Đề tự ôn thi đại học môn toán số 2

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03

Thời gian: 120
phút
ĐỀ BÀI

Câu 1. (2.0 điểm)Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Câu 2. (2.0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

4 2 2
2 2
2 1 1 1
1 1 2
x x x
y
x x
− + + − −
=
+ − − +
Câu 3. (2.0 điểm)
Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9 ; c+2d=4. CMR:
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d− + − + + + + + − − + + − + + ≥
Câu 4. (2.0 điểm)Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3
-x
+ 3
-y

+ 3
-z
=1. CMR:

9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y
+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
Câu 5. (2.0 điểm)
Tìm Min của:
2 2 2
x y z
H
y z z x x y
= + +
+ + +
Trong đó:
2 2 2 2 2 2
, , 0
2010
x y z
x y y z z x
>




+ + + + + =


………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03

Câu 1. (2.0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện :
xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Giải:
Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz
1 1 1
2
x y z
⇒ + + ≥

Đặt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
, , 0
1 1 1
1 2 1 1

1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1
2
1 1 1
( 1)( 1)
1 1
2 ; 2
1 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1 1
8
1 1 1 1 1 1 8
1 1
1 1 1 ax
8 8
x a
a b c
y b
a b c
z c
a b c
b c bc
a b c
b c
ca ab
b c
c a a b

abc
abc
a b c a b c
x y z M A
− =

>

 
   
− = ⇒ ≥ ⇔ ≥ − + −
 
 ÷  ÷
+ + +
+ +
   
 
− =
+ + +


⇒ ≥ + ≥
+ + +
+ +
≥ ≥
+ +
+ + + +
⇒ ≥ ⇒ ≤
+ + + + + +
⇒ − − − ≤ ⇒ =

Câu 2. (2.0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

4 2 2
2 2
2 1 1 1
1 1 2
x x x
y
x x
− + + − −
=
+ − − +
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
Giải:
Đặt:

( )
[ ]
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
, 0
1

2
;
2
2
1
1 ( 1) 4
:
2
2
2;2
ax (0) 1
0
' 0
4
lim
4 2
3
2
t
a b
a x
ab a b
y
a b
a b
b x
t a b a b
Coi t a b
t t
y

t
t
M y y
t
y
y
t
y t
t
→−

>
= +

+ −

⇒ =
 
− +
+ =

= −



   
= − ≤ + − + =
   

= − ⇒


− +
=

+


∈ −
= =

=

 
⇒ ⇒ = ⇔ ⇒
 

= −∞
= − < −
= − + −




+

Vậy hàm số đạt Max=1 và không đạt Min.
Câu 3. (2.0 điểm)
Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR:
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d

− + − + + + + + − − + + − + + ≥
Giải:
Chọn A(a;b) và B(c;d) ta có: M(6;4) và N(2;-4) và:

( ) ( )
1
2
2 2
2 2
( ) : 2 9 0
( ) : 2 4 0
ó : 12 8 52 6 4
A d x y
B d x y
Ta c a a b b a b AM
∈ + − =


∈ + − =

− + − + = − + − =

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
4 8 20 2 4

a c b d ac bd a c b d AB
c d c d c d BN
+ + + − − = − + − =
+ − + + = − + + =

2 2
à : (6 2) (4 4) 4 5M AM AB BN MN
+ + ≥ = − + + =

Câu 4. (2.0 điểm)
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3
-x
+ 3
-y
+ 3
-z
=1. Chứng minh rằng:

9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y
+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
Giải:

Đặt:

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2
3 3 3
3 3
3
, , 0
3
1 1 1
1
3
ó :
ì :
.
ó : 3
8 4
x
y
z
a
a b c
b ab bc ca abc
a b c
c

a b c a b c
Ta c VT
a bc b ca c ab a abc b abc c abc
a a a
V
a abc a ab bc ca a b a c
a b c
VT
a b a c b c b a c a c b
a a b a c a
Ta c
a b a c

=
>



= ⇒ ⇔ + + =
 
+ + =
 

=

= + + = + +
+ + + + + +
= =
+ + + + + +
⇒ ≥ + +

+ + + + + +
+ +
+ + ≥
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3
3
64 4
3 3
;
4 4
3
2 ( )
8 4 4
a
b c
b c
b c b a c a c b
a b a c b c a b c
VT a b c VT VP dpcm
=
≥ ≥
+ + + +
+ + + + + + +
 
⇒ + ≥ + + ⇒ ≥ = ⇒
 ÷
 
Câu 5. (2.0 điểm)

Tìm Min của:
2 2 2
x y z
H
y z z x x y
= + +
+ + +
Trong đó:
2 2 2 2 2 2
, , 0
2010
x y z
x y y z z x
>



+ + + + + =


TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
Giải:
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
, , 0
2010
ó :
2( ); 2( ); 2( )
2( ) 2( ) 2( )
à : ; ;
2 2 2
1
2 2
a x y
a b c
b y z
a b c
c z x
Theo Bunhiacopxki ta c
x y x y y z y z z x z x
x y z
H
y z z x x y
a b c a b c a b c
V x y z
a b c
H
b

= +


>


= + ⇒
 
+ + =


= +


+ ≤ + + ≤ + + ≤ +
⇒ ≥ + +
+ + +
− + + − − + +
= = =
− +
⇒ ≥
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ( )
( ) 2( ) . ì : ( ) ê :
3
2 2
1 ( ) 1 1 1 1 ( )
.( ) 2( ) .9 2( )
3 3
2 2 2 2
2010 1005 2

2
2 2 2 2
a b c a b c
c a
a b c
a b c a b c V a b c n n
a b c
a b c a b c
H a b c a b c a b c
a b c
a b c
 
+ − − + +
+ +
 ÷
 
  + +
 
= + + + + − + + + + ≥
 ÷
 ÷
 
 
 + +  + +
   
≥ + + + + − + + ≥ − + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 

+ +
= = = ⇒
1005 2
224450
2
Min H x y z= ⇔ = = =
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang