Đề tài tốt nghiệp Đại học

ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
A/. Đặt Vấn Đề:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm
quan trọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực
nghiên cứu khoa học cho các ngành nghề. Bất cứ ngành nào nghề nào cũng
đòi hỏi phải có sự tính toán. Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán,
từ những con số, rồi thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính
khó.v.v. Vì vậy ta phải xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người
mới phát triển toàn diện. Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ
phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện
nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo
chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và
thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội
dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo
tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ
học tập của các em ở nhà trường.
Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức
cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành
cho các trường học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh
cần phải nghiên cứu thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liên
quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải
mới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi
thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học tập, rồi có
ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi
Trang: 1
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
hơn. Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương pháp được coi là
tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định
được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán ta
cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn
và thường xuyên thực hành.
Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật
nhiều các loại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải một
số dạng toán.v.v có liên quan đến lĩnh vực toán học để kịp thời nắm bắt và
vận dụng vào trong thực tế giảng dạy. Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng
dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách
nâng cao đối với những bài toán như “Tìm chữ số tận cùng của một số tự
nhiên viết dưới dạng lũy thừa” có bậc thấp thì học sinh dễ tìm ra, còn
những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vô cùng lúng túng, khó giải.
Chính vì vậy mà Tôi cố nghiên cứu và tìm ra được phương pháp giải đơn
giản đối với số tự nhiên dạng a
n
. Ngoài ra Tôi mạnh dạng đưa ra “ Một số
dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 ” và phương pháp giải,
chúng được đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy về môn số học của
Tôi. Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thế
nhưng không ít Học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được
dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những
cách giải còn phức tạp, chưa tối ưu. Chính vì vậy mà vấn đề Tôi đưa ra là
đề giúp cho các em giải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấp
phải.
Trong thực hiện rất mong quý đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến
để đề tài được bổ sung hoàn chỉnh hơn.
II. Mục đích nghiên cứu:

Trang: 2
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
- Giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và nắm được phương pháp tìm
chữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng lũy thừa và một số dạng toán về
lũy thừa.
- Tạo cho học sinh có được tư duy tính toán, tư duy phán đoán tốt.
- Giúp bản thân có thêm kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy đạt hiệu
quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ngày càn tiến bộ.
III. Nhiệm vụ của đề tài:
- Đưa ra một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng
a
n
với a
≠
0 và a
∈
N, n
∈
N. Nhưng vì a=1 nên a
n
luôn luôn có giá trị là 1.
nên đề tài chỉ xét với các trường hợp a

1.
- Đưa ra một số dạng toán về lũy thừa và phương pháp giải.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh thêm những phương pháp cơ bản

về giải và tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên; Biết giải tốt một số bài
toán về lũy thừa.
- Chọn ra một số cách giải khác nhằm mở rộng vốn hiểu biết cho học sinh.
IV. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài áp dụng cho cho học sinh cấp 2: Từ lớp 6 cho đến lớp 9
V. Dự đoán kết quả đề tài:
Áp dụng đề tài, học sinh sẽ tìm được chữ số tận cùng của một số tự nhiên
dễ dàng hơn, thậm chí có thể nhẩm được kết quả. Giải được một số dạng
toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 nhằm củng cố kiến thức vững
chắc cho các lớp tiếp theo.
Trang: 3
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
B. NỘI DUNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ
Phần 1: Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
dạng : a
n
với: a
≠
0 và a

1, n
∈
N.
( Gọi tắt là phương pháp H )
1. Theo định nghĩa về lũy thừa ở số học lớp 6 ta được:

a
n
= a . a . . a
n thừa số
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 2
Trong dãy các lũy thừa 2
1
, 2
2
, 2
3
, . . . 2
n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa.
Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
2-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 2
1
; 2
5
; 2
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 2.
D
2-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 2
2

; 2
6
; 2
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 4.
D
2-3
là tập hợp các lũy thừa có dạng 2
3
; 2
7
; 2
11
; … và giá trị của mỗi lũy
thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 8.
D
2-4
là tập hợp các lũy thừa có dạng 2
4
; 2
8
; 2
12
; …và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa
của dãy D
2
= 2

1
, 2
2
, 2
3
, . . . 2
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự
mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Trang: 4
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng
của dãy D
2
= 2
1
, 2
2
, 2
3
, . . . 2
n

như sau:
Ví dụ1: Tìm chữ số tận cùng của A = 2

65
; B = 2
2003
Giải:
1. Vì 2
65
∈
2
n
nên khi ta chia số mũ 65 cho 4 ta được số dư là 1
∈
D
2-1
Vậy số 2
65
có chữ số tận cùng là 2
Hay A có chữ số tận cùng là 2
2. Vì 2
2003

∈
2
n
Nên khi ta chia số mũ 2003 cho 4 ta được số dư là 3
∈
D
2-3
Vậy B có chữ số tận cùng là 8.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của số: 32
44

; 1092
14
; 352
1001
; 122
8051
.
Trang: 5
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
D
2-1 =
2
1
; 2
5
; 2
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2
D
2-2 =
2
2
; 2
6
; 2
10
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D
2-3 =

2
3
; 2
7
; 2
11
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D
2-4 =
2
4
; 2
8
; 2
12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 12
n
; 22
n
; 32
n
; đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
2-1
. nên có chữ số tận cùng là 2
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
2-2

. Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
2-3
. Nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
2-4
. Nên có chữ số tận cùng là 6

ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Giải:
1. Vì 32 = 30 + 2 nên muốn tìm chữ số tận cùng của 32
44
ta chỉ việc tìm chữ
số tận cùng của 2
44
là thỏa mãn ( do những số chẳn chục khi lũy thừa n
lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ). Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư
bằng 0, mà số dư vừa tìm được lại thuộc D
2-4.
Vậy Số 32
44
có chữ số tận cùng là 6.
2. Vì 1092 = 1090 + 2. cách tìm tương tự như bài toán trên.
Muốn tìm chữ số tận cùng của số 1092
14
ta đi tìm chữ số tận cùng của 2
14
Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D

2-2
nên có chữ số
tận cùng 4.
Vậy số 1092
14
có chữ số tận cùng là 4.
3. Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2. Nên 352
1001
và 2
1001
có chữ số tận
cùng giống nhau.
Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1.
Ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2.
Vậy: 352
1001
có chữ số tận cùng là 2.
4. Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2. nên 122
8051
và 2
8051
có chữ số tận
cùng bằng nhau.
Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3. Mà ứng
với số dư 3 ta có chữ số tận cùng là 8.
Vậy: 122
8051
có chữ số tận cùng là 8.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 3
Trong dãy các lũy thừa 3

1
, 3
2
, 3
3
, . . . 3
n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa.
Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
Trang: 6
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
D
3-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 3
1
; 3
5
; 3
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 3.
D
3-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 3
2

; 3
6
; 3
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 9.
D
3-3
là tập hợp các lũy thừa có dạng 3
3
; 3
7
; 3
11
; … và giá trị của mỗi lũy
thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 7.
D
3-4
là tập hợp các lũy thừa có dạng 3
4
; 3
8
; 3
12
; …và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 1.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa
của dãy D
3
= 3

1
, 3
2
, 3
3
, . . . 3
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự
mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng
của dãy D
3
= 3
1
, 3
2
, 3
3
, . . . 3
n

như sau:
Trang: 7
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
D
3-1 =
3
1

; 3
5
; 3
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3
D
3-2 =
3
2
; 3
6
; 3
10
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9
D
3-3 =
3
3
; 3
7
; 3
11
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7
D
3-4 =
3
4
; 3
8
; 3

12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
Những số có nhiều chữ số như 13
n
; 23
n
; 33
n
; đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
3-1
. nên có chữ số tận cùng là 3
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
3-2
. Nên có chữ số tận cùng là 9
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
3-3
. Nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
3-4
. Nên có chữ số tận cùng là 1

ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của: 3
999
; 43
126

; 2153
5717
.
Giải:
* Ta chia số mũ 999 cho 4 ta được số dư là 3, do số dư này thuộc D
3-3.
Nên chữ số tận cùng của số 3
999
là: 7.
* Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận cùng của số 43
126
lại bằng chữ số tận cùng
của số 3
126
. Dựa vào cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa với cơ số 3
( 126 : 4 = 31 dư 2 ), mà số dư thuộc D
3-2.
Vậy: Số 43
126
có chữ số tận cùng là 9.
* Ta thấy: số 2153 có chữ số tận cùng là 3, nên số 2153
5717
và số 3
5717
có
chữ số tận cùng bằng nhau. Do đó ta có cách tìm chữ số tận cùng như sau:
Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta có
chữ số tận cùng là 3.
Vậy: 2153
5717

có chữ số tận cùng là 3
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 4
Trong dãy các lũy thừa 4
1
, 4
2
, 4
3
, . . . 4
n
luôn tồn tại hai dãy lũy thừa.
Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
4-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 4
1
; 4
3
; 4
5
; … và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 4.
D
4-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 4
2
; 4
4
; 4

6
;… và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa
của dãy D
4
= 4
1
, 4
2
, 4
3
, . . . 4
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự
mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2.
Trang: 8
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Điều này cho thấy D
4
chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa
với số mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng
của dãy

D
4
= 4
1
, 4
2
, 4
3
, . . . 4
n

như sau:
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 4
18
, 4
87
, 1894
2n
Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6.
Nếu số mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận
cùng là 6. Vậy:
* Số 4
18
có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn )
* Số 4
87
có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ )
Trang: 9
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.

D
4-1
=

4
1
; 4
3
; 4
3
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D
4-2
=

4
2
; 4
4
; 4
6
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 14
n
; 24
n
; 34
n
; đều áp dụng như
trên.

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
4-1
. nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
4-2
. Nên có chữ số tận cùng là 6
Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số
mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số
đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng
của số đó là 4.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
* Số 1894
2n
= ( 1890 + 4 )
2n
4
2n
có chữ số tận cùng là 6 ( do 2n
là số mũ chẳn ).
Vậy: số 1894
2n
có chữ số tận cùng là 6.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 5
Khi a = 5 thì 5
n
( Với n
∈

N
*
) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 5.
Ví dụ:
1. 5
3
có chữ số tận cùng bằng 5
2. 5
100
có chữ số rận cùng bằng 5
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 6
Khi a = 6 Thì 6
n
( Với n
∈
N
*
) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 6.
Ví dụ:
1. 6
1
= 6;
2. 6
2
= 36;
3. 6
3
= 216;
4. 6
4

= 1296
5. 6
n
= 6
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 7
Trong dãy các lũy thừa 7
1
, 7
2
, 7
3
, . . . 7
n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
7-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
1
; 7
5
; 7
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 7.
D
7-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
2

; 7
6
; 7
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 9.
Trang: 10
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
D
7-3
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
3
; 7
7
; 7
11
; … và giá trị của mỗi lũy
thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 3.
D
7-4
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
4
; 7
8
; 7
12

; …và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 1.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa
của dãy D
7
= 7
1
, 7
2
, 7
3
, . . . 7
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự
mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng
của dãy D
7
= 7
1
, 7
2
, 7
3
, . . . 7
n

như sau:
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 7

1234
; 7
2009
; 87
55
?
Trang: 11
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
D
7-1
=

7
1
; 7
5
; 7
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7
D
7-2
=

7
2
; 7
6
; 7
10

;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9
D
7-3
=

7
3
; 7
7
; 7
11
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3
D
7-4
=

7
4
; 7
8
; 7
12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
Những số có nhiều chữ số như 17
n
; 27
n
; 37
n
; đều áp dụng như

trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
7-1
. nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
7-2
. Nên có chữ số tận cùng là 9
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
7-3
. Nên có chữ số tận cùng là 3
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
7-4
. Nên có chữ số tận cùng là 1
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Giải:
1. Ta chia số mũ 1234 cho 4 ta được số dư bằng 2. số dư này thuộc
dãy D
7-2.
Nên số 7
1234
có chữ số tận cùng là 9.
2. Tương tự: khi ta chia số mũ 2009 cho 4 ta được số dư bằng 1, số
dư này thuộc dãy D
7-1
. Nên số 7
2009
có chữ số tận cùng là 7.

3. Vì 87 = 80 + 7. Do đó việc tìm chữ số tận cùng của 87
55
ta chỉ
việc tìm chữ số tận cùng của số 7
55
. Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phép
chia này có số dư là 3, số dư này thuộc D
7-3
. Nên 7
55
có chữ số tận
cùng là 3. Vậy số 87
55
có số tận cùng là 3.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 8
Trong dãy các lũy thừa 8
1
, 8
2
, 8
3
, . . . 8
n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa.
Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
8-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
1

; 8
5
; 8
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 8.
D
8-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
2
; 8
6
; 8
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 4.
D
8-3
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
3
; 8
7
; 8
11
; … và giá trị của mỗi lũy
thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 2.
D
8-4
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
4

; 8
8
; 8
12
; …và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa
của dãy D
8
= 8
1
, 8
2
, 8
3
, . . . 8
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự
mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Trang: 12
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng
của dãy D
8
= 8

1
, 8
2
, 8
3
, . . . 8
n

như sau:
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của các số sau
8
7
; 8
50
; 8
1101
; 518
400
Giải:
* Tìm chữ số tận cùng của số 8
7
Ta có: 7 chia 4 dư 3; Số dư này thuộc dãy D
8-3
. Nên số 8
7
có chữ số tận
cùng là 2.
* Tìm chữ số tận cùng của số 8
50
Trang: 13

Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
D
8-1
=

8
1
; 8
5
; 8
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D
8-2
=

8
2
; 8
6
; 8
10
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D
8-3
=

8
3

; 8
7
; 8
11
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2
D
8-4
=

8
4
; 8
8
; 8
12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 18
n
; 28
n
; 38
n
; đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
8-1
. nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
8-2

. Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
8-3
. Nên có chữ số tận cùng là 2
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
8-4
. Nên có chữ số tận cùng là 6
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ta có: 50 chia 4 dư 2; mà số dư này thuộc D
8-2
. Nên số 8
50
có chữ số tận
cùng là 4.
* Tìm chữ số tận cùng của số 8
1101
Ta có: 1101 chia 4 dư 1; số dư này lại thuộc dãy D
8-1
. Nên số 8
1101
có chữ
số tận cùng là 8.
* Tìm chữ số tận cùng của số 518
400
Để tìm chữ số tận cùng của số 518
400
ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của số
8

400
, Vì: 518 = 510 + 8.
Mà khi ta chia số mũ 400 cho 4 ta được phép chia hết, nên số dư
bằng 0 thuộc D
8-4 .
Do đó số 8
400
có chữ số tận cùng là 6, hay số 518
400
có
chữ số tận cùng là 6.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 9
Trong dãy các lũy thừa 9
1
, 9
2
, 9
3
, . . . 9
n
luôn tồn tại hai dãy lũy thừa.
Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
9-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 9
1
; 9
3
; 9

5
; … và giá trị của mỗi lũy
thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 9.
D
9-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 9
2
; 9
4
; 9
6
;… và giá trị của mỗi lũy thừa
ở dãy này có chữ số tận cùng là 1.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa
của dãy D
9
= 9
1
, 9
2
, 9
3
, . . . 9
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự
mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2.
Điều này cho thấy D
9
chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa

với số mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn
Trang: 14
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng
của dãy

D
9
= 9
1
, 9
2
, 9
3
, . . . 9
n

như sau:
Những số có nhiều chữ số như 19
n
; 29
n
; 39
n
; đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2

*Nếu số dư là 1 thì thuộc D
9-1
. nên có chữ số tận cùng là 9
*Nếu số dư là 2 thì thuộc D
9-2
. Nên có chữ số tận cùng là 1
Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ;
Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 1, còn nếu
số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 9
Chú ý:
1. Những số chẳn chục như 10; 20; 30; …. Khi nâng lên lũy thừa với số
mũ lớn hơn 0 thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 0.
2. Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ
bất kỳ thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 1.
3. Các số có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa với số mũ
khác 0 cũng có chữ số tận cùng bằng 0;1;5;6.
Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC.
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 9
9
9
.
Trang: 15
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
D
9-1
=

9
1

; 9
3
; 9
3
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9
D
9-2
=

9
2
; 9
4
; 9
6
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Giải: Cách 1: Theo phương pháp (H) số 9
9
có số mũ lẻ. Nên số này có chữ
số tận cùng là 9 cũng là số lẻ. Do đó số 9
9
9
có

chữ số tận cùng là bằng 9.
Cách 2: Đặt M = 9
k

, k
∈
N.
+ Nếu k chẳn
⇒
k = 2m, khi đó:
M = 9
2m
= (81)
m
= (80+1)
m
= (10q+1)
m
= 10t+1 (với m,q,t
∈
N ).
Vậy M có chữ số tận cùng là 1 nếu k chẳn.
+ Nếu k lẻ
⇒
k = 2m+1, khi đó:
M = 9
2m+1
= 9
2m
.9 = (10q+1).9 = 10t+9. ( với m,q,t
∈
N ).
Vậy M có chữ số tận cùng là 9 nếu k lẻ.
Ta có: 9

9
là một số lẻ. Do đó: A = 9
9
9
có chữ số tận cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số B = 2
3
4
.
Giải:
Cách 1:
Do 2
3
4
= 2
81
. Theo phương pháp (H), Ta chia số mũ 81 cho 4 ta có số dư
của phép chia bằng 1 Thuộc D
2-1
. Nên số B = 2
3
4
có chữ số tận cùng là 2.
Cách 2:
B = 2
3
4
= 2
81
= (2

5
)
16
.2 = (30+2)
16
.2 = ( m6 ).2 = 10t+2.
Vậy: B = 2
3
4
có chữ số tận cùng là 2.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số 6
2002
; 7
1999
; 18
177
.
Giải:
* Theo phương pháp (H). Ta có: 6
n
luôn có chữ số tận cùng bằng 6.
Trang: 16
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Nên: số 6
2002
có chữ số tận cùng bằng 6.

* Cách 1: Theo phương pháp (H), ta chia số mũ 1999 cho 4 được số dư là
3; Số dư này thuộc D
7-3
.
Vậy số 7
1999
có chữ số tận cùng là 3.
Cách 2: Ta có 7
4
= 2401 tận cùng là 1
Nên: 7
1999
= (7
4
)
496+3
= (2401)
496
.343 = (… 1). 343 = ( 3)
Suy ra: 7
1999
có chữ số tận cùng là 3.
* Cách 1.
Ta có: 18
177
= (10+8)
177
theo phương pháp (H) ta chỉ tìm chữ số tận
cùng của 8
177

, ( vì: 177: 4 dư 1). Nên số 8
177
có chữ số tận cùng là 8.
Do đó: 18
177
có chữ số tận cùng là 8.
Cách 2: Ta có 18
4
= n6 có chữ số tận cùng là 6.
Suy ra: 8
177
= (18
4
)
44
.18 = (… 6).18 = (…….8)
Vậy: 8
177
có chữ số tận cùng là 8.
DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG DƯ:
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0, hai số nguyên a và b chia cho m có
cùng số dư, ta nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết a
≡
b (mod m).
2. Định lý:
Ba mệnh đề sau tương với nhau:
2.1/. a đồng dư với b theo mô đun m;
2.2/. a – b chia hết cho m;
2.3/. Có một số nguyên t sao cho a = b + m.t.

3. Tính chất:
Trang: 17
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
3.1/. a
≡
a (mod m);
3.2/. a
≡
b (mod m)
⇒
a
≡
c (mod m).
b
≡
c (mod m)
3.3/. a
≡
b (mod m) a
±
c
≡
b
±
d (mod m)
⇒

c
≡
d (mod m) a.c
≡
b.d (mod m)
Hệ quả: a + c
≡
b (mod m)
⇒
a
≡
b – c (mod m)
a
≡
b (mod m)
⇒
a
n

≡
b
n
(mod m)
3.4/. Nếu a
≡
b (mod m); k
∈
ƯC (a,b), (k,m) = 1 Thì
k

b
k
a
=
(mod m).
3.5/. a
≡
b (mod m). với k
∈
z, k > 0 suy ra: ka
≡
kb (mod m).
3.6/. d
∈
ƯC (a,b,m) thì a
≡
b (mod m) suy ra:
k
b
k
a
=
(mod
d
m
).
3.7/. a
≡
b (mod m
1

) và a
≡
b (mod m
2
) suy ra a
≡
b (mod m)
M = BCNN ( m
1
, m
2
).
Hệ quả: ( m
1
,

m
2
, …… , m
n
) = 1 và nguyên tố từng đôi một.
Suy ra: a
≡
b (mod m
1
), a
≡
b (mod m
2
), …… a

≡
b (mod m
n
)
a
≡
b (mod m
1
.m
2
……m
n
).
II. Bài tập áp dụng:
Tìm chữ số tận cùng của số 1991
1997
, 6
195
, 1997
1996
Giải:
*). Ta có: 1991
≡
1 (mod 10) suy ra 1991
1997

≡
1 (mod 10)
Vậy: 1991
1997

có chữ số tận cùng là 1.
*). Ta có: 6
2
= 36
≡
6 (mod 10) suy ra 6
n

≡
6 (mod 10)
Với N là số tự nhiên khác 0.
Trang: 18
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Suy ra: 6
195

≡
6 (mod 10).
Vậy chữ số tận cùng của số 6
195
là 6.
*). Ta có: 1997
≡
7 (mod 10)
⇒
1997

2

≡
49
≡
9 (mod 10)
Suy ra: 1997
4

≡
1 (mod 10) Suy ra (1997
4
)
409

≡
1 (mod 10)
Suy ra 1997
1996
≡
1 (mod 10).
Vậy: 1997
1996
có chữ số tận cùng là 1.
PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG
CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN.
Phương pháp 1:
Nếu x
∈
N và x = 100 + y; trong đó k,y

∈
N thì hai chữ số tận cùng
của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y
≤
x. Như
vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay
vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y ( nhỏ hơn ).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việ tìm hai chữ số tận cùng của y càng đơn
giản hơn.
Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận
cùng của hai số tự nhiên x = a
m
như sau:
Trường hợp 1:
Nếu a chẳn thì x = a
m

2
m
Gọi n là số tự nhiên sao cho a
n-1


25
Viết m = pn (p,q
∈
N ), trong đó q là số nhỏ nhất để a
q


4 ta có:
x = a
m
= a
q
(a
pn
-1) + a
q
. Vì a
n-1

25
Mặt khác: Do ƯCLN ( 4;25 ) = 1 nên a
q
( a
pn
-1 )

100
Vậy hai chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là hai chữ số tận cùng
của .
Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của a
q
.
Trang: 19
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.

ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho a
n-1



100
Viết m = un + v ( u,v
∈
N, 0
≤
v < n ) Ta có:
X = a
m
= a
v
( a
un
-1 ) + a
v
.
Vì: a
n-1



100. Vậy hai chữ số tận cùng của a
m

cũng chính là hai
chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của a
v
.
Với khoảng hai trường hợp nêu trên là chìa khóa để giải bài toán này
là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n; Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ
nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của a
q
và a
v
.
Phương pháp 2:
Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý đến những
số đặc biệt sau:
- Các số có chữ số tận cùng bằng: 01; 25; 76. Khi nâng lên lũy
thừa với số mũ khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng bằng: 01; 25; 76.
- Các số 3
20
; (hoặc 81
5
); 7
4
; 51
2
; 99
2
. Có hai chữ số tận cùng là
01.

- Các số 2
20
; 6
5
; 18
4
; 24
2
; 68
4
; 74
2
. Có hai chữ số tận cùng là
76.
Các bài toán tìm hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2
999
.
Giải:
Ta có: 2
10
+ 1 = 1024 + 1 = 1025

25
Suy ra: 2
10
+ 1

25.
Ta lại có: 2

1000
– 1 = [(2
20
)
50
– 1]

(2
20
– 1).
Trang: 20
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Suy ra: 2
1000
– 1

25.
Do đó: 2
1000
có hai chữ số tận cùng là 76, vì 2
1000


4.
Suy ra: 2
999

có hai chữ số tận cùng là 88.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 7
8966
.
Giải:
Ta có: 7
4
có hai chữ số tận cùng là 01.
Suy ra: 7
8966
= (7
4
)
2241
.7
2
= (a01)
2241
. 49 = c01 . 49 = n49 ( Với a,c,n
∈
N)
Vậy: 7
8966
có hai chữ số tận cùng là 49.
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 24
7561
.
Giải:
Ta có: 24
2

có hai chữ số tận cùng là 76 nên:
Suy ra: 24
7561
= (24
2
)
3765
. 24 = (m76)
3765
. 24 = k76 . 24 = n24.
(Với m,k,n
∈
N)
Vậy: 24
7561
có hai chữ số tận cùng bằng 24.
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 81
6251
.
Giải:
Ta có: 81
5
có hai chữ số tận cùng là 01.
Nên: 81
6251
= ( 81
5
)
1250
. 81 = (k01)

1250
.81 = t01.81 = m81. (Với k,t,m
∈
N)
Vậy: 81
6251
có hai chữ số tận cùng là 81
Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của 3
1000
.
Giải:
Ta có: 3
4

≡
19 (mod 100) suy ra 3
8

≡
19
2

≡
6 (mod 100).
Suy ra: 3
10

≡
61.9
≡

49 (mod 100) suy ra 3
100

≡
49
2

≡
1 (mod 100).
Suy ra: 3
1000

≡
01 (mod 100).
Vậy: 3
1000
có hai chữ số tận cùng là 01.
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của 2
1000
.
Trang: 21
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Giải:
Ta có: 2
10
= 1024 suy ra: (2

10
)
2
= 76.
Suy ra: 2
1000
= ( 76)
50
= 76.
Vậy : 2
1000
có hai chữ số tận cùng là 76.
Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 26
2088
.
Giải:
Ta có: 26
4
có hai chữ số tận cùng là 76.
Suy ra: 26
2088
= (24
4
)
522
= ( 76 )
522
= 76. ( vì số có hai chữ số tận cùng
là 76 khi ta lũy thừa bất kỳ với số mũ khác 0 nào thì luôn có hai chữ số tận
cùng là 76 )

Vậy: 26
2088
có hai chữ số tận cùng là 76.
Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của 7
1991
.
Giải:
Ta có: 7
4
= 2401; số có hai chữ số tận cùng là 01, khi ta nâng lên lũy thừa
nào khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng là 01.
Do: 7
1991
= ( 7
4
)
497
. 7
3
= ( 01)
497
. 343 = ( 01).343 = 43.
Vậy: 7
1991
có hai chữ số tận cùng là 43.
Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của 68
194
.
Giải:
Ta có: 68

4
= 21381376. số có hai chữ số tận cùng là 76 và 68
2
= 4624 số có
hai chữ số tận cùng là 24.
Ta lại có: 68
194
= ( 68
4
)
48
. 68
2
= (n76)
48
. 4624 = k76. 4624 = t24.
Vậy: 68
194
có hai chữ số tận cùng là 24.
Phần 3: Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6
B- NỘI DUNG:
Trang: 22
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
I- Lý thuyết:
Dựa vào một số kiến thức sau:
1) Định nghĩa về lũy thừa.

2) các phép tính về lũy thừa.
3) Chữ số tận cùng của một lũy thừa.
4) Khi nào thì hai lũy thừa bằng nhau.
5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức?
6) Tính chất chia hết.
7) Tính chất của những dãy toán có quy luật.
8) Hệ thống ghi số.
II- Bài tập:
1. Viết biểu thức dưới dạng một lũy thừa:
a) Ph©n tÝch c¸c c¬ sè ra thõa sè nguyªn tè.
Bµi 1: Viết biểu thức dưới dạng một lũy thừa ( bằng nhiều cách
nếu có).
a) 4
10
. 8
15
b) 8
2
. 25
3

Bài giải :
a) 4
10
. 8
15
= (2
2
)
10

. (2
3
)
15
= 2
20
. 2
45
= 2
65
Ta thấy: 2
65
= (2
5
)
13
= 32
13
2
65
= (2
13
)
5
= 8192
5
Vậy ta có 3 cách viết là:
4
10
. 8

15
= 2
65
4
10
. 8
15
= 32
13
4
10
. 8
15
= 8192
5
b) 8
2
. 25
3
= (2
3
)
2
. (5
2
)
3
= 2
6
. 5

6
= 10
6
Ta thấy: 10
6
= (10
2
)
3
= 100
3
10
6
= (10
3
)
2
= 1000
2
Vậy ta có 3 cách viết là:
Trang: 23
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu
Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.
TI NGHIP V S PHM MễN TON
PHNG PHP TèM CH S TN CNG CA MT S T NHIấN DI DNG LY THA
V MT S DNG TON V LY THA TRONG CHNG TRèNH TON 6
8
2
. 25
3

= 10
6
8
2
. 25
3
= 100
3
8
2
. 25
3
= 1000
2
b) Nhóm các thừa số một cách thích hợp.
Bài 2: Vit biu thc di dng mt ly tha.
( 2a
3
x
2
y) . ( 8a
2
x
3
y
4
) . ( 16a
3
x
3

y
3
)
Bi gii :
( 2a
3
.x
3
y ) . (8a
2
x
3
y
4
) . ( 16a
3
x
3
y
3
)
= (2.8.16) (a
3
. a
2
. a
3
) . ( x
2
x

3
x
3
) . (y.y
4
.y
3
)
= 2
8
.a
8
. x
8
. y
8
= (2axy)
8
Bài 3: Chng t rng mi tng ( hiu ) sau õy l mt s chớnh
phng.
a) 3
2
+ 4
2
b) 13
2
-5
2
c) 1
3

+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
Bài giải:
a) 3
2
+ 4
2
= 9 + 16 = 25 = 5
2
b) 13
2
- 5
2
= 169 - 25 = 144 = 12
2
c) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
= (1 + 2 + 3 + 4)
2
= 10

2
2- Tỡm ch s tn cựng ca mt s t nhiờn.
* Luỹ thừa có cơ số tận cùng đặc biệt ( x, y,

N)
n
XO
=
YO
(n N *)
n
X1
=
1Y

n
X 5
=
5Y
(n N *)
66 YX =
(n N *)
Bài 1: Tỡm ch s tn cựng ca cỏc ly tha sau:
a) 4
2k
; 4
2k + 1
.
b) 9
2k

;

9
2k + 1
( k N

)
Bài giải:
Trang: 24
Ngi thc hin: Nguyn Phc Hiu
Giỏo Viờn Trng THCS Thnh Hũa, Huyn Phng Hip, Tnh Hu Giang.
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MÔN TOÁN
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
a) Ta cã: 4
2k
= (4
2
)
k
=
( )
6 6 =
k
4
2k + 1
= (4
2
)
k

.4 =
4 4.6 =

b) T¬ng tù ta cã: 9
2k
=
1

9
2k + 1
=
9

Bµi 2: Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau.
a) 2
2005
; 3
2006
b) 7
2007
; 8
2007

Bµi gi¶i:
a) Ta cã: 2
2005
= (2
4
)
501

. 2 =
2 2.6
501
=

3
2006
= (3
4
)
501
. 3
2
=
9 9.)1 (
501
=
b) Ta cã: 7
2007
= (7
4
)
501
. 7
3
= (
1
)
501
.3 =

3
8
2007
= (8
4
)
501
. 8
3
= (
)6
501
. 2 =
2
3. Tính giá trị của biểu thức:
a) TÝnh theo quy t¾c thùc hiÖn phÐp tÝnh:
Bµi 1: Tính giá trị của biểu thức sau:
3
3
. 9 - 3
4
. 3 + 5
8
. 5
0
- 5
12
: 25
2

Bµi gi¶i:
3
3
. 9 - 3
4
. 3 + 5
8
. 5
0
- 5
12
: 25
2
= 3
5
- 3
5
+ 5
8
- 5
8
= 0
b) Sö dông tÝnh chÊt phÐp tÝnh.
Bµi 1: Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí nhất.
A = ( 25
6
+ 15
6
- 10
6

) : 5
6
B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 8
2
Bµi gi¶i:
A = ( 25
6
+ 15
6
- 10
6
) : 5
6
= ( 25: 5 )
6
+ ( 15 : 5)
6
- (10:5)
6
= 5
6
+ 3
6
- 2
6
= 15625 + 729 - 64 = 16290
B = 9 ! -8 ! - 7! .8
2
Trang: 25
Người thực hiện: Nguyễn Phước Hiếu

Giáo Viên Trường THCS Thạnh Hòa, Huyện Phụng Hiệp, Tỉnh Hậu Giang.