phép dời hình và phép đồng dạng

Chương I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG


Bài 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Định nghĩa :
: 'f M M→
duy nhất , thì
f
là phép biến
hình

: ,f M M M→ ∀
, thì
f
là phép đồng nhất

Bài 2: PHÉP TỊNH TIẾN
Định nghĩa :
( )
' '
v
T M M MM v= ⇔ =
r
uuuuur

0
T
r
là phép đồng nhất
Tính chất :1/

( )
( )
'
' ' ' '
'
v
v
T M M
M N MN M N MN
T N N
= 

⇒ = ⇒ =

=


r
r
uuuuuur uuuur
2/
:
v
T
r

'// 'd d d d d→ ∨ ≡

' 'AB A B AB
→ =

' ' 'ABC A B C ABC∆ → ∆ = ∆

( ) ( )
, ' ',C I R C I R→
Biểu thức tọa độ :
( ) ( ) ( )
, ; , ; ' ', 'v a b M x y M x y=
r

( )
'
'
'
v
x x a
M T M
y y b
= +

= ⇔

= +

r

Bài tập :
1. Cho hình vuông ABCD, có tâm là O. Dựng ảnh của ABCD qua phép
tịnh tiến theo

AO
uuur
. Dựng điểm E sao cho phép tịnh tiến theo
AO
uuur
biến E
thành B.
2.Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho
( ) ( ) ( )
2, 3 , 2,1 , 4,3v A B= − −
r
và đường
thẳng
d
có phương trình :
2 1 0x y
+ + =
.
a) Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của điểm A, B qua
phép tịnh tiến theo
v
r
.
b) Tìm phương trình của đường thẳng
'd
là ảnh của đường thẳng
d

qua phép tịnh tiến theo
v
r
.
c) Tìm phương trình đường tròn
( )
'C
là ảnh của đường tròn
( )
C

đường kính AB.
3. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm M ở trong tứ giác đó sao cho ABMD là
hình bình hành. Chứng minh nếu
CBM CDM
=
thì
ACD BCM
=
.
4. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A v à B cố định, đỉnh C thay
đổi trên một đường tròn
( )
O
. Tìm quỹ tích đỉnh D.
5*. Cho hai đường tròn
( )
O
v à
( )

'O
và hai điểm A, B. Tìm điểm M trên
( )
O
và M’ trên
( )
'O
sao cho :
'MM AB
=
uuuuur uuur
.
Bài 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Định nghĩa :
'M =
Đ
( )
d
M

⇔
d là đường trung trực
của đoạn thẳng MM’
Tính chất : 1.
'M =
Đ
( )
d
M
,

'N =
Đ
( )
d
N

' 'MN M N
⇒ =
2. Đ
d
:
'd d
→

' 'AB A B AB
→ =

' ' 'ABC A B C ABC
∆ → ∆ = ∆

( ) ( )
, ' ',C I R C I R→
Biểu thức tọa độ : Chọn hệ trục
:Oxy Ox d
≡
,
( )
,M x y

'M =

Đ
( )
d
M
,
( )
' ', 'M x y
thì :

'
'
x x
y y
=


= −

Trục đối xứng của một hình : d là trục đối xứng của

( )
H

⇔
Đ
( ) ( )
d
H H=

Bài tập :

1. Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng? nếu có thì có
bao nhiêu trục đối xứng?
H S T R Í Đ Ứ C N G O A N
2. Dựng
' ' 'A B C∆
là ảnh của
ABC∆
qua phép đối xứng trục
'AA
, biết
'AA
là
đường cao trong
ABC∆
.
3. Trong mặt phẳng
Oxy
cho
( ) ( )
2, 1 ; 3,2A B
−
. Tìm ảnh của
,A B
và
đường thẳng
AB
qua phép đối xứng :
a) Trục
Ox
b) Trục

Oy
4.Trong mặt phẳng
Oxy
cho đường thẳng d ,phương trình :
2 5 0x y
+ − =
.
a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng
trục Oy.
b) Tìm tọa độ điểm O’ là ảnh của gốc tọa độ O qua phép đối xứng
trục d.
5. Trong mặt phẳng
Oxy
cho đường thẳng d, phương trình :
2 3 0x y
− − =
và đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 3 4C x y
− + − =
a) Viết phương trình đường tròn
( )
'C
là ảnh của
( )
C
qua phép đối
xứng trục Ox.
b) Viết phương trình đường tròn

( )
'C
là ảnh của
( )
C
qua phép đối
xứng trục d.

Bài 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Định nghĩa :
: ;f I I
→


'M M
→
: I là trung điểm của đoạn thẳng MM’
f
⇒
là phép đối xứng tâm I, I gọi là tâm đối xứng.
Ký hiệu : Đ
I

'M =
Đ
( )
I
M

'IM IM⇔ = −

uuuur uuur
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ :
Trong hệ tọa độ Oxy cho
( )
, ; 'M x y M
= Đ
( ) ( )
', '
O
M x y
=
.
Khi đó :

'
'
x x
y y
= −


= −


Tính chất :
+ Nếu
'M =
Đ
( )
I

M
,
'N =
Đ
( )
I
N

' ' ' 'M N MN M N MN⇒ = ⇒ =
uuuuuur uuuur
+ Đ
I
:
( )
'//d d d
→ ≡

' 'AB A B AB
→ =

' ' 'ABC A B C ABC
∆ → ∆ = ∆


( ) ( )
, ' ',C O R C O R
→
Tâm đối xứng của một hình :
I là tâm đối xứng của hình
( )

H ⇔
Đ
I
( ) ( )
H H=

Bài tập :
1. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm G, biết G là trọng tâm
của tam giác ABC.
2. Trong các hình tam giác dều, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông , hình
thang cân hình nào có tâm đối xứng.
3. Trong các chữ sau , chữ nào có tâm đối xứng ?
T H Ủ Đ Ô
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có
phương trình : 2x + y – 1 = 0 .
a. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O
b. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm A.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
( ) ( ) ( )
1,2 ; 3,0 ; 3, 2A B C
− −
.
a. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O.
b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC qua phép đối xứng tâm A.
6. Cho đường tròn
( )
,O R
, đường thẳng d và điểm I . Tìm điểm A trên

( )
,O R
và điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bài 5 : PHÉP QUAY
Định nghĩa :
:f O O
→

': 'M M OM OM
→ =
và góc lượng giác
( )
, 'OM OM
α
=

f
⇒
được gọi là phép quay tâm O góc
α

Ký hiệu :
( )
,O
Q
α
Tính chất : +
( )
( )

( )
( )
, ,
' ; '
O O
M Q M N Q N
α α
= =
' 'M N MN⇒ =
+
( )
,O
Q
α
:
d d
→

' 'AB A B AB
→ =

' ' 'ABC A B C ABC
∆ → ∆ = ∆

( ) ( )
, ' ',C O R C O R
→
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC. Trọng tâm G.
a. Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay

0
90
.
b. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay
0
90
.
c. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay
0
90
.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có
phương trình : 2x + y – 1 = 0 .
a. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay
0
90
.
b. Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay
0
90
.
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình :

2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường
Tròn đã cho qua phép quay tâm O góc quay
0
90
.

4. Cho đường thẳng d và một điểm A cố định không ở trên d, M là điểm
di động trên d. Vẽ tam giác AMN vuông cân tại A. Hãy tìm tập hợp các
điểm N.
5. Có bao nhiêu phép quay biến lục giác đều ABCDEF thành chính nó.
Mỗi phép quay đó có phải là phép đồng nhất hay không ?

Bài 6 : KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH
VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
Định nghĩa phép dời hình : Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Nhận xét : Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai
phép dời hình cũng là một phép dời hình.
Tính chất : Phép dời hình :
+ 3 điểm thẳng hàng
→
3 điểm thẳng hàng và bảo tòn thứ tự
+ Đường thẳng
→
Đường thẳng; Tia
→
Tia; Đoạn thẳng
→

Đoạn thẳng bằng nó.
+ Tam giác
→
Tam giác bằng nó, Góc
→
Góc bằng nó.
+ Đường tròn

→
Đường tròn có cùng bán kính.
Định nghĩa hai hình bằng nhau : Hai hình được gọi là bằng nhau nếu
có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Bài tập :
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây :
- Phép biến hình
1
F
biến mỗi điểm
( ) ( )
, ' ,M x y M y x
→ −
- Phép biến hình
2
F
biến mỗi điểm
( ) ( )
, ' 2 ,M x y M x y
→
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?
2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I , J lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai
hình thang BEJF và KOID bằng nhau.
3. Chứng minh rằng : Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành
tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trực tâm của tam giác ABC thành trực
tâm của tam giác A’B’C’.
4. Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm A và phép quay tâm A góc quay

0
90
.
5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 3 = 0 .
Tìm phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh
tiến theo vec tơ
( )
2, 3v
= −
r
.

Bài 7 : PHÉP VỊ TỰ
Định nghĩa :
: ': 'f M M OM kOM
→ =
uuuuur uuuur

⇒
f được gọi là phép vị
tự tâm O tỉ số k.
Ký hiệu :
( )
,O k
V
Nhận xét : + Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
+
1k
=

⇒
Phép vị tự là phép đồng nhất.
+
1k
= −

⇒
Phép vị tự là phép đối xứng tâm.
+
( )
( ) ( )
, 1
,
' '
O k
O
k
M V M M V M
 
 ÷
 
= ⇔ =
Tính chất : +
( )
( )
( )
( )
,
,

'
' ' .
'
O k
O k
M V M
M N k MN
N V N
= 

⇒ =

=


uuuuuur uuuur
' 'M N k MN⇒ =
+ Phép vị tự tỉ số
k
:
- 3 điểm thẳng hàng
→
3 điểm thẳng hàng và bảo tòan thứ tự
- Đường thẳng
→
Đường thẳng song song hoặc trùng với nó
Tia
→
Tia; Đoạn thẳng
→

Đoạn thẳng.
- Tam giác
→
Tam giác đồng dạng với nó, Góc
→
Góc bằng
nó.
- Đường tròn bán kính R
→
Đường tròn có bán kính
k R
.
Tâm vị tự của hai đường tròn :
Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến
đường tròn này thành đường tròn kia.
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác. Tìm ảnh của
tam giác ABC qua phép vị tự :
a. Tâm G, tỉ số
1
2
b. Tâm G, tỉ số 2
c. Tâm A, tỉ số - 2
2. Cho hình vuông ABCD, tâm O. Tìm ảnh của hình vuông qua phép
vị tự :
a. Tâm O, tỉ số
1
2
. b. Tâm O, tỉ số - 2
c.Tâm A, tỉ số -

1
2
.
3. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau :
a. Hai đường tròn có cùng bán kính, nằm ngoài nhau.
b. Hai đường tròn cắt nhau tải 2 điểm.
c. Hai đường tròn đựng nhau không dồng tâm.
4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua
A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt(O’) ở N sao cho M là trung
điểm của AN .
5. Cho đường tròn
( )
,O R
và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay
đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quĩ
tích điểm N.

Bài 8 : PHÉP ĐỒNG DẠNG
Định nghĩa :
: 'F M M→

'N N
→
sao cho M’N’ = kMN thì F được gọi là
phép đồng dạng tỉ số k .
Nhận xét : Thực hiện liên tiếp 2 phép đồng dạng ta được phép
đồng dạng.
Tính chất : Phép đồng dạng tỉ số k :
+ Ba điểm thẳng hàng
→

Ba điểm thẳng hàng, bảo
toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
+ Đường thẳng
→
Đường thẳng. Tia
→
Tia, Đoạn
thẳng
→
Đoạn thẳng .
+ Tam giác
→
Tam giác đồng dạng với nó, Góc
→
Góc bằng nó .
+ Đường tròn bán kính R
→
Đường tròn bán kính kR.
Hình đồng dạng : Hai hình được gọi là đồng dạng với
nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này
thành hình kia.
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC . Dựng ảnh của nó có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tự tâm A tỉ số 2 và phép đối xứng tâm B.
2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H,K,L,J
lần lượt là trung điểm của AD,BC,KC và IC. Tìm phép đồng dạng
biến hình thang IHAB thành hình thang JLKI.
3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) và đường tròn tâm I, bán
kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp :

a. Phép quay tâm O, góc
0
45
và phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
b. Phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O. tỉ số
2
.
c. Phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O. tỉ số -2.
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một
phép đồng dạng biến tam giác HAC thành tam giác ABC.

ÔN TẬP CHƯƠNG I
A. Câu hỏi trắc nghiệm :
1. Trong các phép biến hình sau, phép nào không phài là phép dời
hình ?
A. Phép đối xứng tâm.
B. Phép quay .
C. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng
D. Phép vị tự tỉ số -1.
2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI ?
A. Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
B. Phép vị tự biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
C. Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
D. Phép đối xứng trục biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó.
3. Trong các hình sau đây, hình nào có tâm đối xứng ?
A. Tam giác đều.
B. Hình thang cân.
C. Tam giác vuông cân.
D. Hình thoi.

4. Trong các hình sau đây, hình nào không có trục đối xứng.
A. Tam giác vuông cân.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang cân.
D. Hình elip.
5. Phép biến hình nào sau đây không có tính chất : “ Biến một đường
thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nó”?
A. Phép tịnh tiến.
B. Phép đối xứng trục.
C. Phép đối xứng tâm.
D. Phép vị tự.
6. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
A. Phép vị tự là một phép dời hình.
B. Có một phép đối xứng trục là phép đồng nhất.
C. Phép đồng dạng là một phép dời hình.
D. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép vị tự ta được phép
đồng dạng.
7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho
( )
1, 2v = −
r
,điểm M(2,-3).Ảnh của
M qua phép tịnh tiến theo vec tơ
v
r
là điểm có tọa độ nào trong các
điểm sau ?
A. (3,-5) B. (1,-1)
C. (-1,1) D. (1,1).
8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho dường thẳng d có phương trình :

2x – y + 3 = 0 . d’ là ảnh của d qua phép dối xứng tâm O , Khi ấy
phương trình d’ là :
A. 2x – y – 3 = 0 B. x – 2y + 3 = 0
C. x + 2y + 3 = 0 D. x – 2y – 3 = 0
9. Số chữ cái có tâm đối xứng trong tên trường “ TRÍ ĐỨC” là :
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. Cho hình bình hành ABCD, Khi đó :
A.
( )
AD
B T C=
uuur
B.
( )
DA
B T C=
uuur
C.
( )
CD
B T A=
uuur
D.
( )
AB
B T C=
uuur
.
11. Trong các hình sau đây, hình nào có 4 trục đối xứng ?
A. Hình chữ nhật B. Hình bình hành

C. Hình vuông D. Hình thoi.
12. Cho
( )
1,3A
−
. Nếu
'A =
Đ
( )
Oy
A
thì :
A.
( )
' 1,3A −
B.
( )
' 1,3A
C.
( )
' 3, 1A −
D.
( )
' 3,1A −
.
13. Ảnh của đường tròn bán kính R qua phép biến hình có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm và phép vị tự tỉ số k
1
2
= −

là đường tròn có bán kính là :
A.
2R
B.
1
2
R−
C.
1
2
R
D.
2R−
.
14. Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Hình chữ nhật B. Tam giác đều
C. Lục giác đều D. Hình thoi.
15. Trong các phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
hai phép biến hình sau đây, phép nào không là phép dời hình :
A. Phép quay và phép tịnh tiến
B. Phép đối xứng tâm và phép vị tự tỉ số
1k = −
.
C. Phép quay và phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng.
D. Phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
B. Bài tập :
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1, -3) và đường thẳng d
có phương trình : 2x + y – 3 = 0, đường tròn (C) có phương trình :
2 2
4 6 3 0x y x y+ − + − =

.
a. Tìm tọa độ điểm A’ và phương trình d’ lần lượt là ảnh của A
và d qua phép đối xứng trục Ox .
b. Viết phương trình đường tròn
( )
'C
là ảnh của (C) qua phép
đối xứng tâm A.
2. Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có 2 trục đối xứng vuông
góc với nhau thì hình đó có tâm đố xứng. Cho ví dụ.
3. Cho hai điểm A và B nằm về một phía so với đường thẳng d, Hãy
tìm trên d điểm M sao cho
MA MB+
ngắn nhất.
4. Cho tứ giác ABCD, có A, B, C cố định và AD = m ( m là một độ dài
không đổi). Tìm tập hợp :
a. Các trung điểm của DA, DB, DC khi D di động.
b. Các trung điểm M của đoạn thẳng RS với R là trung điểm
của AC và S là trung điểm của BD.
5. Cho hai đường tròn cắt nhau
( )
O
và
( )
'O
, Gọi A là một trong hai
giao điểm. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt
( )
O
tại M, cắt

( )
'O
tại
N sao cho
2AM AN
=