Kiem tra DT Toán 9( có HD)

Phòng GD&ĐT Lâm Thao
Trờng THCS Lâm Thao
kì thi chọn đội tuyển lớp 9
dự thi cấp huyện năm học 2010-2011
đề thi Môn Toán
Thi gian lm bi: 90phỳt (khụng k thi gian giao )
Ngày thi 23 tháng 11 năm 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 1: (1.5 im)
Chng minh rng nu 3 s a, a + k , a + 2k u l cỏc s nguyờn t ln hn
3 thỡ k

6
Cõu 2: (3.0 im)
a)Giải phơng trình
20112010
20102010
)1(
1
...........
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
+
=
+
++++

x
x
xx
b) Tìm cặp số (x;y;z) thỏa mãn phơng trình:
( x
2
+ 1)( y
2
+ 4)( z
2
+ 9) = 48xyz
Cõu 3 (1,5 im): Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0.
Chứng minh rằng: 2(a
5
+b
5
+c
5
)= 5abc(a
2
+b
2
+ c
2
)
Cõu 4: (3,0 im)
Cho tam giác nhọn ABC có B = 45
0
. Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng
tròn này cắt BA và BC tại D và E.

a)Chứng minh AE = EB.
b)Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng BH

AC
c)Chứng minh OD vuông góc với bán kính đờng tròn ngoại tiếp

BDE
Cõu 5: (1,0 im) Cho a;b;c >0. chng minh
1 1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a

+ + + +
ữ
+ + +

--------------Hết---------
Phòng GD&ĐT Lâm Thao
Trờng THCS Lâm Thao
kì thi chọn đội tuyển lớp 9 dự thi
cấp huyện năm học 2010-2011
Hớng dẫn chấm Môn Toán
Ngày thi 23 tháng 11 năm 2010

Câu
Ni dung Yờu cu im
1
Chng minh rng nu 3 s a, a + k , a + 2k u l cỏc s nguyờn
t ln hn 3 thỡ k

6
Vỡ a v a + k cựng l nờn a + k - a = k

2 (1)
Do a, a + k , a + 2k l cỏc s nguyờn t ln hn 3 nờn chỳng u
l s l v khụng chia ht cho 3, nh vy ớt nht cú 2 s cú cựng s d
khi chia cho 3.
- Nu a v a + k cú cựng s d khi chia cho 3 thỡ a + k -a = k


3.
- Nu a + k v a + 2k cú cựng s d khi chia cho 3 thỡ
a + 2k - a - k = k

3.
- Nu a v a + 2k cú cựng s d khi chia cho 3 thỡ (a + 2k - a = 2k

3 suy ra k

3 Vy k

3 (2)
T (1) v (2) v (2;3) = 1 suy ra k

6 (pcm)
0,5
0,5
0,5
2
a)

20112010
20102010
)1(
1
...........
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
+
=
+
++++
x
x
xx

1
1
1
)1(
1
...
3.2
1
2.1
1

+
=
+
+++
xxx

20112010
1
1
20112010
20102010
+
=
+
+
xx
x
( x

2010)

( )
201002010
0120102010
020102010
201120101
==
=+
=+
+=+

xx
xx
xx
xx
Vậy x=2010
b)x
2
+1

2x , y
2
+ 4

4y, z
2
+ 9

6z
Suy ra ( x
2
+ 1)( y
2
+ 4)( z
2
+ 9)

48xyz
nên ( x
2
+ 1)( y

2
+ 4)( z
2
+ 9) = 48xyz
0,5
0,5
0,5
0,5





=
=
=






=+
=+
=+
3
2
1
69
44

21
2
2
2
z
y
x
zz
yy
xx

Vậy (x;y;z)=(1;2;3)
0,5
0,5
3
Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c .Do đó a+b=-c nên( a+b)
3
=-c
3
Suy ra a
3
+b
3
+c
3
= 3abc;a
2
+b
2
=c

2
-2ab; a
2
+c
2
=b
2
-2ac; c
2
+b
2
=a
2
-2bc
Nên 3abc(a
2
+b
2
+c
2
)= (a
3
+b
3
+c
3
) (a
2
+b
2

+c
2
)
= (a
5
+b
5
+c
5
)+a
3
(b
2
+c
2
)+ b
3
(a
2
+c
2
)+ c
3
(b
2
+a
2
)
= (a
5

+b
5
+c
5
)+a
3
(a
2
-2bc)+ b
3
(b
2
-2ac) +c
3
(c
2
-2ab)
=2(a
5
+b
5
+c
5
)-2abc(a
2
+b
2
+c
2
)

Vậy 3abc(a
2
+b
2
+c
2
)= 2(a
5
+b
5
+c
5
)-2abc(a
2
+b
2
+c
2
)
Hay 2(a
5
+b
5
+c
5
)= 5abc(a
2
+b
2
+ c

2
)
0,5
0,5
0,5
4
I
H
A
C
D
E
O
B
a)Ta có
0
90
=
AEC
nên
ABE

vuông tại E có
0
45
=
ABE

nên
ABE

vuông cân tại E suy ra AE=BE
b)
ABC

có AE; CD là hai đờng cao nên H là trực tâm suy ra BH

AC
c)Đờng tròn ngoại tiếp
BED

đi qua H nhận BH là đờng kính
ta có
00
9090:
;
=+=+
====
IDCODCIDCBDIma
DBIBDIODCOCDDBIDBIBDI
hay ID

OD ( đcm)
1,0
1,0
1,0
5
áp dụng Bất đẳng thức
( )
1 1 1

9x y z
x y z

+ + + +
ữ

với x;y;z >0 Dấu = khi
x=y=z( chứng minh bằng cách phá ngoặc vế trái)
( )
1 1 1
3 3 2 2 2 9
x y x z z y
x y z
x y z y x z x y z


+ + + + = + + + + + + + + + =
ữ ữ ữ
ữ


Ta có
0,5
( )
1 1 1 1 1 1 9
9 (1)
2
1 1 1 9
: (2)
2

1 1 1 9
(3)
2
a b b
a b b a b b a b
Tuongtu
b c c b c
c a a c a
 
+ + + + ≥ ⇔ + + ≥
 ÷
+
 
+ + ≥
+
+ + ≥
+
Céng ba B§T (1) (2) (3) ta cã
1 1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c
0,5