Đề thi HSG toán 8 năm 2010

phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x
2
+ a chia hết cho 3x + 2
b) 3x
2
+ ax + 27 chia hết cho x + 5 có số d bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
1999a b c
ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c 1
+ +
+ + + + + +
Câu 3: Cho abc

0 và a + b+ c

0 giải phơng trình:
a b x a c x b c x 4x
1
c b a a b c
+ + +
+ + + =
+ +
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng

có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a. Chứng minh AE vuông góc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng
hàng.
c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di
chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi
điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1999 -2000
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
a) Số A = n
4
+ 4 là số nguyên tố.
1
đề chính thức
đề chính thức
b) Phân số
7 2
8
n n 1
n n 1
+ +
+ +
tối giản.
Câu 2. Cho biểu thức:

2
3 2 3
1 a 1 4a 2b 2
A :
2a b a
2a b 2a a b a b ab

+

=
ữ
ữ
+
+ +


a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A biết 4a
2
+ b
2
= 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phơng trình:
( )
2
2
x-101 x-103 x-105
a, 3
86 84 82
b, x 9 12x 1

+ + =
= +
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và CD.
Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD
thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhật
ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
a. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh:
1
MO IC
2
=
b. Tính số đo góc BMK?
c. Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị
trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 2
a b a b
P
ab
ab b ab a
+

= +
+
a. Rút gọn P.
b. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a
2
+ 3b
2
= 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
2
đề chính thức
a. (n
2
+ n -1)
2
1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phơng trình: x
4
+ x
2
+ 6x 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2

= y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đờng trung tực trong tam giác, H
là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC,
BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.
a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện
gì để OPQR là hình thoi?
b. Chứng minh AQ = OM.
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung
điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di
chuyển trên đờng nào?
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a
3
+ b
3
) 3(a
2
+ b
2
)
Câu 2: Chứng minh rằng:
a b c

1, 1
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1
+ + =
biết abc = 1.
2
*
4 2
n n 1
2, (n N )
n n 1
+ +

+ +
không là phân số tối giản.
Câu 3: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20
= + + + +
+ + + +
a. Tìm điều kiện để P xác định.
b. Rút gọn P.
c. Tính giá trị của P biết a
3
- a
2
+ 2 = 0
Câu 4
*

: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x
2n
+ x
n
+1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đờng thẳng qua C và vuông
góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
3
đề chính thức
a. Chứng minh: tam giác EMC cân.
b. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ
P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2002- 2003
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a.
3 2
A n n n 1= +
là một số nguyên tố.
b.
4
4 3 2

n 16
C
n 4n 8n 16

=
+ +
có giá trị là một số nguyên.
c. D = n
4
+ 4
n
là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc

0.
a. Chứng minh: a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc =0
b. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
= +
+ + +

Bài 3:
a. Giải phơng trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x a x c x b x c
1
b a b c a b a c

+ =

b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
2
- y
2
+ 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua
O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh :
AOD BOC
S S

=
b. Chứng minh: OE = OF.
c. Chứng minh:
1 1 2
AB CD EF
+ =

d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua K
và chia đôi diện tích tam giác DEF.
4
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2003- 2004
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức:
2
3 2
a 4a 4
A
a 2a 4a 8
+ +
=
+
a. Rút gọn A.
b. Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
thì ta có:
2 2 2
a bc b ca c ab

x y z

= =
Câu 3. Giải phơng trình:
a,
2 2 2
1 1 1
18
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42
+ + =
+ + + + + +
b, x
2
+ 3
y
= 3026 với x, y

N
Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dơng. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng
minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB
lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh
rằng:
a.
2
1
BD.CE BC
4
=
b. DM là phân giác của góc BDE.

c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và
AC.
5
đề chính thức
Tỉnh vĩnh phúc
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2003- 2004
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Cho biểu thức A
PHềNG GIO DC-O TO
Huyn Trc Ninh
THI KHO ST HS GII
Nm hc 2004-2005
CHNH THC Mụn:Toỏn 8
Thi gian lm bi:120 phỳt(khụng k giao )
Bi 1 (4 im)
Cho phõn thc A=
23
12
3
24

+
xx
xx
.
a)Tỡm iu kin ca x A cú ngha.
b)Rỳt gn A.
c)Tỡm x A cú giỏ tr bng 4.

Bi 2 (3 im)
Xỏc nh a thc f(x) bc 3 sao cho khi chia a thc y ln lt cho cỏc nh
thc (x-1);(x-2);(x-3)j u c d l 6 v ti x=-1 thỡ a thc nhn giỏ tr bng
-18.
Bi 3 (4 im)
a)Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B=
.
1
34
2
+
+
x
x
b)Chng minh rng a
4
+b
4

a
3
b+ab
3
.
Bi 4 (7 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, im M thuc cnh BC, im N thuc cnh
AD sao cho CM=AN.Cỏc ng thng AM,BN ct CD theo th t E,F.
a)Chng minh CE.DF=a
2
.

6
b)Gọi I là giao điểm của FA và EB.Chứng minh tam giác CEB đồng dạng với
tam giác DAF và góc EIF=90
0
.
c)Cho CM=
3
a
.Tính diện tích đa giác AIBCD theo a.
d)Các điểm M và N có vị trí như thế nào thì EF có độ dài nhỏ nhất .
Bài 5 (2 điểm) Giải phương trình:
.1111
2
−+=−++ xxx
7