Gián án 4 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN- MÔN TOÁN: THANH HOÁ, YÊN BÁI, QUẢNG NAM

4 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN- MÔN TOÁN:
THANH HOÁ, YÊN BÁI,
QUẢNG NAM
SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:19 tháng 6 năm 2009
Câu 1( 2,0 điểm)
Cho biểu thức:
2
3
2x 4 1 1
T
1 x
1 x 1 x
+
= − −
−
+ −
1. Tìm điều kiện của
x
để T xác định. Rút gọn T
2. Tìm giá trị lớn nhất của T.
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2x xy 1

4x 4xy y 7

− =

+ − =

2. Giải phương trình:
1
x 2 y 2009 z 2010 (x y z)
2
− + + + − = + +
Câu 3 (2,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x
2
- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm
nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:
a 0
b 0
19a 6b 9c 12
≥


≥


+ + =

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
2 2

x 2(a 1)x a 6abc 1 0− + + + + =

2 2
x 2(b 1)x b 19abc 1 0− + + + + =
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính
AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm
A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.
2. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC.
Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với
mọi số thực x, y, z ta luôn có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z 2x 2y 2z
a b c a b c
+ +
+ + >
+ +
------Hết-----
Họ và tên thí sinh:..................... Số báo danh:......................
Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2
1
SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Hướng dẫn chấm
2
Câu
ý Nội dung Điểm
1 2,0
1
Điều kiện:
x 0; x 1≥ ≠
2
3 3 2
2x 4 2 2 2x 2
T
1 x 1 x 1 x x x 1
+ −
= − = =
− − − + +
0,25
0,75
2 T lớn nhất khi
1
2
++ xx
nhỏ nhất, điều này xẩy ra khi x= 0
Vậy T lớn nhất bằng 2
0,5
0,5
2 1

Giải hệ phương trình:
2
2 2
2x xy 1
4x 4xy y 7

− =

+ − =


Nhận thấy x = 0 không thoả mãn hệ nên từ (1) ⇒ y =
2
2x 1
x
−
(*)
Thế vào (2) được: 4x
2
+ 4x.
2
2x 1
x
−
-
2
2
2x 1
( )
x

−
= 7
⇔ 8x
4
– 7x
2
- 1 = 0
Đặt t = x
2
với t ≥ 0 ta được 8t
2
- 7t - 1 = 0
⇔ t = 1 hoặc t = -
8
1
(loại)
với t =1 ta có x
2
= 1 ⇔ x = ± 1 thay vào (*) tính được y = ± 1
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:
x 1
y 1
=


=

;
x 1
y 1

= −


= −



0,25
0,25
0,25
0,25
2
ĐK:
x 2; y 2009;z 2010≥ ≥ − ≥
Phương trình đã cho tương đương với:
x y z 2 x 2 2 y 2009 2 z 2010+ + = − + + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 2 1 y 2009 1 z 2010 1 0⇔ − − + + − + − − =
x 3; y 2008;z 2011⇔ = = − =
0,25
0,25
0,25
0,25
3 1
PT đã cho có biệt số ∆ = 4a
2
+ 16a -151
PT có nghiệm nguyên thì ∆ = n
2

với n ∈ N
Hay 4a
2
+ 16a - 151 = n
2
⇔ (4a
2
+ 16a + 16) - n
2
= 167
⇔ (2a + 4)
2
- n
2
= 167 ⇔ (2a + 4 + n)(2a + 4 - n) = 167
Vì 167 là số nguyên tố và 2a + 4 + n > 2a + 4 - n nên phải có:

2a + 4 + n = 167
2a + 4 - n = 1

2a + 4 + n = -1 ⇒
4a 8 168
4a 8 168
+ =


+ = −

⇒
a 40

a 44
=


= −


2a + 4 - n = -167
với a = 40 đựơc PT: x
2
- 83x = 0 có 2 nghiệm nguyên x = 0, x = 83
với a = - 44 thì PT có 2 nghiệm nguyên là x= -1, x = - 84
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Ta có:
' '
1 2
a(2 6bc) ; b(2 19ac)∆ = − ∆ = −
Suy ra
' '
1 2
a(2 6bc) b(2 19ac)
∆ + ∆ = − + −
Từ giả thiết
19a 6b 9c 12+ + =
, ta có tổng
(2 6bc) (2 19ac) 4 c(19a 6b) 4 c(12 9c)

− + − = − + = − −
=
( )
2
2
9c 12c 4 3c 2 0− + = − ≥
.
Do đó ít nhất một trong hai số
(2 6bc) ;(2 19ac)− −
không âm
Mặt khác, theo giả thiết ta có
a 0 ; b 0≥ ≥
. Từ đó suy ra ít nhất một
trong hai số
' '
1 2
;∆ ∆
không âm, suy ra ít nhất một trong hai phương trình
0,25
0,25
0,25
3
AB
C
H
a
c
b
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề
Bài 1(2,5 điểm): Cho
x x 1 x x 1
M
x x x x
− +
= −
− +
1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
3- Cho N=
3
3
1 6 1
6x x
18 x x
 
+ + +
 ÷
 
. Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:
2
y x
z xy
1 1 2

x y z

=

=



= +


với
x, y,z 0>
Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức
3
A x 6x
= −
với
3 3
x 20 14 2 20 14 2= + + −

Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp tuyến với đường
tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N.
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng hàng.
2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC.
3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm.
Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số

(x; y;z)
với
x, y,z

∈
Z để:

2 2 2
P (x zy) 6(x zy) x 16y 8xy 2x 8y 10
= − + − + + − + − +
đạt giá trị nhỏ nhất.
---------- Hết ------------
Họ và tên thí sinh:..................................................................Phòng
thi:..............SBD:.......................
4
Họ và tên, chữ ký giám thị 1
...................................................................
Họ và tên, chữ ký giám thị 2
...................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung
Điểm
Bài 1(2,5 điểm): Cho
x x 1 x x 1
M

x x x x
− +
= −
− +
1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện M
M
có nghĩa)
3- Cho N=
3
3
1 6 1
6x x
18 x x
 
+ + +
 ÷
 
. Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
1-(0,5 đ)
Để M có nghĩa, ta có:
x 0
x x 0
x x 0
≥


− ≠



+ ≠


⇔
x 0
x( x 1) 0
x( x 1) 0
≥


− ≠


+ ≠


⇔
x 0
x 1
>


≠

2-(1,0 đ)
Với x > 0,
1
≠
ta có:
2

(x x 1)(x x) (x x 1)(x x )
M
x x
− + − + −
=
−
=
2 2 2 2
2
x x x x x x x x x x
x x
+ − − − + − +
−
=
2
2
2x 2x
x x
−
−


2
2
2(x x)
x x
−
=
−
= 2. Vậy M = 2

3-(1,0 đ)
Với x > 0,
1
≠
ta có:
3
3
1 1 1
2 6(x ) x
18 x x
 
= + + +
 ÷
 
(1)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Đặt
1
x y
x
+ =
2

>
(vì
x 0, 1> ≠
)
Ta có
3 3 2 3
3 2 3
1 1 1 1 1
y x 3x . 3x. x 3(x )
x x x x x
= + + + = + + +

⇒

3 3
3
1
x y 3y
x
+ = −
Do đó, từ (1) ta có:
3
36 6y y 3y= + −

⇔

3
y 3y 36 0+ − =
⇔

3 3 2 2
0 (y 3 ) (3y 9) (y 3)(y 3y 9) 3(y 3) (y 3)(y 3y 12)= − + − = − + + + − = − + +
⇔

y 3 2= >
(vì
2
2
3 39
y 3y 12 x 0
2 4
 
+ + = + + >
 ÷
 
)
Với
y 3=
, ta có
1
x 3
x
+ =

⇔

2
x 3x 1 0− + =
(
∆

= 9- 4= 5 > 0)
⇔

1
3 5
x
2
+
=
,
2
3 5
x
2
−
=
(tmđk). Vậy với
1
3 5
x
2
+
=
,
2
3 5
x
2
−
=

thì M = N
0,25
0,25
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình:
2
y x
z xy
1 1 2
x y z

=

=



= +


với
x, y,z 0>
Thế (1) vào (2) ta có
3
z x=
(4)
Thế (1) và (4) vào (3) ta có
2 3
1 1 2
x x x
= +

hay
2
3 3
x x 2
x x
+
=
, vì
x 0
>

Ta có
2
x x 2= +


⇔

2
x x 2 0− − =
(a-b+c = 1 +1- 2 = 0)

⇔

1
x 2=
>
0
,
2

x 1= −
<
0
(loại)
Do x = 2
⇒
y = 4 > 0, z = 8 > 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
(x; y;z) (2;4;8)=
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức
3
A x 6x
= −
với
3 3
x 20 14 2 20 14 2= + + −
Đặt a =
3
21420
+
, b =
3
21420

−
, ta có
x
= a + b
Có
3
x
= a
3
+ b
3
+ 3a
2
b +3ab
2
, vì a
3
+ b
3
= 20 +14
2
+20 -14
2
= 40, nên

3
x
= 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab
x
Ta lại có ab =

33
21420.21420
−+
=
3
)21420)(21420(
−+
=
3 22
14.220
−
=
28
3
=
Vậy A =
3
x

- 6x = 40 + 6x – 6x = 40
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp tuyến với
đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N.

1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng
hàng.
2- Chứng minh rằng M là trung điểm của HB và N là trung điểm của HC.
3- Tính diện tích tứ giác DENM, biết AB = 7cm, AC = 10 cm.
1-(1 đ) Có:
DAE∠
=1v(gt)
6
B
D
E
A
M
H
N
C