bài tập pt& bpt mũ và log

BÀI TẬP VỀ PT&BPT MŨ VÀ LOGARIT
1)Giải các phương trình và bất phương trình sau :
a)
2
3 3 10
x x− +
+ 〈
ĐS:
x
2 0 ,t = 3x− 〈 〈
b)
( )
2
2
1
2 2 1
x x x
x
− −
− = −
ĐS:
1x =
,
0 & 0VT VP≤ ≥
( )
2
0 1 0VT VP x⇒ = = ⇒ − =
c)
( )
( )
2

2
2 2
log 2 1
log
log 2 1 log
x
x
x x
+
≤
+
HD:
( )
( )
2
2
2
1
log
& ú ý log 2 1 0
0 1
log 2 1
t
x
t ch x
t
x
≤ −

= ⇒ + 〉


〈 〈
+

ĐS:
1
0
2
1
x
x

〈 ≤


〉

d)
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
HD: chia hai vế cho
2
6
x
ĐS: x = 4
2) Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a)Giải bpt :

( )
( )
2
3
4 16 7 log 3 0x x x− + − 〉
ĐS:
4
7
3
2
x
x
〉



〈 〈

b)Tìm m để
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1
9 2 1 6 1 4 0 :
2
x x x x x x
m m x x
− − −
− − + + ≥ ∀ ≥
ĐS: m

3≤
c)Giải bpt
2.2 3.3 6 1
x x x
+ 〉 −
HD: sử dụng tính chất biến thiên của hàm số
mũ &
2x〈
d)Giải pt
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
 
+ +
= + +
 ÷
+ +
 
HD
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2

3 3
2 2
2 2
2 2
3 3
2
log 3 log 2 4 5 2 4 5 3
2 4 5 3 0
2 4 5 3
log 3 log 2 4 5 0
1
3 2 0
2
pt x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x
x
⇔ + + − + + = + + − + +

+ + − + + =

⇔ + + = + + ⇔

+ + − + + =


= −


⇔ + + = ⇔

= −

e) Giải bpt :
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
32
log log 9log 4log
8
x
x x
x
 
 
− + 〈
 ÷
 ÷
 
 
ĐS:
1 1
8 4
4 8
x
x


〈 〈


〈 〈

f) Giải bpt:
5.4 2.25 7.10
x x x
+ ≤
chia hai vế cho
2
x
ĐS:
0 1x≤ ≤
3) Giải các pt sau:
a)
2 2
sin os
3 3 4
x c x
+ =
đặt
2
sin
3 1 t 3
2
x
t x k
π

= ≤ ≤ ⇒ =
b)
( )
3 2
2 3 ln 1 0x x x x+ − + − + =
HD: xét vế trái và đạo hàm, sử dụng
tính chất đơn điệu của hàm số suy ra x = 1
c)
( )
3 4
1 3
3
3
log log log 3 3x x x+ + =
ĐS: x = 3
4)Chứng minh:
a)
( ) ( )
4 9
0:log 1 4 log 9 2
x x x
x
∀ ≥ + ≥ +
HD:ta biến đổi đưa về
( )
4
log 9
1 4 9 2
x x x
+ ≥ +

sau đó áp dụng
( )
4 4
1 1
0 & 1 1+ 1
a
4 1 0 0 & log 9 log 4 1
x
a
a
a do x
α
α
α
   
〉 〉 ⇒ 〉 +
 ÷  ÷
   
= ≥ 〉 ≥ = 〉 =
b)
( )
a
1& 0 cm: log log
a k
b a k b b k
+
〉 〉 〉 〉 +
HD:
( ) ( )
log log

1
1 1
t
t
t
a a k
t
t
b a
t b t b k a k b k a k
t
k k
a a
+

=
= ⇒ ⇔ 〉 + ⇔ + 〉 + = +

〉

 
⇔ + 〉 +
 ÷
 
và vì
1 1
1 1 1
1
t
t

k
k k k
dpcm
a
a a a
t

+ 〉

 
⇒ + 〉 + 〉 + ⇒

 ÷
 

〉

c)x, y, z > 0 & khác 1. Thỏa:
( ) ( ) ( )
: . . .
lg lg lg
y x z y x z
x y z x y z x y z x y z
cm x y y z z x
x y z
+ − + − + −
= = = =
HD :Ta đặt t bằng đẳng thức đã cho từ đó, sử dụng các tính chất của log suy
ra đpcm.
d) Cm

( ) ( )
3
. . . . a,b,c 0
a b c
a b c
a b c a b c
+ +
≤ 〉
HD : Lấy ln hai vế
e)
, : x y 1 cm : 2 4 3
x y
x y R∈ + = + ≥
HD : dựa vào giả thiết , xét vt và sử
dụng bđt Cauchy
f) Cho
1
1
1 lg
1 lg
1
1 lg
10
, , 0 1& 10
10
y
x
z
x
x y z cm z

y
−
−
−

=

〉 ≠ =


=

HD : từ giả thiết lấy lg hai vế suy ra điều cần chứng minh.
g)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ 〉 −
ĐS :
2 1
1
x

x
− 〈 〈−


〉

h)
2 0,5
15
log log 2 2
16
x
 
− ≤
 ÷
 
ĐS ;
2
0 log 31 4x≤ 〈 −
i)CM :
( ) ( )
1
1;log 1 log 2
n n
n n n
+
∀ 〉 + ≥ +