Tai lieu BDHSG toan 9 co HD

Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
BT NG THC - GTLN-GTNN
Bi 1:
a.Cho a>c ; b>c ; c>0. Chng minh :
( ) ( )
abcbccac
+
.
b. Cho
1,

yyx
. Chng minh :
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
HD: a. -Chia 2 v BT cho
ab
Ri p dng BT Cụ si

- hoc SD BT Bu-nhi-a-cp-ski
b. Xột hiu
xy
y
xy
x
xy
yx
+

+
+
+

+
=
+

+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1

2
1
1
1
1
2222
Bi 2:
a. Vi x,y khụng õm. Tỡm GTNN ca biu thc:
5,2007232
++=
xyxyxP
b.Tỡm GTLN ca
( )
2
21
2
xx
x
xf
+=
.
HD: a. a v dng P = A
2
+ B
2
+ m
b.s dng BT Cụ si:
( )
2
211

)21.(1
2
2
xx
xx
+

Bi 3: Chng minh rng:
2
22
ba
ba
+
+
vi mi a.b
Bi 4:
a. Cho
yxxy
>=
;1
. Chng minh :
22
22


+
yx
yx
.
HD: Bin i

( )
yx
yx
yx
yx

+=

+
2
22
Ri s dng BT Cụ si
b.Cho a ,b , c l 3 cnh ca tam giỏc tha món : a +b + c = 2.
Chng minh :
22
222
<+++
abccba
Bi 5: Cho 2 s thc x , y tha x
2
+ 4y
2
= 1 . Chng minh
2
5

yx
HD: S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski vi
( ) ( )
[ ]

2
2
2
2
2
2
1
12
2
1
.1 yxyx
+














++
Bi 6: Tỡm GTNN ca biu thc:
xzyzxy
P

+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
. Trong ú x , y , z l 3 s dng v
3
222
++
zyx
HD: S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski vi n = 3 sau ú Chng minh
zxyzxyzyx
++++
222
Bi 7: Cho
6;0,0
+
yxyx
. Tỡm GTNN ca biu thc :
yx
yxP
86
23

+++=
.
HD:
yx
yxP
86
23
+++=
=
( )








++






+++
y
y
x
x

yx
8
2
2
2
3
2
3
. Nh rng tớch 2 s khụng ụ thỡ tng
nh nht khi 2 s bng nhau
Trung học cơ sở Minh Đức
1
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
Bi 8: Cho
03

x
. Tỡm GTNN ca biu thc :
( )
xxxxP
++=
2.35.
.
HD: Chng minh
( )
2.32. xxP
+
suy ra GTNN
Bi 9: Cho a + b + c = 1. Chng minh :
6

+++++
accbba
.
HD:S dng BT Cụ si cho
( ) ( ) ( )
cbvcavbav
+++
3
2
;
3
2
;
3
2
vỡ sao li
3
2
?
Bi 10: Tỡm GTNN ca biu thc:
22
11






++

+=
u
v
v
uA
.Vi u + v = 1 v u > 0; v > 0.
HD: Vit
22
11






++






+=
u
v

v
uA
( )
4
1
1
22
22
+






++=
vu
vu
. S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski
Chng minh
( )
22
vu +
2
1



4
1

uv
. T ú tớnh c MinA = 12,5 khi u = v = 1/2
Bi 11: Cho a v b l 2 s dng ; a + b = 5. Tỡm GTNN ca biu thc :
ba
P
11
+=
.
HD: S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski vi
( )
bav
ba
+






+
11
Bi 12: Cho a v b l 2 s dng ; a + b = 2007.
Tỡm GTNN & GTLN ca biu thc :
( ) ( )
abbbaaP
+++=
22
.
HD: Vit
( ) ( )

abbbaaP
+++=
22
=
xy60192007
3

. Tng 2 s khụng i , l thỡ tớch ln nht khi
hiu 2 s bng 1. tớch nh nht khi 1 trong 2 s bng 1
Bi 13: Tỡm GTLN ca biu thc P = 2 - 5x
2
- y
2
4xy + 2x.
Bi 14: Tỡm GTNN ca biu thc
( ) ( )
22
20082007
+++=
xxP
.
Bi 15: Chng minh rng:
20072006
2006
2007
2007
2006
+>+

Trung học cơ sở Minh Đức

2
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
Bi 16: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
22
ybxyx
yaxyx
A
++
+
=
HD: Chia c t v mu cho xy. Nh rng :
( )
( )







<<+
+
0.;2
0.;2
yx
x
y
y
x

yx
x
y
y
x

* Lp lun : A t Max khi
x
y
y
x
+
t Max
A t Min khi
x
y
y
x
+
t Min.
Bi 17: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
22
ybxyx
yaxyx
A
+
++
=
* Lp lun : A t Max khi

x
y
y
x
+
t Min
A t Min khi
x
y
y
x
+
t Max.
Bi 18: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
2
2
2
+
+
=
xx
x
A
Bi 19: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
2
2
2
++

+
=
xx
x
A
PHNG TRèNH
Bi 1:
a. Gii phng trỡnh :
022222
23
=+++
xxx
b. Gii phng trỡnh :
014
54
5
2
2
=+
+
xx
xx
c. Gii phng trỡnh :
9
=++
yxyx
vi x , y

Z.
d. Gii phng trỡnh :

3
1
23
=
xxx
HD:
a.
022222
23
=+++
xxx
( ) ( )
[ ]
02222
2
=+++
xxx
b. t
txx
=+
54
2
c.
9
=++
yxyx

( )( )
1011
=++

yx
d.
3
1
23
=
xxx

( )
( )
3
3
3
14
+=
xx
Bi 3: Gii phng trỡnh:
2
23
1
36
xx
xx
x
+=


HD: t :
txx
=

1
.
2
23
1
36
xx
xx
x
+=



023
2
=+
tt
Trung học cơ sở Minh Đức
3
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
Bi 4: Gii phng trỡnh:
333
511 xxx
=++
Bi 5: Gii phng trỡnh:
0321
3333
=++++++
xxxx
HD: Chn 1 nghim ri chng minh ú l nghim duy nht

Bi 6: Gii phng trỡnh :
xyyxyxxy
++=+++
222
212
vi x , y

Z.
HD:
xyyxyxxy
++=+++
222
212

1
1
2
2

+
x
xyy
Bi 9: Gii phng trỡnh :
( )( )
2412723
22
=++++
xxxx
HD:
( )( )

2412723
22
=++++
xxxx


( )( )
246545
22
=++++
xxxx
Bi 10: Gii phng trỡnh :
03325
22
=++
xyyyx
HD:
03325
22
=++
xyyyx

( )
03254
22
=++
yyxyx
Bi 11: Gii phng trỡnh :
20082008
2

=++
xx
HD: t
02008
=+
tx
. Ta cú:





=
=+
2008
2008
2
2
xt
tx
Bi 12: Gii phng trỡnh :
02323
23
=++
xxx
HD:
02323
23
=++
xxx

( )( )
01222
2
=+
xxx
Bi 13: Gii phng trỡnh :
1032209
2
+=++
xxx
HD:
1032209
2
+=++
xxx


( )
( )
031103
2
2
=+++
xx
Bi 14: Gii phng trỡnh :
( )
1313
22

++=++
xxxx
HD:
( )
1313
22
++=++
xxxx


(
)
(
)
0131
22
=++
xxx
Rỳt gn biu thc
Bi 1: Rỳt gn biu thc:
22222222
2008
1
2007
1
1
5
1
4
1

1
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1 ++++++++++++=C
HD: Vi a + b + c = 0 thỡ:
cbacba
111111
222
++=++
Bi 2: Rỳt gn biu thc:
128181223226
+++=
P
Bi 3: Rỳt gn biu thc:
20112007
1

139
1
95
1
51
1

+
++
+
+
+
+
+
=
Q
H phng trỡnh:
1 Gii h phng trỡnh sau:
( )
( )
( )





=+++
=++
02513
0531
22
2
yxxyxxy
xyxxy
ỏp ỏn:(1;2)
2
Gii h phng trỡnh sau: ỏp ỏn:(1;4); (3;4)

Trung học cơ sở Minh Đức
4
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9





=++
=+
0413
013
24322
22
yyyxyyx
yxyx
3
Cho h phng trỡnh sau:





=+++
=+
)2(;0443
)1(;
81
697
22

24
yxxyyx
yx
a.Nu cú (x,y) tho (2),chng minh
rng :
3
7
1 y
b.Gii h phng trỡnh ó cho
ỏp ỏn: b.Vụ nghim
4
Gii h phng trỡnh sau:
( )( )





=++++++
=
81111
1
tzyx
xyzt
ỏp ỏn: x = y = z = t = 1.
5
Gii h phng trỡnh sau:

=
=
=
1
1
1
xz
zy
yx
ỏp ỏn
x = y = z =
2
51+
6
Gii h phng trỡnh sau:
( ) ( )





=+
=+
yxyyx
xyxyyx
211

11
ỏp ỏn: x = y = 2
7
Gii h phng trỡnh sau:







=+
=+
=+
14
14
14
yxz
xzy
zyx
ỏp ỏn
x = y = z =
2
1
8
Gii h phng trỡnh sau:
( )( )( )
( )

+=+++
=++
3
3
1111
3
xyzzyx
zyx
ỏp ỏn
x = y = z = 1
Bt ng thc- Cc tr:
1 Chng minh vi mi s nguyờn dng n
a.
( )
1
11
1

3223
1
2112
1
<
+++
++
+
+

+
nnnn
a.
( )
11
1
+++ nnnn
1
11
+
=
nn
Trung học cơ sở Minh Đức
5
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
b.
( )
2
1
1

34
1
23
1
12
1
<
+
++

++
nn
( )
( )








+
<








+

+
+=








+









+
+=

+
=
+
=
+
1
11
2
1
11
1
1
1
11
1
11
1
11
1
1
1
.
nn
nnn
n
nnnn
n
nn
n
nn

n
nn
b
2 Chng minh vi mi s nguyờn dng n
>1
n
n
n 2
1

3
1
2
1
1
1
<++++<
( )
12
1
221
1

2
1
1
1
=
+
<

+
=
>>>
nn
nnnnn
n
3 Chng minh
2
1
4321
+
++++
n
nn
( )
( )
nn +++++++ 3212 21
4 Chng minh bt dng thc sau vi cỏc s
dng a,b,c
( )
cabdcba
+++
2222
.
5 Chng minh bt dng thc sau vi cỏc s
dng a,b,c
( )( )
bdacdcba ++
6 Tỡm giỏ tr nh nht :
a.

2008= xxA
b.
yxB +=
bit x,y l cỏc s dng v
1=+
y
b
x
a
c.
yx
yx
C

+
=
22
vi x>y>0 v xy =1
bi:
Bi 1: Cho biu thc :
aa
a
a
A


+


+

=
1
1
1
1
1
42
3
2
a. Rỳt gn A.
b. Tỡm GTLN ca A.
Bi 2: Tỡm GTLN ca P = sinx.cosx v giỏ tr x tng ỳng vi
0
900 x
Bi 3: Gi s (x;y;z) l nghim ca h phng trỡnh :





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx

zyx
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc :
200867
zyxS ++=
Bi 4: Chng minh rng : vi a ,b ,c l cỏc s nguyờn l thỡ phng trỡnh
0
2
=++ cbxax
khụng cú
nghim hu t.
Bi 5: Cho

ABC cú 3 gúc u nhn,cỏc ng cao AD,BE v CF. Ly M bt kỡ thuc DF,k
MN//BC (N thuc DE).Ly I trờn ng thng DE sao cho gúc MAI = gúc BAC.Chng minh rng:
Trung học cơ sở Minh Đức
6
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
a.

MAN l tam giỏc cõn.
b.AMNI l t giỏc ni tip.
c.MA l tia phõn giỏc ca gúc FMI.
Bi 5: Cho t giỏc ABCD ni tip trong ng trũn tõm O.H v I theo th t l hỡnh chiu ca B trờn
AC v DC. Gi M,N theo th t l trung im ca AD v HI.Chng minh rng:
a. BA.BI = BD.BH.
b. Gúc MNB = 90
0
.
Bi 1: Cho

102102101101100100
bababa
+=+=+
. Tớnh
20082008
baP +=
Bi 2: Chng minh rng : Nu
abc
l s nguyờn t thỡ phng trỡnh
0
2
=++ cbxax
vụ nghim.
Bi 3:Gii cỏc h phng trỡnh sau:
a.
( )( )





=++++++
=
81111
1
tzyx
xyzt
b.
( ) ( )

=+
=+
yxyyx
xyxyyx
211
11
Bi 1: E l tõm ca hỡnh vuụng ABCD v M l trung im ca cnh AB. P l im

cnh BC , Q l
im

cnh CD sao cho MP // AQ. Tớnh s o gúc QEP.

Q
E
M
B
A
D
C
P
Bi 2: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, v phõn giỏc AH. Gi I l Trung im ca AB, ng thng
vuụng gúc vi AB ti I ct AH ti O. Dng M l im sao cho O l Trung im ca AM.
a.Chng minh rng t giỏc ABMC l hỡnh thang vuụng .
b.Gi K l Trung im ca OM. Chng minh tam giỏc IKB cõn.
c.Chng minh IK//AC

Trung học cơ sở Minh Đức
7