TSL10 Chuyen Toan Thanh Hóa(v1) 10-11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN vòng 1
THANH HÓA (2010-2011)
(Thời gian 120’ không kể giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho biểu thức:
x 6 1 10 x
A : x 2
x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2
−
   
= − + − +
 ÷  ÷
− − + +
   
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x sao cho A < 2.
Câu 2: (2.0 điểm)
Cho x
1
; x
2
là 2 nghiệm của pt: x
2
- 7x + 3 = 0.
1. Lập phương trình có hai nghiệm là 2x
1
- x
2
và
.
2.

Tính

giá trị của B = |2x
1
- x
2
| + |2x
2
- x
1
|.
Câu 3 : (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình :
4 1
1
x 2y x 2y
20 3
1
x 2y x 2y

− =

+ −



+ =

+ −


Câu 4 : (3.5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.
Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.
1. Chứng minh rằng AE = ID.
2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A).
Chứng minh rằng: DF . DA = EH . EB
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi
tam giác là 2P. Chứng minh rằng:
P P P
9
P a P b P c
+ + ≥
− − −
…Hết…
1
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (2.0 điểm)
Cho biểu thức:
x 6 1 10 x
A : x 2
x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2
−
   
= − + − +
 ÷  ÷
− − + +
   
1. Rút gọn biểu thức A.ĐK: x ≠ 4, x ≠ 0, x ≥ 0 ⇒ x > 0, x ≠ 4

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
x 6 1 x 4 10 x
A :
x x 4 x 2 x 2
3 x 2
3x 6 x x 2 3 x x 2 x 2
1
.
6
2 x
3 x x 2 x 2
 
− + −
 
 ÷
= − +
 ÷
 ÷
− + +
 
−
 
− + + − +
= = =
−

+ −
2. Tìm x sao cho A < 2.
A < 2 ⇔
x 4
x 2
1 1 2 x 3
2 2 0 0
9
3
x
2 x 2 x x 2
x
4
2

>

>
−


< ⇔ − < ⇔ > ⇔ ⇔


<
− − −
<




Kết hợp với đk:
9
0 x
4
< <
hoặc
x 4>
Câu 2: (2.0 điểm)
Cho x
1
; x
2
là 2 nghiệm của pt: x
2
- 7x + 3 = 0.
1. Lập phương trình có hai nghiệm là 2x
1
- x
2
và 2x
2
- x
1
Ap dụng định lí Viet đảo pt nhân hai nghiệm 2x
1
- x
2
và 2x
2
- x

1
là:
X
2
- SX + P = 0
Với S = 2x
1
- x
2
+ 2x
2
- x
1
= x
1
+ x
2
= 7
P = (2x
1
- x
2
)(2x
2
- x
1
) = 5x
1
x
2

- 2[(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
]
= 9x
1
x
2
- 2(x
1
+x
2
)
2
= 9.3 - 2. 49 = -71
⇒ pt: X
2
- 7X -71 = 0
2.

Tính

giá trị của B = |2x

1
- x
2
| + |2x
2
- x
1
|.
B = |2x
1
- x
2
| + |2x
2
- x
1
| = |X
1
| + |X
2
| ≥ 0
B
2
= X
1
2
+ X
2
2
+ 2| X

1
X
2
| = (X
1
+ X
2
)
2
- 2 X
1
X
2
+ 2| X
1
X
2
|
Thay số: B
2
= 7
2
- 2(-71) + 2|-71| = 333 mà B ≥ 0

B 333 3 37= =
Câu 3 : (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình :
4 1
1
x 2y x 2y

20 3
1
x 2y x 2y

− =

+ −



− =

+ −

ĐK : x ≠ ± 2y
Đặt
4 1
u; v
x 2y x 2y
= =
+ −
ta có hệ :
u v 1 3u 3v 1
1 1
u ;v
5u 3v 1 5u 3v 1
2 2
− = − =
 
⇔ ⇒ = = −

 
+ = + =
 
4 1
x 3
x 2y 8
x 2y 2
5
3 1 x 2y 2
y
2
x 2y 2

=
=


+ =
+

 
⇒ ⇔ ⇔
  
− = −
=

 
= −



−

(t/m đk)
Câu 4 : (3.5 điểm)
2
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.
Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.
1. Chứng minh rằng AE = ID.
2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A).
Chứng minh rằng: DF . DA = EH . EB
F
H
E
I
D
C
A
B
a, ∆ABE = ∆IBE (cạnh huyền, cạnh
góc vuông)
⇒ AE = IB (đ/n)
∆EID vuông cân ⇒ IE = IE
⇒ AE = IE (đpcm)
b, DI
2
= DF.DA
EI
2
= EH.EB
⇒ DF.DA = EH.EB (đpcm)

Câu 5*: (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi
tam giác là 2P. Chứng minh rằng:
P P P
9
P a P b P c
+ + ≥
− − −
* Cm bđt:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
với x > 0, y > 0
Ta có (x - y)
2
≥ 0 ∀x,y ⇔ x
2
+ y
2
-2xy ≥ 0 ⇔ (x + y)
2
≥ 4xy
x y 4 1 1 4
xy x y x y x y
+
⇔ ≥ ⇔ + ≥
+ +
với ∀x ; y.
* Áp dụng :

( )
1 1 4 4
P a P b P a P b c
1 1 4 1 1 1 1 1 1
2
P b P c c P a P b P c a b c
1 1 4

P a P b c
P P P 1 1 1
2P
P a P b P c a b c
P P P 1 1 1
a b c
P a P b P c a b c

+ ≥ =

− − − + −


 
+ ≥ ⇒ + + ≥ + +

 ÷
− − − − −
 


+ ≥


− −

 
⇔ + + ≥ + +
 ÷
− − −
 
 
⇔ + + ≥ + + + +

− − −

( )
2
1 1 1 9≥ + + =
÷

(Áp dụng Bunhacopski)
Dấu bằng xảy ra ⇔ a
2
= b
2
= c
2
⇔ a = b = c
3