Chuyên Đề Tích Phân - Ôn Thi DH

Bảng các tích phân cơ bản
ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự
Hàm Cơ Bản Hàm Hợp
1
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫
( n
≠
-1 )
1
lndx x C
x
= +
∫
x x
e dx e C
= +
∫
ln
x
x
a
a dx C

a
= +
∫
sin . osx dx c x C
= − +
∫
os . sinc x dx x C
= +
∫
2
tan
os
dx
x C
c x
= +
∫
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
1
1
n
n
u

u du C
n
+
= +
+
∫
( n
≠
-1 )
1
lndu u C
u
= +
∫
u u
e du e C
= +
∫
ln
u
u
a
a du C
a
= +
∫
sin . osu du c u C
= − +
∫
os . sinc u du u C

= +
∫
( )
2
2
1 t an tan
os
du
u du x C
c u
= + = +
∫ ∫
( )
2
2
1 cot cot
sin
du
u du x C
u
= − + = − +
∫ ∫
Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh:
1.
2
ln tan
sin
x
dx
C

x
= +
∫
Chưng minh:
Đặt
2
2
1 1
tan . 1 tan
2 2 2
2 os
2
x x
t dt dx dx
x
c
 
= ⇒ = = +
 ÷
 
( )
2
1
. 1
2
dt t dx
= +
Ta có công thức lượng giác sau:
2 2 2
2

2sin . os 2tan
2
2 2 2
sin , sin
1
sin os 1 tan
2 2 2
x x x
c
t
x vi x
t
x x x
c
 
 ÷
 ÷
= = =
 ÷
+
     
+ +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
( )
2
2
2

2
1
ln ln tan
2
sin
1
x
dt
t
dx dt
t C C
t
x t
t
+
= = = + = +
+
∫ ∫ ∫
2.
( )
2 4
ln tan
os
x
dx
C
c x
π
= + +
∫

Chứng minh:
Ta có
os sin
2
c x x
π
 
= +
 ÷
 
Làm tương tự bài trên:
Đặt
2
2
1 1
tan . 1 tan
2 4 2 2 4
2 os
2 4
x x
t dt dx dx
x
c
π π
π
 
   
= + ⇒ = = + +
 ÷  ÷
 ÷

 
   
 
+
 ÷
 
( )
2
1
. 1
2
dt t dx
= +
( )
2
2
2
1
ln ln tan
2
os 2 4
1
dt
t
dx dt x
t C C
t
c x t
t
π

+
 
= = = + = + +
 ÷
 
+
∫ ∫ ∫
3.
2 2
1
ln
2a
dx a x
C
a x a x
+
= +
− −
∫
( a
≠
0 )
Chứng minh:
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
2a
1 1
ln ln ln

2a 2a
dx
dx
a x a x a x
a x
a x a x C
a x
 
= −
 ÷
− + −
 
+
 
= + − − = +
 ÷
−
 
∫ ∫
4.
2 2
1
ln
2a
dx x a
C
x a x a
−
= +
− +

∫
( a
≠
0 )
Chứng minh:
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
2a
1 1
ln ln ln
2a 2a
dx
dx
x a x a x a
x a
x a x a C
x a
 
= −
 ÷
− − +
 
−
= − − + = +
+
∫ ∫
5 .
2 2

2 2
ln , 0
dx
x x a C a
x a
= + + + ≠
+
∫
Chứng minh:
Đặt
2 2
u x x a
= + +
2 2
2 2 2 2
1
x x x a
du d dx
x a x a
 
 
+ +
= + =
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
 
 
2 2

du dx
u
x a
=
+
2 2
2 2
ln ln
dx du
u x x a C
u
x a
⇒ = = = + + +
+
∫ ∫
6.
2 2
2 2
ln , 0
dx
x x a C x a
x a
= + − + > >
−
∫
Chứng minh:
Đặt
2 2
u x x a
= + −

2 2
2 2 2 2
1
x x x a
du d dx
x a x a
 
 
+ −
= + =
 ÷
 ÷
 ÷
+ −
 
 
2 2
du dx
u
x a
=
−
2 2
2 2
ln ln
dx du
u x x a C
u
x a
⇒ = = = + − +

−
∫ ∫
7.
2 2 2
ln
2 2
x A
x Adx x A x x A C
+ = + + + + +
∫
Chứng minh:
Đặt
2
2
, ,
x
u x A dv dx du v x
x A
= + = ⇒ = =
+
2
2 2
2
x
x Adx x x A dx
x A
+ = + −
+
∫ ∫
2

2
2
x A A
x x A dx
x A
+ −
= + −
+
∫
2 2
2
dx
x x A x A dx A
x A
= + − + +
+
∫ ∫
2 2 2
2 lnx Adx x x A A x x A C
+ = + + + + +
∫
2 2 2
ln
2 2
x A
x Adx x A x x A C
+ = + + + + +
∫
Các phương pháp tính tích phân:
Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến

Đổi biến dưới dấu tích phân
Cần tính tích phân
( )f x dx
∫
. Giả sử có thể tìm được hàm khả vi
( )u x
ϕ
=
và
hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân
( )f x dx
∫
có thể viết dưới
dạng:
[ ]
'
( )
( ) ( ) . ( ) ( )
u x
f x dx g f x x dx g u du
ϕ
ϕ
=
= =
∫ ∫ ∫
Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến
( )u x
ϕ
=

dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới
( )u x
ϕ
=
.
Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến
( )u x
ϕ
=
là việc tính tích
phân
( )f x dx
∫
được đưa đến tí ch phân
( )g u du
∫
, thường đơn giản hơn
tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế
( )u x
ϕ
=
vào kết
quả tìm được.
Phương pháp tính tích phân từng phần:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì
công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' '
b b
b

a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
= − 
 
∫ ∫
Hay
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu
= −
∫ ∫
Giải thích:
Ta có:
'
dv v dx
=
,
'
du u dx
=
Một sô cách tính hay biến đổi tích phân
Biến đổi lượng giác.
Nếu tích phân có chứa căn thức
2 2
a x
−

thì đặt x = asint, do đó
2 2
a cosa x t
− =
,
cos ddx a t t
=
Nếu tích phân có chứa căn thức
2 2
x a
+
thì đặt x = atant, do đó
2 2
cos
a
x a
a t
+ =
,
2
.
os
a dt
dx
c t
=