B
x y
+ − =

⇒ −

+ − =

Gọi C(a;b) ta có tâm
1
( ; ) à ( 15; 5)
2 2
a b
O v D a b
+
− +
( )
( )
; 1
30; 9 ( 30) ( 1)( 9) 0(1)
à : 15 2( 5) 7 0 12 2 (2)
AC a b
BD a b a a b b
AC BD
M D BD a b a b


= −


⇒ = − + ⇒ − + − + =


⊥


∈ ⇒ − + + − = ⇒ = −
uuur
uuur
Thế (2) vào (1) ta có: b=-9 hay b=5

-9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13;10)
: ( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0
(2;4) (2; 1) : 2 ( 1) 0 2 1 0
( 13;9) (9;13)
:9 13( 1) 0
:9( 2) 1
AB CD
AC
AD BC
b C D B loai C O D
Do n n CD x y hay x y
AC n AC x y x y
AD n n
AD x y
BC x

= ⇒ − ⇒ − ≡ ⇒ ⇒ ⇒ −
= ⇒ − + − = + − =
⇒ = − ⇒ − − = ⇒ − + =
= − ⇒ = =
+ − =
⇒
− +
r r
uuur r
uuur r r
:9 13 13 0
3( 5) 0 :9 13 83 0
AD x y
y BC x y
+ − =
 
⇒
 
− = + − =
 

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường
thẳng qua
N sao cho khoảng cách từ M tới đó bằng 2.
Giải:
• Xét trường hợp đường thẳng cần tìm song song với trục tung là:
( )
: 6 0 5 2( )x d M loai∆ − = ⇒ → ∆ = ≠
• Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng:
': ( 6) 2y k x

∆ = − +
Page 2 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( )
2
2 6
2 6 0 ' 2
1
0
2
':
20
20 21 162 0
21
kx y k
kx y k d M
k
k
y
x y
k
− + −
⇒ − + − = ⇒ → ∆ = =
+
=

=



⇒ ⇒ ∆


+ − =
= −


Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và
cắt 2
trục tọa độ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là:

( ) ( )
( )
2
2
2
2
1. : ;0 à 0;
3 1
1
3 1
( 3 1)
( ) ( 3 1) 3 1 3 3 3
3
0
: 1
3 3 1 3

x y
Voi A a v B b
a b
a b
OA OB a b a b a b
a b
a
b
Min OA OB a b b a
ab
x y
PT
+ =

+ =


⇒

 

+ = + ≥ + = + + ≥ +
 ÷

 


=

⇒ + = + ⇔ ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +



≥

⇒ + =
+ +
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), đường
trung
tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là:
2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Giải:
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua CD và AA’ cắt CD ở I ta có: A’ thuộc BC
Ta có:
AA'
(1; 1) AA': 1 ( 2) 0 1 0
CD
u n x y hay x y
= = − ⇒ − − − = − + =
r r

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

1 0
(0;1) '( 1;0). ( ; ). 1 0
1 0
x y
I A Goi C a b Do C CD a b
x y
− + =


⇒ ⇒ − ∈ ⇒ + − =

+ − =


Page 3 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Mà trung điểm M của AC có tọa độ là:

1 1 1 1
( ; ) 2. 1 0 2 6 0
2 2 2 2
a b a b
M BM a b
+ + + +
∈ ⇒ + + = ⇒ + + =

Tọa độ C là nghiệm của hệ PT:
1 0
( 7;8) ' ( 6;8) (4;3)
2 6 0
: 4( 1) 3 0 4 3 4 0
BC
a b
C A C n
a b
BC x y hay x y
+ − =


⇒ − ⇒ = − ⇒ =

+ + =

⇒ + + = + + =
uuuur r
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x+3y+1=0
2x+3y+1=0 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M tạo với d một góc
45
0
Giải:
Xét đường thẳng cần tìm song song với trục tung là:
2 1
: 1 0 (1;0) ( ; )
13 2
x n d d
∆
∆ − = ⇒ = ⇒ ∆ = ≠
r
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là:

( )
'
2
': 1 1 1 0 ( ; 1)
1
5 4 0
2 3
1

os( '; )
5
5 6 0
2
14. 1
5
y k x kx y k n k
x y
k
k
c d
x y
k
k
∆
∆ = − + ⇒ − + − = ⇒ = −

− + =
−
=


⇒ ∆ = = ⇔ ⇒


+ − =
+

= −


r
BTVN NGÀY 11-04
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và 2 đường thẳng
lần lượt chứa đường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính diện
tích tam giác ABC .
Giải:
Ta có:

(1; 3) : 3 1 0
CK AB
u n AB x y= = − ⇒ − − =
r r
Tọa độ B là nghiệm của hệ:

( )
3 1 0
( 5; 2)
2 1 0
à : 2;1 2( 1) 0 2 2 0
BH AC
x y
B
x y
V u n x y x y
− − =

⇒ − −

− + =


= = ⇒ − + = ⇒ + − =
r r
Page 4 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Và tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
( )
2 2
2 2 0
( 3;8) 4 8 4 5
3 1 0
14 1 1 14
. .4 5. 28
2 2
5 5
ABC
x y
C AC
y
d B AC BH S AC BH
∆
+ − =

⇒ − ⇒ = + =

+ + =

→ = = ⇒ = = =
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC =

90
0
. Biết M(1;-1) là trung điểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ
các đỉnh ABC.
Giải:
Gọi

( )
0 0
0 0
2
;
3
1
( ; ) ; 1 0;2
3
2
AG x y
A x y GM M
AG GM

 
= − −
 ÷

 


 
⇒ = − ⇒


 ÷
 


=


uuur
uuuur
uuur uuuur

( )
( )
( )
( ) ( )
; 2
2 ; 4
( ; ) (2 ; 2 )
2 2 ; 2 2
(1; 3)
(2 ) 2 4 0
0 (4;0); ( 2; 2)
ì :
2 ( 2; 2); (4;0)
2 2 3(2 2 ) 0
AB a b
AC a b
Goi B a b C a b
BC a b

AM
a a b b
AB AC b B C
V
AM BC b B C
a b

= −


= − − −

⇒ − − − ⇒

= − − −


= −


− + − − − =
⊥ = ⇒ − −
 

⇒ ⇒
 

⊥ = − ⇒ − −
− + + =


 

uuur
uuur
uuur
uuuur
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A. Có
trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình đường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương trình
đường thẳng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Giải:
Hoàng độ giao điểm B là nghiệm của hệ PT:
7 4 8 0
(0; 2)
2 4 0
x y
B
x y
− − =

⇒ −

− − =

Do C thuộc BC nên:
4 2(3 ) 4 0 2 6a b a b
− − − − = ⇔ − = −
Nhưng do tam giác ABC cân nên:
Page 5 of 7