CHUYÊN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (303.59 KB, 41 trang )

Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
A - phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1- Cơ sở khoa học:
Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững
đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào
các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là
cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan
trọng trong nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động
nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và
giải quyết các bài toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ
tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức
không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho
nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển t duy
sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi
giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bất
đẳng thức nói riêng.
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp
giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có
nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng
pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất
đẳng thức.
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi
kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10
THPT.
-1-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học

sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán.
II - Mục đích nghiên cứu:
Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất
đẳng thức nói riêng. Đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào
lớp 10 THPH chuyên.
Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng
thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy đợc tính tích cực, chủ động
sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập.
III - Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức.
- Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố
Lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị.
IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng:
- Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS.
- Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS.
B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức
I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói
số a lớn hơn số b, ký hiệu là: a > b nếu a - b > 0
số a nhỏ hơn số b, ký hiệu là: a b

b < a
2) a < b, b < c

a < c (tính chất bắc cầu)
3) a < b

a + c < b + c (tính chất đơn điệu)

4) a < b, c < d

a + c d

a - c 
><

0,
0,
mmbma
mmbma
8) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc
một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d

a.c<b.d
9) a> b >0

a
n

> b
n;
0>a>b

a
n+1
>b
2n+1
và a
n
n>0 ; a>1

a
m
> a
n;
a
m
< a
n
với 0 < a <1
10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng
thức đổi chiều: a

b

ba
11

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc.
III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:
1) A
2k

0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0
2)
AA ,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3)
AAA
4)
BABA ++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0
5)
BABA
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0 và
BA

Chú ý:
- Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang
tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý.
- Khi chứng minh song Bất đẳng thức a

b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy

ra khi nào.
c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức
I -Ph ơng pháp 1 : PP DUNG ĐINH NGHĩA:
-3-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS

1 -Nội dung ph ơng pháp:
Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0
2- Kiến thức cần vận dụng
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)
2
= A
2
+2AB+B
2
- Tổng quát:
jiAjAiAiAi
n
ji
n
i
n
i
<+=

===
;.2)(
2.,1,
2
1

2
1
Các k năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng
thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải
Xét hiệu: a
2
+b
2
- ab = (a
2
+
4
1
b
2
-
2
1
.2
ab)+
4
3

b
2
=( a-
2
1
b)
2
+
4
3
b
2

0 đúng với mọi
a, b vì ( a-
2
1
b)
2

0;
4
3
b
2

0 Dấu "=" xảy ra khi (a-
2
1
b)

2
=
4
3
b
2
=0 suy ra a =
b = 0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (a
n
)
2
+(b
n
)
2

nn
ba .
Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a

b

c chứng minh rằng:
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++++
Giải
-4-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Xét hiệu:
)(
1
222222
acbacbbcabca
abcb
c
c
a
a
b
a
c

c
b
b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)

0 (do 0<a

b

c )
Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 3: Cho a

b

c và x

y

z hãy chứng minh rằng:
22
.
2
byaxyxba
+

++
Giải
Xét hiệu:
22
.
2
byaxyxba
+

++
=

4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:
33
.
3
czbyaxzyxcba ++

++++
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán.
Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng:
a
2
+b

2
+c
2
+d
2
+e
2

a(b+c+d +e)
Giải
Xét hiệu: a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
- a(b+c+d +e) = a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2

- ab-ac-ad -ae
-5-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad -4ae)
=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a
2
+c
2
+4ac)+(a
2

+4d
2
+4ad)+(a
2
+4e
2
+4ae)]
=
4
1
[(a+2b)
2
+(a+2c)
2
+(a+2d)
2
+(a+2e )
2
]

0
Do (a+2b)
2

0 và (a+2c)
2

0 và (a+2d)

2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 5: Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2, ,n là các sổ thực. chứng minh rằng:
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng:
Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau:
1/ 4.x
2
+y
2

4xy
2/ x
2
+y
2
+1

xy +x+y
3/ (x+y) (x
3
+y
3
) (x
7
+y
7
)

4(x
11
+y
11
)
4/ x
1996
+y
1996
+z
1996
):( x
1995
+y
1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
): a,b,c >0
6/ Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng:
a/
cbaabc
cba 111
)(
3
888
++
++
b/
abc
a
bc
c

ab
b
ca
b
ac
a
cb
c
ba
6
333333
+++++
II - Ph ơng pháp 2 : DùNG T/C CUA BĐT Để BIÊN ĐÔI
TƯƠNG ĐƯƠNG:
-6-

==

n
i
i
n
i
i
aa
n
a
2
1

1
2
1
2
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
1) Nội dung ph ơng pháp:
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần
chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã
đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài.
2) Kiến thức cơ bản:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức thờng dùng.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng:
x
2
+2y
2
+2z
2

2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải
(*)

x
2

+2y
2
+2z
2
-2xy -2yz-2z +1

0

(x
2
-2xy+y
2
)+(y
2
-2yz+z
2
)+(z
2
-2z+1)

(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-1)
2

0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh.
Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)
Giải
(a
10
+b
10
) (a
2
+b

2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
) - (a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

0

a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a
12
-a
8
b
4
- a
4
b
8
-b
12

0

( a
10
b
2
-a
8
b
4
) +( a
2
b
10
- a
4
b
8

0

a
8
b
2
(a
2
-b

2
) -a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2
)(a
4
+a
2
b

2
+b
4
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)
2
(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)

0 đúng với mọi a, b
Dấu "=" xảy ra khi a
2

=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
-7-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)
Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
a) Cho a

c

0 và b

c chứng minh

)( cac

+
)( cbc

ab

Giải
a) Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 )
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9

0
(x
2
-7x +6)(x
2

-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
=> (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
Dấu "=" xảy ra khi x
2
-7x +9 =0 x=

2
137
b )
)( cac

+
)( cbc

ab
(
)( cac

+
)( cbc

)
2

(
ab
)
2
c(a-c)+c(b-c) +2
)( cac

)( cbc

ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca

)( cb

)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy
)( cac

+
)( cbc

ab
với a

c

0 và b

c
Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:
-8-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
ab
3
+
cb
3
+
ac
3

4 (
ba +
1
+
bc +
1

+
ca +
1
)
2
. biết a,b,c >0
Giải
Ta có
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
=
abc
cba )( ++
. Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)

8abc
=>
ab
1
+
cb
1
+
ac

1

))()((
).(8
accbba
cba
+++
++
Hay
ab
1
+
cb
1
+
ac
1

))()((
)(4)(4)(4
accbba
accbba
+++
+++++

2(

ab
1
+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8
cbca ++
+
))((
8
caba ++
+
))((
8
cbba ++
(1)
Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Mặt khác ta có (a+b)
2

4ab

ab
1

2
)(
4
ba +
tơng tự ta có
cb
1

2
)(
4
bc +
và
ac
1

2
)(
4
ca +

suy ra
ab
1
+
cb
1
+
ac
1

2
)(
4
ba +
+
2
)(
4
bc +
+
2
)(
4
ca +
(2)
Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và (2) Ta có
ab

3
+
cb
3
+
ac
3

4 (
ba +
1
+
bc +
1
+
ca +
1
)
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất
đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây
là một ví dụ:
Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:
1
1
33
++ ba
+

1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca

1
Giải
Do 0

a

b

c => (a-b)
2
(a+b)

0 Dấu "=" xảy ra khi a=b
-9-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
(a-b)(a+b)(a-b)

0
(a

2
-b
2
)(a-b)

0 a
3
-a
2
b-ab
2
+b
3

0 a
3
+b
3

a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
+1

a
2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3
+1

(a+b+c)ab

1
1
33
++ ba

)(
1
cbaab ++
=
)( cba
c
++
(do abc= 1 =>
c
ab

=
1
)
suy ra
1
1
33
++ ba

)( cba
c
++
Tơng tự ta có
1
1
33
++ bc

)( cba
a
++
Dấu "=" xảy ra khi b=c
và
1
1
33

++ ca

)( cba
b
++
Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
1
1
33
++ ba
+
1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca

1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0

x,y,z

1 chứng minh:
A) 0

x+y+z -xy-yz-zx

1
B) x
2
+y
2
+z
2

1+x
2
y +y
2
z +z
2
x
C)
1+yz
x
+
1+xz
y
+
1+yx

z

2
Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng
minh rằng: a
2
+b
2
+c
2
+2abc < 2
Bài 3: Chứng minh với mọi x, y >
2
ta có:
x
4
- x
3
y +x
2
y
2
-xy
3
+y
4
>x
2
+y

2

Bài 4: Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:
1- a
2
+b
2
+c
2

1+ a
2
b +b
2
c +c
2
a
2- 2(a
3
+b
3
+c
3
) -(a
2
b+b
2
c+c
2

a)

3
3-
1+bc
a
+
+
+1ac
b
1+ba
c

2
-10-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
III - Ph ơng pháp 3: PP DUNG TINH CHÂT CủA Tỉ Số
1- Nội dung phơng pháp:
Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở
nên rất nhanh và gọn.
2- Kiến thức cần vận dụng:
- Với ba số dơng a,b.c
Nếu
b
a

1 Thì
b

a

cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu
b
a

1 Thì
b
a

cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu b, d >0 và
b
a

d
c

b
a

db
ca
+
+

d
c
Dấu "=" xảy ra khi ad=bc
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng:1<
cb
a
+
+
ca
b
+

+
ab
c
+
<2
Giải
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a, b, c >0 và a+b > c; b+c > a
Và c+a >b.
Từ a+b > c

ba
c
+
< 1

ba
c
+
<
cba
cc
++
+
=
cba
c
++
2

ba
c
+
<
cba
c
++
2
Chứng minh tơng tự ta có:
ca
b
+
<
cba
b
++
2
và
bc
a
+
<
cba
a
++
2
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<
cba
a
++
2
+
cba
b
++
2
+
cba
c
++
2
= 2
- Ta có
cb

a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
>
cba
a
++
+
cba
b
++
+
cba
c
++
=1 Do a, b, c d-
ơng
-11-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Vậy 1<
cb
a
+

+
ca
b
+
+
ab
c
+
< 2 (đpcm)
Nhận xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất:
- Với ba số dơng a,b,c
Nếu
b
a

1 Thì
b
a

cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Bài 2: Chứng minh rằng
n
n

bbb
aaa
+++
+++

21
21
Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và
gí trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) ở đó b
i
là các số dơng i=1,2, ,n
Giải
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (
1

1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) thứ tự là m
và M
Khi đó ta có m

i
i
b
a

M với mọi i=1,2, ,n

mb
i

a
i

b
i
.M Do b
i
>0 với mọi i=1,2, ,n
Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc:
m( b
1
+b
2
+ +b
n
) < a
1
+a
2
+ +a
n
< M( b
1
+b
2
+ +b
n
)

m <
n
n
bbb
aaa
+++
+++

21
21
< M Do ( b
1
+b
2
+ +b
n
) >0 (đfcm)
Bài 3:
Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng:
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++

+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
Giải
Ta chứng minh
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
-12-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a > 0 ta có
1+a

a
< 1

1+a
a
<
1++
+
ba
ba
Tơng tự ta có:
1+b
b
<
1++
+
ba
ba
Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta đợc:
(
1+a
a
+
1+b
b
) < 2
1++
+
ba

ba

2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
(1)
*) Ta chứng minh
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b

b
Do a, b dơng ta có
1
+
a
a
>
1++ ba
a
và
1+b
b
>
1++ ba
a
Cộng vế với vế của
hai Bất đẳng thức này ta đợc:
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
(2)

Từ (1) Và ( 2) Ta đợc:
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng
3
2
<
2005 753
2004 642
++++

++++
<
2005
2004
Bài 2: Cho a, b là các số dơng thoả mãn ab =1 chứng minh rằng:

22
1
+a
+
22
1
+b
<
ba
ba
++
+
1
<
1
1
+a
+
1
1
+b
Bài 3: Cho
y
x

b
a

n
m
chứng minh rằng
y
x

nba
max
20052004
20052004
++
++

n
m
IV - Ph ơng pháp 4 : PP PHảN CHứNG
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A

B ta giả sử phản chứng A<B rồi

điều vô lý với giả
thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A

B là đúng.
2- Kiến thức cần nhớ:

Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức có sẵn.
-13-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức.
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng
thức sau sai: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25
Giải
Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều
đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25
3
(1)
Mặt khác ta có
a(1-a) = a - a
2
= 0,25 -(a
2
-2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 )
2

0,25

a(1-a)

0.25 Tơng tự ta có b(1-b)

0,25 và c(1-c)

0,25
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3
(2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều
giả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c)
>0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai.
Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời
ba Bất đẳng thức sau:
x
<
zy
,
zxy <
,
xyz <
Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng
thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có:
:
x
<
zy

x
2
< (y-z )
2

x
2
-(y-z )
2
<0

(x-y+z)(x+y-z) < 0
Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]
2
<0 vô lý.
Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức:
x
<
zy
,
zxy <
,
xyz <
Bài 3: Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện

>
>++

>++
0
0
0
abc
cabcab
cba

-14-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*)
Giải: Giả sử (*) không đúng

có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0
Không mất tình tổng quát giả sử a

0. do abc >0

bc <0
Xét trờng hợp a

0 b>0 c<0

a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c

b(a+c) < -(a+c)
2

ac + b(a+c) < ac-(a+c)
2

ac + b(a+c) < -(-ac+a
2
+c
2
)

ac +ba +bc < -(a-0.5c)
2
- 0.75c
2

0

Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tơng tự đồi với trờng hợp A

0 b<0 ,c>0 ta cũng

điều vô lí.
Vậy (*) đợc chứng minh.
Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo
của nó không nhỏ hơn 2.
Giải:
Giả sử phản chứng
b
a

>0 ta có
b
a
+
a
b
< 2

b
a
+
a
b
- 2 <0

ba
abba 2
22
+
<0

ab
ba
2
)( +
< 0 Điêù này là vô lý

b
a
+
a
b

2
Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2.
4-Bài Tập áp dụng:
Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c: chứng minh rằng ít nhất một
trong các Bất đẳng thức sau là sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1
Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng:
S=(a-1 +b
-1
)( b-1+c
-1
)(c-1+a
-1
)

1
Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau
đúng:
c
2
> a: d
2
> b
Bài 4: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn:

<
>
04)1(
0
2
acb
a
-15-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng
thức sai
ax
2
+bx +c

y ; ay
2
+by +c

z ; az
2
+ bz +c

x
V- Ph ơng pháp 5: PHƯƠNG PHAP QUI NAP
1) Nội dung phơng pháp;
Có rất nhiều bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì
không thể chứng minh đợc, các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc

những bất đẳng thức tổng quát. Để chứng minh các Bất đẳng thức kiểu nh
vậy ta thờng dùng phơng pháp quy nạp.
1. Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp
chứng ta thực hiện các bớc sau:
B ớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với n = n
0
nào đo ( thông thờng
ta chọn n
0
= 0 hoặc 1)
B ớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với n = k
B ớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1
B ớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi n
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) [(a+b):2]
n

(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và n

N
b)

daun
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
Giải
a) +) Với n =1 ta có (a+b):2

(a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]
k

(a
k
+b
k
):2
+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là:
[(a+b):2]
K+1

(a

k+1
+b
k+1
):2 Thật vậy:
-16-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
xét [(a+b):2]
K+1
=[(a+b):2]
K
[(a+b):2]

[(a
k
+b
k
):2][ (a+b):2]
Ta chứng minh
(a
k
+b
k
) (a+b)

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
+a
k
b+ab
k

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
-a
k b
b - ab
k

0

(a-b)( a
k
- b
k

)

0 *
Nếu a,b

0 thì * đúng.
Nếu a

0

b

a-b

0
mà a+b

0 (gt)

a

-b

a

b

a

k

b
k
a
k
- b
k

0

* đúng
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc * đúng
Do a+b

0 nên a, b không cùng <0.
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài.
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]
n

(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
đợc chứng minh.
b) + Với

1 Bất đẳng thức trở thành
a
<
2
141 ++ a

2
a
<
141 ++ a

Ta có:
141 ++ a
>1 +2
a
>2
a
đúng

a
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là:

dauk
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là

dauk
aaa
),1(

++
+++
<
2
141 ++ a
a

0

-17-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Đặt x
n
=

daun
aaa
,

+++

x
k
=

dauk
aaa
,

+++
x
k+1
=

dauk
aaa
),1(

++
+++
=
k
xa
+

Ta chứng minh
k
xa
+
<
2
141 ++ a
a

0

(
k
xa
+
)
2
< (
2
141 ++ a
)
2

a+x
k
<
4
14242 +++ aa

4x
k
<2=
142 +a

x
k
<
2
141 ++ a

Đúng do giả thiết quy nạp

Bất đẳng thức đúng với n = k+1.
+ Vậy

daun
aaa
,

+++
<

2
141 ++ a
a

0
Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó chứng minh rằng:
b
2n
+a
2n

c
2n
Giải:
+ Với

1 theo định lí Pithago ta có b
2
+a
2
= c
2
Bất đẳng thức đúng.
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là b
2k
+a

2k

c
2k
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1hay: b
2(k+1)
+a
2(k+1)

c
2(k+1)
Thật vậy: Ta có c
2(k+1)
= c
2k+2
=c
2k
. c
2

(a
2k
+b
2k
)(a
2
+b

2
) =a
2k+2
+ a
2k
. b
2
+b
2k
a
2
+b
2k+2

a
2k+2
+ b
2k+2

b
2(k+1)
+a
2(k+1)

c
2(k+1)
(đfcm)

Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó ta có; b
2n
+a
2n

c
2n
-18-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng. Chứng minh rằng trong các số
n
m
,
m
n
có ít nhất một số không vợt quá
3
3
Giải:
Trớc hết ta chứng minh 3
n

n
3
*

n, Z
+

n bằng quy nạp.
+ Với n =1: ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2: ta có 9

8 * đúng
+ Với n =3: ta có 27

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k

k
3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3
k+1

(k+1)
3
Thật vậy: Ta có 3
k+1

= 3. 3
k

3 k
3
=k
3
+3k
2
+ 3k +1 +k
3
-3k
2
+k
3
-3k -1 =
=(k+1)
3
+k
2
(k-3) +k(k
2
-3) -1 > (k+1)
3
do k

4 nên k
2
(k-3) +k(k
2

-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3

Bất đẳng thức * đúng với n = k+1
Vậy 3
n

n
3

n, Z
+

n

n
n
3
3

n

n
3
3

3
3

n
n

n, Z
+

n
- Với m là số tự nhiên
- Nếu m

n

n
m

n
n

n
m

3
3
- Nếu m

n

m
m

m
n

m
n

3
3
Vậy với m,n là các số nguyên dơng trong các số
n
m
,
m
n
có ít nhất một
số không vợt quá
3
3
.
3. Bài tập áp dụng:
Bài 1: a) Chứng minh rằng với n

3 ta có 2
n
>2n +1
b) Chứng minh 1.2.3 .n < 2
-n.
(n+1

)n
c)

n

1, Chứng minh:
d) 1+
212
1

3
1
2
1
++++ n
n
-19-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
c) 2
n+2
>2n+5

n

1, N

n
d) [(n+1)!]
n

2!.4! .(2n)!

n , N
*

n
e) (2n)! < 2
2n
(n!)
2

n , N
*

n
VI-Ph ơng pháp 6 DùNG BấT ĐẳNG THứC TRONG TAM GIáC
1- Nội dung phơng pháp
Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình
nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của
Bất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học
đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác.
2- Các kiến thức cần vận dụng:
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có
- a, b, c >0
- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c
- Một số quan hệ khác trong tam giác:
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng
(a+b+c)

2

9bc. Biết a

b

c
Giải:
Ta có a+b+c

2b+c do a

b Ta đi chứng minh (2b+c)
2

9bc (1)
(1)

4b
2
+ 4 bc + c
2

9bc

4b
2
- 5 bc + c

2

0

4b
2
-4bc -bc+ c
2

0

4b(b-c) -c(b-c)

0

( b-c)(4b-c)

0 (2)
ta thấy b

c

b-c

0 và 4b-c

a+b-c +2b

0

(2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:
a
2
+b
2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca)
Giải:
-20-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có:
0<a<b+c

a
2
< ab + ac tơng tự ta có b
2
< ba+bc và c
2
< ca +cb
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a
2
+ b
2
+c

2
< 2 (ab+bc+ca) (Đfcm)
Bài 3: Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3
Giải:
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3

a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
- a
3
- b
3
- c
3
> 0

a[(b-c)
2
- a
2
] + b[(c-a)
2
- b
2
] + c[(a-b)
2
-c
2

] > 0

a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0

( a+b-c)( ab-ac-a
2
-bc-b
2
+ab+ac+bc+c
2
) >0

(a+b-c)(c
2
- a
2
- b
2
+2ab) > 0

(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) >. 0 đúng
do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác
Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có:
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2

> a
3
+ b
3
+

c
3
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a
2
(b+c)+ b
2
(+-a) +c
2
(a+b ) >2abc + a
3
+ b
3
+

c
3
Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a
2
(b+c)+ b
2
(c+a) +c

2
(a+b ) < 3abc + a
3
+ b
3
+

c
3
bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
2a
2
b
2
+2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
-a
4
-b
4
-c
4
> 0
VII - Ph ơng pháp 7: PP LàM TRộI

1- Nội dung phơng pháp:
-21-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đa một vế của Bất đẳng thức về dạng
tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến
Tổng S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=(a
1
-a
2
) + (a
2
-a
3
) +( a
3
-a
4
)+ .+(a
n
-a
n+1

)
Tich T= u
1.
u
2
. u
n
=
132
21

+
n
n
aaa
aaa
2- Kiến thức cần vận dụng:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: cho các số tự nhiên phân biệt u
1
, u
2
, ., u
n
khác >1
Chứng minh rằng: (1-
1

2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
). > 0,5
Giải:
không mất tính tổng quát giả sử 2

u
1
 i +1
( Do các u
i
phân biệt )

(1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
) > (1-
2
2
1
)(1-
2
3
1
) (1-
2
)1(
1
+n

)
=(1-
2
1
)(1-
3
1
) (1-
)1(
1
+n
)(1+
2
1
)(1+
3
1
) (1+
)1(
1
+n
)
=
)1 (4.3.2
3.2.1
+n
n
.
)1 (4.3.2
)2 (34

+
+
n
n
=
)1.(2
)2(
+
+
n
n
=
)1(2
1
2
1
+
+
n
>0,5
Vậy (1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u

) (1-
n
u
2
1
). > 0,5
Nhận xét ở đây ta thay các u
i
bởi các i+1 để đợc giá tri nhỏ hơn VT
vì u
i
> i +1
Bài 2 Chứng minh rằng

n tự nhiên ta có
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1
n
n
<
12
1
+n
Giải:
ta có
)2(
)12(
n
n
=

2
2
)2(
)12(
n
n +

1)2(
)12(
2
2

+
n
n
=
12
12

+
n
n
-22-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Lần lợt thay n= 1,2,3, rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta đ ợc:
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1
n
n

<
12
1
+n
(Đfcm)
Bài 3 Cho h
n
=1+
3
1
+
5
1
+ .+
12
1
n
Chứng minh rằng

n là các số nguyên dơng ta có
1
2
1
h
+
2
2
3
1
h

+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 2
Giải:

n là các số nguyên dơng ta có
=

2
)12(
1
k
hn
kk
h
n
hk )
12
1

)(12(
1
1

+

<
1
1
k
h
-
k
h
1
(Do h
k
= h
k-1
+
12
1
n
)

1
2
1
h

+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+ (
1
1
h
-
2
1
h
) +(
2
1
h

-
3
1
h
)+ +(
1
1
k
h
-
k
h
1
)

1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1

h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+
1
1
h
-
1
1
k
h

1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3

2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+
1
1
h
=2
Vậy
1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5

1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 2 (đfcm)
Bài 4 Chứng minh rằng:
2
1
1
n
+
+
2
)1(
1
1
+
+
n
+ +
2
)(
1
1
kn +
+

<
n
nkn 1++
Giải:
Trớc tiên ta chứng minh Với ba số x,y,z thoả mãn x+y+z =0 ta có:
-23-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
* Thật vậy:
Xét (
zyx
111
++
)
2
=
2
1
x
+
2
1
y

+
2
1
z
+2(
xy
1
+
xz
1
+
zy
1
)
=
2
1
x
+
2
1
y
+
2
1
z
+2(
xy
zyx ++
)=

2
1
x
+
2
1
y
+
2
1
z

222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
áp dụng * với x=1, y=n, z= -(n+1)
Ta có
2
1
1
n
+
<
22
)1(

11
1
+
++
nn
=1+
n
1
-
1
1
+n

2
1
1
n
+
+
2
)1(
1
1
+
+
n
+ +
2
)(
1

1
kn +
+
<1+
n
1
-
1
1
+n
+1 +
1
1
+n
-
2
1
+n
+
+1 +
kn +
1
-
1
1
++ kn
=k+1+
n
1
-

1
1
++ kn
< k+1+
n
1
=
n
nkn 1++
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1 Chứng minh rằng: a)
10
1
+
11
1
+ .+
100
1
>1
Tổng quát b)
n
1
+
1
1
+n
+ .+
2
1

n
>1 n nguyên dơng
Bài 2 Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng:
.a)
1
)1((
1

3.2
1
2.1
1
<
+
+++
nn
.b) 1+
nn
1
2
1

3
1
2
1
222
<+++
Bài 3 Chứng minh
2

1

2
11
2
2
2
1
2
<+++
n
na
aa
trong đó N
*

, n a
k
=
k
1

3
1
2
1
+++
Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có:
-24-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS

4
31

2
1
1
1
2
1
<
+
++
+
+
+
<
nnnn
VIII - Ph ơng pháp 8: PP Sử DụNG BĐT CAUCHY Và BĐT
BUNHIACOPXKYBất
1 - Kiến thức cơ bản
Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức
- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b

0:
ab
ba

+
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b

- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a
1,
a
2
, , a
n

n
aaa
n
+++
21

n
aaa
21
Dấu "=" xảy ra khi a
1
=

a
2
= = a
n
2- Bài tập mẫu:
Bài 1 Cho n số dơng a
1 ,,
a

2
, , a
n
và a
1,
a
2
. a
n
=1
Chứng minh rằng: (1+ a
1
)
,
(1+a
2
). (1+a
n
)

2
n
Giải:
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và a
i
, i=1,2,3 ,n ta đ ợc
(1+a
1
)