CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
y = f(x) và y = g(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*)
BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau.
1.
2
2
2
−
−+−
=
x
xx
y
và
12
2
+−= xxy
ĐS: A(0; 1) và B(1; 2)
2.
222
23
++−= xxxy
và
xy −= 1
BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số
13
23
+++= mxxxy
cắt đường thẳng y = 1 – 2x
tại ba điểm phân biệt.
ĐS:
}0{\
2
3
;
2
3
−∈m
BÀI 3*. Cho hàm số
323
43 aaxxy +−=
(C
a
) với a là tham số
1. Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (C
a
) đối xứng
nhau qua đường thẳng y = x
ĐS: a =
2
2
±
2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (C
a
) tại ba
điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
ĐS: a= 0; a =
2
2
±
BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số
2
36
2
+
+−
=
x
mxx
y
và
đường thẳng y
=mx
KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm
Nếu m
≠
1 và m
≠
-16/3 thì có 2 giao điểm pb
BÀI 5. Cho hàm số
1
1
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho AB =
12
ĐS: m = -3
hoặc m = 5
BÀI 6. Cho hàm số
2
92
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân
biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8
2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại
hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm.
ĐS:
3
2
−=k
BÀI 7. Cho hàm số
2
12
+
+
=
x
x
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB ngắn nhất
ĐS: m = 0
VM-TD-BN/T10-2008
1
DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
f(x) = m (*)
PHƯƠNG PHÁP:
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và
đường thẳng y = m.
Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m
BÀI 1. Cho hàm số
23
23
−+= xxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
mxx =−+ 23
23
ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1
n
0
m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n
0
.
-2<m<2: pt có 3 n
0
phân biệt
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
03
23
=−− xxa
ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n
0
a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n
0
.
-4<a<4: pt có 3 n
0
phân biệt
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
2323
33 kkxx +=+
DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy =
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
(Đồ thị hàm số
)(xfy =
luôn nằm trên trục hoành )
2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
( )
xfy =
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy
(Đồ thị hàm số chẵn
( )
xfy =
luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng )
3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy =
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox
(Đồ thị hàm số
)(xfy =
luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng
vì M(x
0
; y
0
) và M’(x
0
; y
0
) cùng thuộc đồ thị h/s )
4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y =
)()( xvxu
như sau:
Ta viết:
<−
≥
==
0u(x) khi )().(
0u(x) khi )().(
)()(
xvxu
xvxu
xvxuy
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x)
≥
0)
+ Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0)
BÀI 1. Cho hàm số
23
3xxy −=
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
mxx =+−
23
3
VM-TD-BN/T10-2008
2
ĐS: m<0: vô n
0
; m=0: có 3 n
0
; 0<m<2: có 6 n
0
; m=2:có 4 n
0
; m>2: có 2 n
0
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2
3
33 xxa −=
BÀI 2. Cho hàm số
3
2
2
−
−−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
m
x
xx
=
−
−−
3
2
2
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
a
x
xx
3
3
2
2
=
−
−−
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
23
2
2
k
x
xx
=
−
−−
5. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình:
t
x
xx
=
−
−−
3
2
2
BÀI 3. Cho hàm số
2
)2)(1(
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương
3. Tìm m để phương trình:
m
x
xx
=
−
+−
2
)2(1
có đúng 3 nghiệm phân biệt
BÀI 4. Cho hàm số
1
32
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
)1(
2
1
32
2
−
+
=+− x
k
xx
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3142
2
=−++− xmxx
BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số
41292
23
−+−= xxxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Tìm m để phương trình:
mxxx =+− 1292
2
3
có 6 nghiệm phân biệt.
ĐS:4<m<5
BÀI 6. Cho hàm số
23
23
+−= xxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
BÀI 7. Cho hàm số
45
24
+−= xxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2)1(4
22
−=−− axx
BÀI 8. Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
VM-TD-BN/T10-2008
3
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
k
x
xx
=
−
−+
1
1
2
3. Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
) khác
nhau thỏa mãn điều kiện:
=+
=+
myx
myx
BB
AA
BÀI 9. Cho hàm số
2
54
2
−
+−
=
x
xx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
025)4(
2
=+++− mxmx
ĐS: m<-5/2 hay m=
±
2: có 2 n
0
.
-5/2<m<-2hay m>2: có 4 n
0
.
m=-5/2: có 3 n
0
. -2<m<2: vô n
0
.
DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
M(x
0
; y
0
) ta có:
))(('
000
xxxfyy −=−
hay
))(('
000
xxxyyy −=−
Trong đó: M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm; y
0
= f(x
0
) ; k = f’(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến
1. Nếu cho hoành độ x
0
thì tính y
0
= f(x
0
) và hệ số góc k = f’(x
0
)
2. Nếu cho tung độ y
0
thì giải pt: f(x) = y
0
suy ra hoành độ x = x
0
từ đó tính k = f’(x
0
)
3. Nếu cho hệ số góc k = k
0
thì có 2 cách:
Cách 1. Giải pt: f’(x) = k
0
⇒
x = x
0
⇒
y
0
= f(x
0
)
Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k
0
x + m (
∆
) (cần tìm m)
(
∆
) tiếp xúc với (C)
⇔
hệ pt sau có nghiệm:
=
+=
0
0
)('
)(
kxf
mxkxf
⇒
x ?
⇒
m ?
4. Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì
Cách 1. Gọi tiếp điểm
);(
00
yxM
. Ta có
)(
00
xfy =
và
))(('
000
xxxfyy −=−
⇒
))((')(
000
xaxfxfb −=−
⇒
0
x
⇒
PT tiếp tuyến
Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng:
)( axkby −=−
⇔
bkakxy +−=
)(
∆
)(
∆
tiếp xúc với (C)
⇔
hệ pt sau có nghiệm:
=
+−=
kxf
bkakxxf
)('
)(
⇒
x?
⇒
k?
BÀI 1. Cho hàm số
34
24
+−= xxy
có đồ thị là (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8
BÀI 2. Cho hàm số
243
23
+−+−= xxxy
có đồ thị là (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y=
3
4
1
+
x
VM-TD-BN/T10-2008
4
BÀI 3. Cho hàm số
xxy 2
2
−=
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết nó đi qua điểm N(1; -2)? ĐS: y = 2x; y = 2x -4
BÀI 4. Cho hàm số
23
23
+−= xxy
có đồ thị là (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
2;
9
23
−
)
ĐS: y = -2; y= 9x-25
y=
27
61
3
5
+
−
x
BÀI 5. Cho hàm số
2
1
2
+
−+
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông
góc với tiệm cận xiên
ĐS:
522 −+−= xy
và
522 −−−= xy
2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3)
BÀI 6. Cho hàm số
2
45
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song
song với đường thẳng y = 3x + 2008.
ĐS:
33 −= xy
và
113 −= xy
2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên.
BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số
23
23
−+−= xxy
(*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*)
2. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ
được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) ĐS: A(1; 0)
BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số
ax
xax
y
+
−++
=
3)1(2
2
có đồ thị là (C
a
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2
2. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (C
a
) tiếp xúc với
parabol y = x
2
+ 5. ĐS: a = -3
BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số
kxkkxy 21)1(
24
−+−+=
với k là tham số
1.
Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị ĐS:
);1[]0;( +∞∪−∞∈k
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k =
2
1
. Gọi đồ thị khi đó là (C)
3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O.
ĐS: y=0;
xy
33
1
±=
BÀI 10. Cho hàm số
2
2
2
−
−+
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong
(C) qua đường thẳng y = 2.
ĐS:
2
63
2
−
−+−
=
x
xx
y
2. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2)
BÀI 11. Cho hàm số
xxy 3
3
−=
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến
VM-TD-BN/T10-2008
5
đồ thị (C).
BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số
1)12()1(
3
+−+−+= mxmxmy
có đồ thị (C
m
).
1. CMR: với mọi m đồ thị (C
m
) luôn có 3 điểm
cố định thẳng hàng
ĐS: A
0
(-1;1), A
1,2
(
2
55
,
2
51 ±±
)
2. Với giá trị nào của m thì trên (C
m
) có tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố
định ĐS: m < -1 hoặc m > 0
BÀI 13. Cho hàm số
)1(
24
+−+= mmxxy
có đồ thị (C
m
).
1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
) ĐS: A
1,2
(
±
1;0)
2. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (C
m
).
Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A
song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1
BÀI 14. Cho hàm số
mxmmxxy +−+−= )1(33
223
có đồ thị (C
m
).
1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ĐS: m=1
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
đi qua A(0; 6)
ĐS: y = 9x + 6
BÀI 15. Cho hàm số
13
23
+++= mxxxy
có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
2. Chứng minh với mọi m đồ thị (C
m
) luôn cắt đồ thị hàm
số y = x
3
+2x
2
+7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ
tích trung điểm I của đoạn AB.
Quỹ tích:
191844
23
+++= xxxy
3. Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba
điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến
tại D và E vuông góc với nhau.
ĐS:
8
659 ±
=m
BÀI 16. Cho hàm số
1
2
−
+−
=
x
mxx
y
có đồ thị là (C
m
) (m là tham số khác 0)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
2. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại
A, B vuông góc với nhau
3. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (C
m
) và hai đường tiệm cận
có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt)
BÀI 17. Cho hàm số
2
2
2
+
++
=
x
xx
y
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0
3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)
BÀI 18. Cho hàm số
13
23
++= xxy
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
( )
axx =+−+− 1131
2
3
o0o
VM-TD-BN/T10-2008
6