đề thi khảo sát vào 11

SỞ GD& ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT TIẾN THỊNH
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ 11
Năm học: 2010- 2011
Thời gian: 120 phút
ĐỀ BÀI
Câu 1: (2 điểm)
Giải các bất phương trình sau:
2 3
1 2 2 3
,
1 1 1
+
+ ≤
+ − + +
x
a
x x x x
, 3 1 3 0− + + >b x x
Câu 2:(2 điểm)
Cho hệ phương trình:
2 2
2
3
+ = −


+ + =

x y m
x y xy

a, Giải hệ với m=1
b, Tìm m để hệ có nghiệm
Câu 3: (1 điểm)
Cho
3
2 7
= −
a
cos
và
2< <a
π π
Tính
sin a
,
cosa
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4), có trọng tâm G(0; 4)
a, Viết phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh C của tam giác ABC.
b, Gọi điểm M(2; 0) là trung điểm của cạnh BC. Tìm toạ độ A, B.
c, Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng CG.
Câu 5: (1 điểm)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn:
1
+ + =
a b c
.
Chứng minh rằng:
7
1 1 1

2
+ + + + + <a b c
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
Câu Nội dung Thang
điểm
1
a, đk
1≠ −x
2
2 3 3
2
2
1 2 2 3 1 2 2 2 3
0
1 1 1 1
0
( 1)( 1)
+ − + + + − −
+ ≤ ⇔ ≤
+ − + + +
−
⇔ ≤
+ − +
x x x x x
x x x x x
x x
x x x
Lập bảng xét dấu vế trái ta được tập nghiệm của bất phương trình là:
( )
[ ]

; 1 0;1= −∞ − UT
1 đ
b, đk
1≥ −x
, 3 1 3 0 3 1 3− + + > ⇔ + < +b x x x x
. Vì
1≥ −x
nên
3 0+ >x
,Bình phương 2
vế ta được
( ) ( )
2
2
0
, 9 1 3 3 0
3
<

+ < + ⇔ − > ⇔

>

x
b x x x x
x
Kết hợp với đk ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
[
) ( )
1;0 3;= − +∞UT

1đ
2
a, Với m=1 ta có hệ phương trình
2 2
1
3
+ =


+ + =

x y
x y xy
2 2 2
1 1 1
3 ( ) 3 2
+ =  + = + =
 
⇔ ⇔
  
+ + = + − = = −
 

x y x y x y
x y xy x y xy xy
Vậy x, y là nghiệm của phương trình
2
1
2 0
2

= −

− − = ⇔

=

X
X X
X
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (-1; 2) và (2; -1)
0,5đ
0,5đ
b,
2 2 2
2 2
3 4 1
+ = − + = −
 
⇔
 
+ + = = − +
 
x y m x y m
x y xy xy m m
Vậy x, y là nghiệm của phương trình
2 2
(2 ) 4 1 0 (*)− − + − + =X m X m m
Để hệ có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm nên
0
∆ ≥

2 2
2
0 (2 ) 4( 4 1) 0
3 12 0 0 4
∆ ≥ ⇔ − − − + ≥
⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤
m m m
m m m
0,5đ
0,5đ
Vậy
0 4≤ ≤m
thì hệ phương trình có nghiệm
3
Ta có
2 2 2 2
9 40 2 5
sin 1 sin 1 1 sin
2 2 49 49 2 7
+ = ⇒ = − = − = ⇒ = ±
a a a
a cos a cos
Vì
2
2 2
< < ⇒ < <
a
a
π
π π π

nên
sin 0.
2
>
a
Vậy
2 5
sin
2 7
=
a
Khi đó
2 5 3 12 5
sin 2sin . 2. .
2 2 7 7 49
 
= = − = −
 ÷
 
a a
a cos

2
2
3 31
2 1 2. 1
2 7 49
 
= − = − − = −
 ÷

 
a
cosa cos
0,5đ
0,5đ
4
a, Phương trình đường trung tuyến CG là:
4 4 0− + − =x y
1đ
b, Vì M là trung điểm BC nên
2 4 2 6
2 0 4 4
= − = + =


= − = + =

B M C
B M C
x x x
y y y

Vậy điểm B(6; 4)
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
3 ( ) 0 6 2 4
3 ( ) 12 4 4 12
= − + = − + = −


= − + = − + =


A G B C
A G B C
x x x x
y y y y
Vậy điểm A(=4; 12)
1đ
1đ

c, Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chứa cạnh CG chính là bán
kính của đường tròn:

2 2
4.( 4) 12 4
24
( ; )
17
( 4) 1
− − + −
= =
− +
d A CG
Phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh
CG là:
( ) ( )
2 2
576
4 12
17
+ + − =x y

0,5đ
0,5đ
5 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương a+1 và 1 ta có

1 1
1 ( 1).1 1
2 2
+ +
+ = + ≤ = +
a a
a a

Tương tự
1 1
2
+ ≤ +
b
b
và
1 1
2
+ ≤ +
c
c
0,5 đ
Cộng tương ứng 3 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được
7
1 1 1 3
2 2
+ +

+ + + + + ≤ + =
a b c
a b c
Dấu bằng xẩy ra khi a= b= c= 0. khi dó a+ b+ c= 0 (vô lí)
Vậy dấu bằng không xảy ra hay
7
1 1 1
2
+ + + + + <a b c
0,5đ