Bai tap Phuong phap tinh ppsx

Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Phần I: tóm tắt lý thuyết
1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tơng đối.
1.1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tơng đối.
Xét đại lợng đúng A có giá trị gần đúng là a. Ta gọi
a A
là sai số tơng
đối của a. Thờng ta không biết số đúng A nên ta thờng tìm đại lợng
a

sao cho
a
a A
. Số
a

gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Tỉ số
a
a
a


=
gọi là sai số tơng đối giới hạn của a.
1.1.2 Cách viết số xấp xỉ
* Chữ số có nghĩa: Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó
kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải.
* Chữ số đáng tin: Cho
a R
, ta luôn biểu diễn số

a
dới dạng:
1 1
1 1
( 10 10 10 )
m m m n
m m m n
a

+
+
= + + + +
, trong đó
m
là số nguyên,
( )
0 9 1, 2, ,0 9
i m
i m m

= <
.
Chữ số
1m n

+
gọi là chữ số đáng tin nếu
1
1
.10

2
m n
a
+

và gọi là chữ số đáng
nghi nếu
1
1
.10
2
m n
a
+
>
* Cho a là giá trị xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là
a

. Ta có hai cách
viết số xấp xỉ a:
Cách 1: Viết số xấp xỉ a kèm theo sai số tuyệt đối giới hạn,
a
A a=
hoặc
(1 )
a
A a

=
.

Cách 2: Viết số xấp xỉ a theo quy ớc: mọi chữ số có nghĩa đồng thời là những
chữ số đáng tin. Điều đó có nghĩa là sai số tuyệt đối giới hạn
a

không lớn hơn
một nửa đơn vị của chữ số ở hàng cuối cùng bên phải. Chẳng hạn a=15,123 thì
3
(1/ 2).10
a


, trong tính toán ta có thể chọn
3
(1/ 2).10
a

=
.
1.1.3 Xác định sai số của hàm số biết sai số của các đối số
1
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Cho hàm số khả vi
1 2
( , , , )
n
u f x x x=
và giả sử biết sai số tuyệt đối giới
hạn của các
( 1, )
i

x i n=
tơng ứng là
( 1, )
i
x
i n =
. Khi đó ta có công thức tính sai
số tuyệt đối giới hạn
u

và sai số tơng đối giới hạn
u

của u là:
1
.
i
n
u x
i
i
u
x
=

=


;
u

u
u


=
* Trờng hợp
1 2

n
u x x x=
, ta có

1 2
1 2
;

n
n
u x x x
x x x
u
u
u u

= + + +
+ + +

= =
* Trờng hợp
1 2

.
n
u x x x=
, ta có
1 2
;
n
u x x x
u u
u


= + + +
=
Đặc biệt, nếu
(
m
u x m=
nguyên dơng) thì
.
u x
m

=
* Trờng hợp
1 2
1
.

k

k n
x x x
u
x x
+
=
, ta có
1 2
;
n
u x x x
u u
u


= + + +
=
1.2 Tính gần đúng nghiệm thực của một phơng trình
Cho phơng trình
( ) 0f x =
có nghiệm thực

phân ly trong khoảng
( , )a b
.
Xét một số phơng pháp tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
1.2.1 Phơng pháp chia đôi
Sơ đồ tóm tắt phơng pháp chia đôi
1) Cho phơng trình
( ) 0f x =

2) ấn định sai số cho phép

3) Xác định khoảng phân ly nghiệm
( , )a b
4)
2
Đ
S
Tính
( ). ( ) 0f c f a <
Thay Thay
Tính
e

<
Kết quả

Đ
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái

1.2.2 Phơng pháp lặp
Tóm tắt phơng pháp lặp
1) Cho phơng trình
( ) 0f x =
2) ấn định sai số cho phép

3) Xác định khoảng phân ly nghiệm
( , )a b
4) Tìm hàm hội tụ

5) Chọn xấp xỉ ban đầu
0
x
6) Tính
1
( ), 1,2,3,
n n
x x n


= =
cho tới khi
1n n
x x


<
thì dừng
7) Kết quả
n
x


với sai số
.
1
n
q
x
q

, trong đó
q
thoả mãn
'( ) 1, ( , )x q x a b

<
.
*) Chú ý: Trong thực tế ngời ta dừng quá trình tính khi
1n n
x x


<
1.2.3 Phơng pháp Niutơn (tiếp tuyến)
Sơ đồ tóm tắt phơng pháp tiếp tuyến
1) Cho phơng trình
( ) 0f x =
2) ấn định sai số cho phép

3) Xác định khoảng phân ly nghiệm
( , )a b
trong đó
' & "f f
không đổi dấu.
4) Chọn
0
x

3
S
§
S
§ S
NguyÔn Thanh B×nh – C§SP Yªn B¸i
5)
Sai sè
1
1
( )f x
x
m
α
− ≤
, trong ®ã
0 '( ) , ( , )m f x x a b< ≤ ∈
.
*) Chó ý: Trong thùc tÕ ngêi ta dõng qu¸ tr×nh tÝnh khi
1n n
x x
ε
−
− <
1.2.4 Ph¬ng ph¸p d©y cung
S¬ ®å tãm t¾t ph¬ng ph¸p d©y cung
1) Cho ph¬ng tr×nh
( ) 0f x =
2) Ên ®Þnh sai sè cho phÐp
ε

3) X¸c ®Þnh kho¶ng ph©n ly nghiÖm
( , )a b
4)
4
TÝnh
TÝnh
Thay
KÕt qu¶
e
ε
<
TÝnh
TÝnh
KÕt qu¶
e
ε
<
( ) ( ) 0
1
f x f a <
Thay Thay
S
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Sai số
1
1
'( )f x
x
m

<
, trong đó
0 '( ) , ( , )m f x x a b< <
.
1.3 Tính gần đúng nghiệm của một hệ đại số tuyến tính
Một hệ đại số tuyến tính có thể có m phơng trình n ẩn. ở đây ta chỉ xét những hệ
có n phơng trình n ẩn:

11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =


+ + + =




+ + + =

(*)
Để tính gần đúng nghiệm của hệ phơng trình (*) ta xét các phơng pháp sau:
1.3.1 Phơng pháp Gaoxơ
Phơng pháp Gaoxơ dùng cách khử dần các ẩn để đa hệ phơng trình đã cho về hệ
phơng trình có dạng tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ dới lên trên. Vì vậy
để hạn chế bớt sai số tính toán ta chọn trong các số
11 21 1
, , ,
n
a a a
số có giá trị
tuyệt đối lớn nhất làm trụ thứ nhất gọi là trụ tối đại thứ nhất để khử
1
x
. Khi khử
các
( 2, )
i
x i n=
ta cũng làm tơng tự.
Sơ đồ tóm tắt phơng pháp Gaoxơ
* Quá trình xuôi:
Với k lần lợt là 1, 2, , n-1 tìm r để
{ }
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1,
max , , ,
k k k k
rk kk k k nk

a a a a

+
=
Nếu
( 1)
0
k
rk
a

=
thì dừng quá trình tính và thông báo: hệ suy biến, nếu
( 1)
0
k
rk
a


thì đổi chỗ
( 1)k
kj
a

với
( 1)k
rj
a

,
, ,j k n=
;
( 1)k
k
b

với
( 1)k
r
b

Tính
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( ) ( 1)
( 1) ( 1)
;
k k
k k
ik kj
k k k k
ik k
ij ij i i
k k
kk kk
a a
a b
a a b b
a a

= =
1, 2, , ; 1, 2, ,i k k n j k k n= + + = + +
Sau quá trình xuôi ta đợc hệ tam giác trên
5
Đ
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
11 1 12 2 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
22 2 2 2
( 1) ( 1)



n n n n
n n
n n n
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b

+ + + =

+ + =




=

Hệ trên đợc viết gọn lại bằng cách bỏ các chỉ số trên ta đợc:
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2



n n
n n
nn n n
l x l x l x c
l x l x c
l x c
+ + + =


+ + =

=

Do đó ta có quá trình ngợc
* Quá trình ngợc:
Nếu
0
nn
l =
thì dừng quá trình tính và thông báo: hệ suy biến
Nếu
0
nn
l
thì tính

1 1 1 1 1
1 1 12 2 1 1 1 11
/ ; ( . ) / ; ;
( . )/
n n nn n n n n n n
n n
x c l x c l x l
x c l x l x l


= =
=
1.3.2 Phơng pháp lặp đơn
Sơ đồ tóm tắt phơng pháp lặp đơn
1) Cho hệ phơng trình tuyến tính Ax=b

2) ấn định sai số cho phép
, 0

>
3) Đa hệ Ax=b về hệ tơng đơng
x Bx g= +
sao cho điều kiện
1, 0,1
p
B p< =
4) Chọn
(0)
x
(tuỳ ý)
5) Tính
( 1) ( )
, 0,1,2,
m m
x Bx g m
+
= + =
cho tới khi
( ) ( 1)m m
p
x x


<
thì
dừng. Kết quả là

( )m
x

;
với sai số:
( )
.
1
p
m
p
p
B
x
B



1.4 Tính gần đúng tích phân xác định
6
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Xét tích phân xác định
( )
b
a
I f x dx=

. Nếu
( )f x
liên tục trên

[ ]
,a b
và có nguyên
hàm là F(x) thì công thức Niutơn Lépnit cho:
( ) ( ) ( )
b
a
I f x dx F b F a= =

Nhng nếu không tìm đợc nguyên hàm của
( )f x
ở dạng sơ cấp hoặc nguyên hàm
đó quá phức tạp thì tích phân I phải tính gần đúng. Sau đây là hai phơng pháp
tính gần đúng tích phân xác định:
1.4.1 Công thức hình thang
Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang
* Phơng án 1: Cho trớc số khoảng chia n
1) Xét tích phân
( )
b
a
I f x dx=

;
2) ấn định số khoảng chia n;
3) Chia
[ ]
,a b
thành n phần bằng nhau:
Tính:

;
b a
h
n

=
, 0,
( ), 0,
i
i i
x a ih i n
y f x i n
= + =
= =
4) Tính
0
1 1

2
n
T n
y y
I h y y

+

= + + +


5) Kết quả

T
I I;
với sai số
[ ]
2
( ), max ''( ) , ,
12
T
M
I I h b a M f x x a b =
* Phơng án 2: cho trớc sai số
1) ) Xét tích phân
( )
b
a
I f x dx=

;
2) ấn định sai số cho phép

3) Dùng công thức
[ ]
2
( ), max ''( ) , ,
12
T
M
I I h b a M f x x a b =
để
xác định số khoảng chia n sao cho thoả mãn sai số cho phép.

4) Tính nh 3) của phơng án 1
5) Tính
T
I
nh 4) ở phơng án 1
7
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
6) Kết quả
T
I I;
với sai số
T
I I

<
1.4.2 Công thức Simxơn
* Phơng án 1: cho trớc số khoảng chia 2n
1) Xét tích phân
( )
b
a
I f x dx=

2) ấn định số khoảng chia 2n
3) Chia
[ ]
,a b
thành 2n phần bằng nhau:
Tính:
;

2
b a
h
n

=
, 0,
( ), 0,
i
i i
x a ih i n
y f x i n
= + =
= =
4) Tính
[ ]
0 2 1 2 1 2 2 2
( ) 4( ) 2( )
3
S n n n
h
I y y y y y y

= + + + + + + +
5) Kết quả
T
I I;
với sai số
[ ]
4

(4)
( ), max ( ) , ,
180
S
h
I I M b a M f x x a b =
* Phơng án 2: cho trớc sai số
1) Xét tích phân
( )
b
a
I f x dx=

;
2) ấn định sai số cho phép

3) Dùng công thức
[ ]
4
(4)
( ), max ( ) , ,
180
S
h
I I M b a M f x x a b =
để xác định số khoảng chia 2n sao cho thoả mãn sai số cho phép.
4) Tính nh 3) của phơng án 1
5) Tính
S
I

nh 4) ở phơng án 1
6) Kết quả
S
I I;
với sai số
S
I I

<
1.5 Tính gần đúng nghiệm của bài toán Côsi đối với phơng trình vi phân th-
ờng.
* Phát biểu bài toán Côsi đối với một phơng trình vi phân cấp 1
Cho khoảng
[ ]
0
,x X
. Tìm hàm số
( )y y x=
xác định trên
[ ]
0
,x X
và thoả mãn
0
' ( , ),y f x y x x X=
,
0
( )y x

=

8
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Trong phần này ta sử dụng hai phơng pháp tính là ơle và phơng pháp Runge-
Kutta.
1.5.1 Phơng pháp ơle
Sơ đồ tóm tắt phơng pháp ơle
Cho bài toán
0
' ( , ),y f x y x x X=
0
( )y x

=
* Phơng án 1(không tính sai số)
1) ấn định số khoảng chia N
2) Tính
0
( )/h X x N=
3) Tính
0i
x x ih= +
4) Đặt
0
u

=
5) Tính
1
( , ), 0, 1
i i i i

u u hf x u i N
+
= + =
6) Kết quả đợc:
( ), 0,
i i
u y x i N=;
* Phơng án 2 (có tính sai số)
1) ấn định số khoảng chia N
2) Làm các bớc 2, 3, 4, 5 của phơng án 1
3) Đặt
( , )
i i
u x h u=
, thay
h
bởi
/ 2h
, làm lại bớc 2 đặt
( ; )
2
i i
h
u x u=
Kết quả đợc:
( ; ) ( )
2
i i
h
u x y x

với sai số
( , ) ( ) ( , ) ( , )
2 2
i i i i
h h
u x y x u x h u x
*) Nhận xét: u điểm của phơng pháp ơle là tính toán đơn giản. Nhợc điểm của
phơng pháp này là có độ chính xác thấp (độ chính xác cấp 1).
1.5.2 Phơng pháp Runge-kutta (R-K) cấp 4.
Phơng pháp Runge-kutta là phơng pháp có độ chính xác cao và cũng là phơng
pháp hiện nh ở phơng pháp ơle.
Phơng pháp này có công thức tính nh sau:
Đặt
0
u

=
Khi đã biết
i
u
thì tính
1i
u
+
nh sau:
9
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
1
2 1
3 2

4 3
1 1 2 3 4
( , )
( 0,5 , 0,5 )
( 0,5 , 0,5 )
( , )
1
( 2 2 )
6
i i
i i
i i
i i
i i
k hf x u
k hf x h u k
k hf x h u k
k hf x h u k
u u k k k k
+
=
= + +
= + +
= + +
= + + + +
Phần ii. Bài tập
3.1 Các dạng bài tập giải mẫu
3.1.1 Bài tập phần Sai số
Bài 1. Cho: a)
4

1,3241; 0,45.10
a
a

= =
b)
3
23,8541; 0,3.10
b
b


= =
Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong
,a b
.
Hớng dẫn:
a) Ta có
0 1 2 3 4
1.10 3.10 2.10 4.10 1.10a

= + + + +
Do
4 4
1
0,45.10 .10
2
a

=

, vậy trong
a
có 5 chữ số đáng tin.
b) Ta có
1 0 1 2 3 4
23,8541 2.10 3.10 8.10 5.10 4.10 1.10b

= = + + + + +
3 2
. 23,8541 0,3.10 0,715623.10
b b
b


= = ì =
Mà
2 2 2 1
1 1
0,715623.10 .10 ; 0,715623.10 .10
2 2
b b

= > =
, vậy trong
b
có
3 chữ số đáng tin là 2, 3, 8
Bài 2. Hãy tính hiệu của hai số xấp xỉ viết theo cách thứ hai:
1 2
5,125; 5,135x x= =

và xác định sai số tơng đối giới hạn của
1 2
;x x
và của
hiệu.
Hớng dẫn:
Ta có
2 1
5,135 5,125 0,01u x x= = =
10
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Chọn
1 2
3 3
1 1
.10 ; .10
2 2
x x

= =
. Khi đó ta có
1
1
3
4
1
1
.10
2
0,98.10

5,125
x
x
x




= =
;
2
2
3
4
2
1
.10
2
0,97.10
5,135
x
x
x




= =

Bài 3. Hãy tính tích

u
của hai số xấp xỉ viết theo cách thứ hai:
1 2
12,2; 73,56x x= =
và xác định số chữ số đáng tin của tích
u
.
Hớng dẫn: Ta có
u
=
1 2
. 12,2.73,56 897,432x x = =
;
Để xác định số chữ số đáng tin của
u
, ta cần phải tính
u

.
Ta có
1 2
1 2
3
1 1
.10 .10
2 2
4,2.10
12,2 73,56
u x x

= + = +
;

3
. 897,432 4,2.10 3,8
u u
u


= = ì
Mà
1 0
1 1
3,8 10 5; 3,8 10 0,5
2 2
u u
= ì = = > ì =
. Vậy trong
u
có hai chữ số
đáng tin là 8, 9.
Bài 4. Hãy tính thơng
1
2
x
u
x
=

của hai số xấp xỉ viết theo cách thứ hai:
1
5,735x =
;
2
1,23x =
và xác định sai số tơng đối giới hạn
u

, sai số tuyệt đối giới hạn
u

.
Hớng dẫn: Ta có
1
2
5,735
4,66
1, 23
x
u
x
= =
;
1 2
3 2
3
1 1
.10 .10
2 2

4,2.10
5,735 1, 23
u x x



= + = +
;
3
. 4,66 4,2.10 0,02
u u
u


= = ì
Bài 5. Cho hàm số
2
1 2
ln( )u x x= +
. Hãy xác định giá trị của hàm số
u
tại
1
0,97x =
,
2
1,132x =
, sai số tuyệt đối giới hạn
u

và xác định sai số tơng đối
giới hạn
u

, biết: mọi chữ số có nghĩa của
1 2
,x x
là những chữ số đáng tin.
Hớng dẫn:
Ta có
2
ln(0,97 1,132 ) 0,8116u = + =
; theo giả thiết ta chọn
1 2
2 3
0,5.10 ; 0,5.10
x x

= =
11
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Để xác định
u

, ta sử dụng công thức
1
.
i
n
u x

i
i
u
x
=

=


Ta có
1 2
2 3
3
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 0,5.10 2.1,132.0,5.10
. . 2,7.10
0,97 1,132 0,97 1,132
u x x
x
x x x x


= + = +
+ + + +
3
3
2,7.10
3,3.10

0,8116
u
u
u




= =
.
3.1.2 Bài tập phần tìm nghiệm gần đúng của một phơng trình
Bài 1. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
3
5 20 3 0x x + =
bằng phơng
pháp lặp với độ chính xác
4
10

, biết khoảng phân ly nghiệm là
(0, 1)
.
Hớng dẫn: Biến đổi phơng trình đã cho về phơng trình tơng đơng
( )x x

=
. Có
nhiều cách, chẳng hạn:
3 3
1

3 3
2
3 3
3
5 19 3, ( ) 5 19 3
(20 3)/ 5, ( ) (20 3) / 5
(5 3)/ 20, ( ) (5 3)/ 20
x x x x x x
x x x x
x x x x



= + = +
= =
= + = +
Ta biết rằng, phơng pháp lặp hội tụ khi
'( ) 1x q

<
trên
[ ]
0, 1
. Ta có
2
1
' ( ) 15 19 1x x

= >
trên

[ ]
0, 1
;
2
2
3
4
' ( )
20 3
3
5
x
x

=


ữ

không bé hơn 1
trên
[ ]
0, 1
;
2
3
' ( ) 3 / 4 1x x

= <
trên

[ ]
0, 1
. Nh vậy ta phải chọn
3
( ) (5 3)/ 20x x

= +
, với
2
'( ) 3 / 4 0,75 1x x

= <
trên
[ ]
0, 1
và ta có công
thức lặp sau:
( )
3
1
5 3 / 20
n n
x x

= +
(*)
Để tìm nghiệm gần đúng của phơng trình với độ chính xác
4
10

, ta phải dùng
đánh giá sai số của nghiệm là
4
1
10
1
n n n
q
x x x
q





, từ đây, ta suy ra
4 4
1
(1 ).10 (1 0,75).10
0,00003
0,75
n n
q
x x
q



= =
(**)

12
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Vậy ta thực hiện quá trình lặp bằng cách chọn giá trị
0
x
bất kỳ thuộc
[ ]
0, 1
,
chẳng hạn
0
0,75x =
. Sau đó tính
, 1, 2,3,
n
x n =
theo công thức (*), cho đến
khi điều kiện (**) đợc thoả mãn. Kết quả tính toán nh sau:
3
1 0
3
2 1
3
3 2
3
4 3
3
5 4
(5 3)/ 20 0,25547
(5 3)/ 20 0,15417

(5 3)/ 20 0,15092
(5 3)/ 20 0,15086
(5 3)/ 20 0,15086
x x
x x
x x
x x
x x
= + =
= + =
= + =
= + =
= + =
Vậy ta có thể dừng lại ở lần lặp thứ 5 và nghiệm gần đúng của phơng trình đã
cho với độ chính xác
4
10

là 0,1509.
Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
sin 0,25x x =
bằng phơng pháp
lặp với độ chính xác
3
10

, biết khoảng phân ly nghiệm là
(1, 2)
.
Hớng dẫn:

Chọn hàm lặp
( ) 0,25 sinx x

= +
, thoả mãn điều kiện hội tụ vì
[ ]
'( ) cos 0,75 1, 1, 2x x x

= <
Chọn
0
1x =
, tính
, 1,2,3,
n
x n =
theo công thức lặp
1
0,25 sin
n n
x x

= +
cho đến
khi
3 3
4
1
(1 ).10 (1 0,75).10
3,3.10

0,75
n n
q
x x
q




=
Kết quả tính nh sau:
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
0,25 sin 1,09147
0,25 sin 1,13731
0,25 sin 1,15751
0,25 sin 1,16581
0,25 sin 1,16911
x x
x x
x x
x x
x x
= + =
= + =
= + =
= + =

= + =
Vậy ta có thể dừng lại ở lần lặp thứ 5 và nghiệm gần đúng của phơng trình đã
cho với độ chính xác
3
10

là 1,17.
Bài 3. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
2 lg 0x x =
bằng phơng pháp
lặp với độ chính xác 0,001, biết khoảng phân ly nghiệm là
(1, 2)
.
Hớng dẫn:
Chọn hàm lặp
( ) 2 lgx x

=
, thoả mãn điều kiện hội tụ vì
13
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
[ ]
1
'( ) 0,75 1, 1, 2
.ln
x x
x x

= <
Chọn

0
1x =
, tính
, 1,2,3,
n
x n =
theo công thức lặp
1
2 lg
n n
x x

=
cho đến khi
3 3
4
1
(1 ).10 (1 0,75).10
3,3.10
0,75
n n
q
x x
q




=
Kết quả tính nh sau:

1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
2 lg 2
2 lg 1,6990
2 lg 1,7698
2 lg 1,7520
2 lg 1,7565
2 lg 1,7555
2 lg 1,7556
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
Vậy ta có thể dừng lại ở lần lặp thứ 7 và nghiệm gần đúng của phơng trình đã
cho với độ chính xác 0,001 là 1,17556.

Bài 4. Bằng phơng pháp Niutơn (tiếp tuyến) tìm nghiệm gần đúng của phơng
trình
4
2 4 0x x =
có độ chính xác đến 0,001, biết khoảng phân ly nghiệm là
( )
1; 1,7
.
Hớng dẫn:
Đặt
4
( ) 2 4f x x x=
, ta có
3 2
'( ) 4 3; ''( ) 12f x x f x x= =
Chọn
0
1,7x =
thoả mãn
(1,7) 0,952 0f = >
và
''(1,7) 0f >
áp dụng phơng pháp Niutơn lần 1, ta tìm đợc:
0
1 0
0
( ) 0,952
1,7 1,646
'( ) 17,652
f x

x x
f x
= = =
áp dụng phơng pháp Niutơn lần 2, ta tìm đợc:
1
2 1
1
( ) 0,048
1,646 1,643
'( ) 15,838
f x
x x
f x
= = =
Tiếp tục áp dụng phơng pháp Niutơn lần 3, ta đợc:
2
3 2
2
( ) 0,004
1,643 1,6427
'( ) 15,740
f x
x x
f x
= = =
Nhận thấy
4
3 2
3.10 0,001x x

<
Vậy nghiệm gần đúng của phơng trình với độ chính xác 0,001 là 1,6427
14
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Bài 5. Dùng phơng pháp Niutơn tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
2
1,8 sin10 0x x =
với sai số tuyệt đối không quá
5
10

, biết khoảng phân ly
nghiệm là
( )
0,1; 0,5
.
Hớng dẫn:
Đặt
2
( ) 1,8 sin10f x x x=
,
ta có
'( ) 3,6 10cos10 ; ''( ) 3,6 100sin10f x x x f x x= = +
Chọn
( )
0
0,3 0,1; 0,5x =
thoả mãn
(0,3) 0,0208 0f = >
và

''(0,3) 17,71 0f = >
áp dụng phơng pháp Niutơn lần 1, ta tìm đợc:
0
1 0
0
( ) 0,0208
0,3 0, 2981056
'( ) 10,9799
f x
x x
f x
= = =
áp dụng phơng pháp Niutơn lần 2, ta tìm đợc:
1
2 1
1
( ) 0,0001
0,2981056 0,2980961
'( ) 10,9456
f x
x x
f x
= = =
Nhận thấy,
6 5
2 1
9.10 10x x

<
Vậy nghiệm gần đúng của phơng trình với độ chính xác

5
10

là 0,2981
3.1.3 Bài tập phần tìm nghiệm gần đúng hệ phơng trình đại số tuyến tính
Bài 1. Dùng phơng pháp Gaoxơ giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
36,47 5,28 6,34 12,26 (1)
7,33 28,74 5,86 15,15 (2)
4,63 6,31 26,17 25,22 (3)
x x x
x x x
x x x
+ + =


+ + =


+ + =

tính tới bốn chữ số lẻ thập phân.
Hớng dẫn:
Để khử
1
x
, ta chọn
11

36,47a =
làm trụ tối đại. Chia phơng trình (1) cho
11
36,47a =
ta đợc:
1 2 3
0,1447 0,1738 0,3361 (*)x x x+ + =
Nhân phơng trình (*) với 7,33; 4,63 rồi lần lợt trừ kết quả vào phơng trình (2),
(3) ta thu đợc kết quả:
1 2 3
2 3
2 3
0,1447 0,1738 0,3361 (*)
27,6793 4,586 12,6864 (4)
5,64 25,3653 23,6639 (5)
x x x
x x
x x
+ + =


+ =


+ =

15
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Để khử
2

x
, ta chọn
22
27,6793a =
làm trụ tối đại. Chia phơng trình (4) cho
27,6793 ta đợc:
( )
2 3
0,1657 0,4583 **x x+ =
Nhân phơng trình (**) với 5,64 và trừ vào phơng trình (5) ta đợc kết quả:
1 2 3
2 3
3
0,1447 0,1738 0,3361 (*)
27,6793 4,586 12,6864 (4)
24,4308 21,0791 (6)
x x x
x x
x
+ + =


+ =


=

Giải ngợc các phơng trình trong hệ trên thu đợc nghiệm gần đúng của hệ phơng
trình đã cho là:
1

2
3
0,1405
0,3153
0,8628
x
x
x
=
=
=
Bài 2. Dùng phơng pháp Gaoxơ giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2,75 1,78 1,11 13,62 (1)
3,28 0,71 1,15 17,98 (2)
1,15 2,70 3,58 39,72 (3)
x x x
x x x
x x x
+ + =


+ + =


+ + =

tính tới ba chữ số lẻ thập phân.

Hớng dẫn: Để khử
1
x
ta chọn
21
3,28a =
làm trụ tối đại
Hệ phơng trình tơng đơng với
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3,28 0,71 1,15 17,98 (1)
2,75 1,78 1,11 13,62 (2)
1,15 2,70 3,58 39,72 (3)
0,216 0,351 5,482
2,75 1,78 1,11 13,62
1,15 2,70 3,58 39,72
0,216 0,351 5,482
0
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x

+ + =


+ + =


+ + =

+ + =


+ + =


+ + =

+ + =

2 3
2 3
1,186 0,145 1,455
0 2,452 3,176 33,416
x x
x x


=


=

Tiếp tục khử
2
x
, ta chọn
32
2,452a =
làm trụ tối đại
Hệ phơng trình tơng đơng với hệ
1 2 3
2 3
3
0,216 0,351 5,482
2,452 3,176 33,416
1,391 17,618
x x x
x x
x
+ + =


=


=

16
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Giải ngợc các phơng trình trong hệ trên thu đợc nghiệm gần đúng của hệ phơng
trình đã cho là:

1
2
3
1,635
2,774
12,666
x
x
x
=
=
=
Bài 3. Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp lặp đơn, tính lặp 4 lần và đánh
giá sai số:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 0,24 0,08 8
0,09 3 0,15 9
0,04 0,08 4 20
x x x
x x x
x x x
+ =


+ =


+ =

Hớng dẫn
Hệ phơng trình tơng đơng
1 2 3
2 1 3
3 1 2
0,06 0,02 2
0,03 0,05 3
0,01 0,02 5
x x x
x x x
x x x
x Bx g
= + +


= + +


= + +

= +
trong đó
1
2
3
0 0,06 0,02 2
, 0,03 0 0,05 , 3
0,01 0,02 0 5
x

x x B g
x



ữ
ữ ữ
= = =
ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ



Kiểm tra điều kiện hội tụ: Ta có
{ }
0
max 0,08; 0,08; 0,03 0,08 1B = = <
Suy ra phơng pháp lặp đơn
( ) ( 1)
.
m m
x B x g

= +
hội tụ với
(0)
x
chọn trớc bất kỳ.

Chọn
(0)
(0; 0; 0)x =
Quá trình lặp:
*)
(0) (0) (0)
1 2 3
0 0m x x x= = = =

(1) (0)
(1) (1) (1)
1 2 3
*) 1 .
0 0,06 0,02 0 2 2
0,03 0 0,05 . 0 3 3
0,01 0,02 0 0 5 5
2; 3; 5
m x B x g
x x x
= = +


ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ


= = =
17

Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
(2) (1)
*) 2 .
0 0,06 0,02 2 2 1,92
0,03 0 0,05 . 3 3 3,19
0,01 0,02 0 5 5 5,04
m x B x g= = +


ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ


(3) (2)
*) 3 .
0 0,06 0,02 1,92 2 1,9094
0,03 0 0,05 . 3,19 3 3,1944
0,01 0,02 0 5,04 5 5,0446
m x B x g= = +


ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ


(4) (3)

*) 4 .
0 0,06 0,02 1,9094 2 1,90923
0,03 0 0,05 . 3,1944 3 3,19495
0,01 0,02 0 5,0446 5 5,04485
m x B x g= = +


ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ


* Đánh giá sai số: Ta có
{ }
{ }
(4) (3) (4) (3)
0
max , 1, 2,3
max 0,00017; 0,00055; 0,00025 0,00055
i i
x x x x i = =
= =
Suy ra
(4)
0
0,08
.0,00055 0,00005
1 0,08
x

. Vậy nghiệm gần đúng của hệ là:
1
2
3
1,90923 0,00005
3,19495 0,00005
5,04485 0,00005
x
x
x
=
=
=
Bài 4. Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp lặp đơn, tính lặp 3 lần và đánh
giá sai số:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,02 0,05 0,10 0,795
0,11 1,03 0,05 0,849
0,11 0,12 1,04 1,398
x x x
x x x
x x x
=

+ =


+ =

Hớng dẫn:
Hệ phơng trình tơng đơng
1 2 3
2 1 3
3 1 2
0,05 0,098 0,779
0,11 0,049 0,824
0,11 0,115 1,344
x x x
x x x
x x x
= + +


= + +


= + +

Vậy hệ phơng trình viết lại dới dạng
.x B x g= +
, trong đó
18
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
1

2
3
0 0,05 0,098 0,779
; 0,11 0 0,049 ; 0,824
0,11 0,115 0 1,344
x
x x B g
x


ữ
ữ ữ
= = =
ữ
ữ ữ
ữ ữ
ữ


Kiểm tra điều kiện hội tụ:
{ }
0
max 0,148; 0,159; 0,225 0,225 1B = = <
Suy ra phơng pháp lặp đơn
( ) ( 1)
.
m m
x B x g

= +

hội tụ với
(0)
x
chọn trớc bất kỳ.
Chọn
(0)
(0; 0; 0)x =
Quá trình lặp:
*)
(0) (0) (0)
1 2 3
0 0m x x x= = = =

(1) (0)
(1) (1) (1)
1 2 3
*) 1 .
0 0,05 0,098 0 0,779 0,779
0,11 0 0,049 . 0 0,824 0,824
0,11 0,115 0 0 1,344 1,344
0,779; 0,824; 1,344
m x B x g
x x x
= = +

ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ

= = =
(2) (1)
*) 2 .
0 0,05 0,098 0,779 0,779 0,952
0,11 0 0,049 . 0,824 0,824 0,976
0,11 0,115 0 1,344 1,344 1,524
m x B x g= = +

ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ

(3) (2)
*) 3 .
0 0,05 0,098 0,952 0,779 0,977
0,11 0 0,049 . 0,976 0,824 1,003
0,11 0,115 0 1,524 1,344 1,561
m x B x g= = +

ữ ữ ữ ữ
= + =
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ

* Đánh giá sai số: Ta có
{ }
{ }
(3) (2) (3) (2)
0

max , 1, 2,3
max 0,025; 0,027; 0,037 0,037
i i
x x x x i = =
= =
Suy ra
(3)
0
0,225
.0,037 0,02
1 0,225
x



. Vậy nghiệm gần đúng của hệ là:
1
2
3
0,977 0,02
1,003 0,02
1,561 0,02
x
x
x
=
=
=
3.1.4 Bài tập phần tính gần đúng tích phân xác định
19

Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Bài 1. Tính gần đúng tích phân
1
2
0
1
dx
I
x
=
+

Hớng dẫn
Nhận xét: Giá trị đúng của tích phân này là
4

. Do đó, nếu biế số

ta có
0,7853 I =
Sau đây ta dùng công thức hình thang để tính:
Chia đoạn
[ ]
0; 1
thành n=10 đoạn con bằng nhau với h=0,1. Ta có bảng sau
x
2
1
( )
1

y f x
x
= =
+
0
0,0x =
0
1,0000000y =
1
0,1x =
1
0,9900990y =
2
0,2x =
2
0,9615385y =
3
0,3x =
3
0,9174312y =
4
0,4x =
4
0,8620690y =
5
0,5x =
5
0,8000000y =
6
0,6x =

6
0,7352941y =
7
0,7x =
7
0,6711409y =
8
0,8x =
8
0,6097561y =
9
0,9x =
9
0,5524862y =
10
1,0x =
10
0,5000000y =
áp dụng công thức
0
1 1

2
n
T n
y y
I h y y

+

= + + +


, ta đợc
0,7849815I
với sai
số 0,054%.
Bài 2. Dùng công thức hình thang tính gần đúng tích phân
2
1
I xdx=

, lấy n=10 và đánh giá sai số.
Hớng dẫn
Tính
2 1
0,1
10
h

= =
Lập bảng giá trị:
x
( )y f x x= =
0
1x =
0
1,000y =
1
1,1x =

1
1,049y =
20
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
2
1,2x =
2
1,095y =
3
1,3x =
3
1,140y =
4
1,4x =
4
1,183y =
5
1,5x =
5
1,225y =
6
1,6x =
6
1, 265y =
7
1,7x =
7
1,304y =
8
1,8x =

8
1,342y =
9
1,9x =
9
1,378y =
10
2,0x =
10
1,141y =
Vậy
2
1
1 1,141
0,1.( 1,049 1,095 1,140 1,183 1,225
2
1, 265 1,304 1,342 1,378) 1,218
I xdx
+
= + + + + + +
+ + + + =

Ta có
[ ]
3
1 1
''( ) ; ''( ) 1, 2
4
4
f x f x x

x

=
Vậy sai số là
0,1 1
. .1 0,002
12 4
n
R
, suy ra
1,218 0,002I =
Bài 3. Tính gần đúng ích phân
1
2
0
1I x dx= +

theo công thức Simsơn với độ
chính xác đến 0,001.
Hớng dẫn
Đặt
2
( ) 1f x x= +
, ta có
2 2 3 2 5
2
(4)
2 7
1 3
'( ) ; ''( ) ; '''( )

1 (1 ) (1 )
12 3
( )
(1 )
x x
f x f x f x
x x x
x
f x
x

= = =
+ + +

=
+
Suy ra
(4)
max ( )f x
trên
[ ]
0, 1
đạt đợc tại
0x =
,
(4)
(0) 3f
=
. Vậy
4

.1.3
180
n
h
R
, theo giả thiết
0,001
n
R
hay
4
4
0,001 0,06
60
h
h
Chọn
0,5h =
(suy ra,
4
0,0625,h =
điều này không ảnh hởng đến quá trình tính)
Ta chia đoạn
[ ]
0; 1
thành 2 phần là đủ:
0 1 2
0; 0,5 & 1x x x= = =
21
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái

0 0
1 1
2 2
0 1,0000
0,5 1,1180
1 1,4142
x y
x y
x y
= =
= =
= =
Vậy
( )
1
2
0
0,5
1 1,0000 4.1,1180 1,4142 1,1477
3
I x dx= + + + =

3.1.5 Bài tập tìm gần đúng nghiệm của phơng trình vi phân thờng
Bài 1. Sử dụng phơng pháp ơle, tìm các giá trị của hàm số
y
xác định bởi phơng
trình:

' ; (0) 1
y x

y y
y x

= =
+
, lấy h=0,1. Giới hạn tìm 4 giá trị đầu tiên của y .
Hớng dẫn
Ta có
0
0, 0,1x h= =
suy ra dãy các giá trị của đối số là:
0 1 2 3
0; 0,1; 0,2; 0,3; x x x x= = = =
chọn
0 0
( ) 1u y x= =
. Tính
, 1,4
i
u i =
theo
công thức
1
( , ), 0, 1
i i i i
u u hf x u i N
+
= + =
Ta có

1 0 0 0
2 1 1 1
3 2 2 2
4 3 3 3
1 0
. ( , ) 1 0,1. 1,1
1 0
1,1 0,1
. ( , ) 1,1 0,1. 1,183
1,1 0,1
1,183 0,2
. ( , ) 1,183 0,1. 1, 254
1,183 0,2
1, 254 0,3
. ( , ) 1,254 0,1. 1,315
1, 254 0,3
u u h f x u
u u h f x u
u u h f x u
u u h f x u

= + = + =
+

= + = + =
+

= + = + =
+

= + = + =
+
Nh vậy ta có bảng kết quả sau:
x
0 0,1 0,2 0,3 0,4
y
1 1,1 1,183 1,254 1,315

Bài 2. Cho bài toán Côsi:
1
' . , (0) 1
2
y x y y= =
. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng
phơng pháp ơle trên
[ ]
0; 1
, chọn bớc h=0,1 .
Hớng dẫn
22
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
Ta có
0,1 ; 0,1,2, ,10
i
x i i= ì =
Sử dụng công thức
1
( , ), 0, 1
i i i i
y y hf x y i N

+
= + =
, ta có bảng kết quả sau:
i
i
x
i
y
( , )
i i
f x y
. ( , )
i i
h f x y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0,2
0,3
0,4

0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1
1
1,005
1,0151
1,0303
1,0509
1,0772
1,1095
1,1483
1,1942
1,2479
0
0,05
0,1005
0,1523
0,2067
0,2627
0,3232
0,3883
0,4593
0,5374
0
0,005
0,0101

0,0152
0,0207
0,0263
0,0323
0,0388
0,0459
0,0537
Bài 3. Cho bài toán Côsi sau:
' , (0) 1y x y y= + =
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phơng pháp Runge-kutta trên
[ ]
0; 0,5
, chọn bớc
h=0,1.
Hớng dẫn
Ta có
0,1 ; 0,1,2, ,5
i
x i i= ì =
Trớc hết, ta tính
1
y
. Xuất phát từ điều kiện ban đầu
0
(0) 1y y= =
và dùng công
thức:
1
2 1
3 2

4 3
1 1 2 3 4
1 2 3 4
( , )
( 0,5 , 0,5 )
( 0,5 , 0,5 )
( , )
1
( 2 2 ) ;
6
1
( 2 2 )
6
i i
i i
i i
i i
i i i i
i
k hf x y
k hf x h y k
k hf x h y k
k hf x h y k
y y k k k k y y
y k k k k
+
=
= + +
= + +
= + +

= + + + + = +
= + + +
23
NguyÔn Thanh B×nh – C§SP Yªn B¸i
Víi
0i =
, ta cã
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
3
4
0,1(0 1) 0,1
0,1 (0 0,05) (1 0,05) 0,11
0,1 (0 0,05) (1 0,055) 0,1105
0,1 (0 0,1) (1 0,1105) 0,12105
k
k
k
k
= + =
= + + + =
= + + + =
= + + + =
Tõ ®ã
0
1
(0,1 2.0,1105 0,12105) 0,1103

6
y∆ = + + =
Vµ
1 0 0
1 0,1103 1,1103y y y= + ∆ = + =
. TÝnh c¸c
, 2,5
i
y i =
hoµn toµn t¬ng tù
nh tÝnh
1
y
. KÕt qu¶ ghi trong b¶ng sau:
i
x
y
0,1( )k x y= +
y∆
0
0
0,05
0,05
0,10
1
1,05
1,055
1,1105
0,1
0,11

0,1105
0,1210
0,1000
0,2200
0,2210
0,1210
1
.0,6620 0,1103
6
=
1
0,1
0,15
0,15
0,20
1,1103
1,1708
1,1763
1,249
0,1210
0,1321
1,3226
0,1443
0,1210
0,2642
0,2652
0,1443
1
.0,7947 0,1324
6

=
2
0,20
0,25
0,25
0,30
1,2427
1,3149
1,3209
1,3998
0,1443
0,1565
0,1571
0,1700
0,1443
0,3130
0,3142
0,1700
1
.0,9415 0,1569
6
=
3
0,30
0,35
0,35
0,40
1,3996
1,4846
1,4904

1,5836
0,1700
0,1835
0,1840
0,1984
0,1700
0,3670
0,3680
0,1984
1
.1,1034 0,1840
6
=
24
Nguyễn Thanh Bình CĐSP Yên Bái
4
0,40
0,45
0,45
0,50
1,5836
1,6828
1,6902
1,7976
0,1984
0,2133
0,2140
0,2298
0,1984
0,4266

0,4280
0,2298
1
.1,2828 0,2138
6
=
5
0,50
1,7974
Vậy
5
(0,5) 1,7974y y =
.
3.2 Bài tập tự giải
3.2.1 Sai số
Bài 1. Cho:
a)
3
0,5463; 0,412.10
a
a

= =
b)
3
0,11789; 0,78.10
b
b

= =

c)
3
51,11789; 0,31.10
c
c


= =
Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong
, ,a b c
.
Bài 2. Hãy xác định giá trị của hàm số dới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số
tơng đối ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều
đáng tin:
a)
2
; 0,55, 1,231
x y
u e x y
+
= = =
b)
2
; 3,28; 0,932; 1,132
x y
u x y z
z
+
= = = =
Bài 3. Hãy xác định sai số tơng đối giới hạn

a

, sai số tuyệt đối giới hạn
a

và
số chữ số đáng tin của cạnh
a
của hình vuông, biết diện tích hình vuông
2
16,45s cm=
với
0,01
s
=
Bài 4. Lấy
2,718a =
thay cho số
e
. Hãy xác định sai số tơng đối giới hạn
a

.
3.2.2 Tìm nghiệm gần đúng của một phơng trình
Bài 1. Dùng phơng pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác
3
10

của các
phơng trình sau:

a)
3 2
3 3 0x x+ =
, biết khoảng phân ly nghiệm là
( )
2,75; 2,5
.
b)
cos 0x x =
25