Các bài tập Khảo sát hàm số chương I lớp 12

I. ®¹o hµm
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d

2
: y =
10x
24
1
−
.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
− 2x − 3 đi qua M
1
(5;3).
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ M(3; − 1).
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+
1x
4
−
đi qua A(0;3).
7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=
1x
1x
+
−
đi qua H(1;1).
8) Tìm đạo hàm các hàm số
a) y = ( x
3
– 3x + 2 ) ( x

4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e
sinx

e) y = e
4x + 5
f) y =
1x2
2
x
a
++
(0< a ≠ 1)
10) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y= ln ( x +
2
x1
+
) b) y = log
3
( x
2
– sin x )
c) y = e
x
– ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3)
e) y = tg
2
x . sinx f) y =
2
x
tg
g) y = cotg ( 5x
2

+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
11) Tính đạo hàm của hàm số

f(x) =



≥
<
0x nếu x
0x nếu x
2
3
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +
x
5
( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3

b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
c) Với y = ( x +1 ) e
x
ta có : y’ – y = e
x
d) Với y= e
sin x
ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0
e) Với y = ln
x1
1
+
ta có xy’ + 1 = e
y
14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:
a) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin
33
−
+
. Chứng minh rằng: y’' = −y
b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg
2
x
= 0
c) Cho y = e
4x
+2e
−

x
. Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y−1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
. Chứng minh rằng :
3)
4
('f3)
4

(f
=
π
−
π
16) Cho f(x) =
2
2
x
e.x
−
. Chứng minh rằng :
)
2
1
(f3)
2
1
(f2
'
=
17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x−3)e
x
c)

f(x) = sinx.e

x
d) f(x) =
xxcosxsin3
+−
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
−2x
2
+ π .

19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
=
4
π

. b) f(x) = x. cosx tại x
0
=
3
π
21) Tìm vi phân của mỗi hàm số:
a) f(x) =
1x
2
+
b) f(x) = x.lnx. c) f(x) =
x
xsin
.
22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782.
II.Sù ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn cđa hµm sè
23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+
5
x
3
+
.
24) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x

4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y
2

−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
25) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1
26) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác đònh
của nó. Kq: m = 0
27) Đònh m để hàm số y = f(x) =

2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng
[1;+∞). Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :

a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−
−−
=

.
c)
1x2
1x
y
+
−
=
.

30) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
31) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=

luôn đồng biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng
(1;+∞). Kq:
223m
−≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −
2
x
2
, với x > 0 .
III Cùc ®¹i vµ cùc tiĨu
35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
a) y = x
3
. b) y = 3x +
x
3

+ 5. c) y = x.e
−
x
. d) y =
x
xln
.
36) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:
a) y = sin
2
x với x∈[0; π ] b) y = x
2
lnx. c) y =
x
e
x
.
37) Xác đònh tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004
−
2005) Kết quả : m=11
38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x

2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
39) Đònh m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−
+−