đề HSG có đáp án

uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
huyện Quế sơn năm học 2005-2006
Phòng giáo dục Môn : Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức - Vòng 1
Bài 1 : (3,0 điểm)
Cho
322
32
++
+
=a
và
322
32


=b
a. Tính tích a.b và tổng a+b
b. Tính a
3
+ b
3
.
c. Tính a
7
+ b
7
3
1
113132

1
343243242
34
. =
+++
=
++

=ba
2
33
32
33
32
2
3242
32
3242
32
2 =

+
+
+
=










+
++
+
=+ ba
22.
3
1
.3)2()(3)(
3333
==++=+ baabbaba
Có a
2
+ b
2
= (a+b)
2

-2ab
a
4
+ b
4
= (a
2
+ b
2
)
2
- 2a
2
b
2
= (a
2
+ b
2
)
2
- 2(ab)
2

(a
3
+ b
3
)(a
4

+b
4
) = a
7
+ b
7
+a
3
b
4
+ a
4
b
3
= a
7
+ b
7
+a
3
b
3
(a + b)
Suy ra a
7
+ b
7
= (a
3
+ b

3
)(a
4
+b
4
) - (ab)
3
(a + b).
Thực hiện thay số để tính.
- Tính tích a.b : 0,50 điểm
- Tính tổng a+ b : 0,75 điểm
- Tính a
3
+ b
3
: 0,50 điểm
- Tính a
7
+ b
7
: 1,25 điểm ( Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Bài 2 : (1,5 điểm)
Giải hệ phơng trình :

=

=

5
242
5
362
22
22
yx
y
yx
x







=
+


=
+
+

=

+
=

+
5
2411
5
3611
5
24)()(
5
36))((
22
22
yxyx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
Đặt a =

yx
1
;b =
yx +
1
đợc hệ :







=
=+
5
24
5
36
ba
ba
Giải hệ để đợc a = 6 ; b =
5
6
Lập và giải hệ

+
=
6
5
6
1
yx
yx
đợc nghiệm :







=
=
3
1
2
1
y
x
( Mỗi ý 0,25 điểm)
Bài 3 : (2,0 điểm)
Cho
nnnA 23

23
++=
a. Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên dơng của n.
b. Tìm các giá trị nguyên dơng của n, với n < 10 để A chia hết cho 30.
-
)2)(1())1(2)1(()23(
2
++=+++=++= nnnnnnnnnnA
- A Là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 2.
- A Là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 3.
- A vừa chia hết cho 2, 3 và (2,3) =1 nên A chia hết cho 6.
- Do (5,6) = 1 nên để A chia hết cho 30 thì A chia hết cho 5 và A chia hết cho 6
- Do A luôn chia hết cho 6 ( theo a) nên để A chia hết cho 30 thì A chia hết cho 5
- Do 5 là số nguyên tố nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 5 khi một trong ba số chia hết cho 5
- Tìm đợc n = 5; n=4 ; n =9 ; n =3 ; n = 7
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Bài 4 : (1,5 điểm)
Hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AB
cắt (O) tại C và cắt (O') tại D. Tia CB cắt (O') tại F, tia DB cắt (O) tại E. Chứng minh rằng AB là
tia phân giác của góc EAF.
A
B
C
D
E
F
O
O'
- CAE = CBE ( nội tiếp cùng chắn cung CE)
- DAF = DBF ( nội tiếp cùng chắn cung DF)

- CBE = DBF ( đối đỉnh )
- Suy ra CAE = DAF
- Suy ra EAB = FAB ( cùng phụ với hai góc bằng nhau) hay AB là phân giác của EAF.
Bài 5 : (1,5 điểm)
Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đờng tròn đờng kính là cạnh AD và vẽ cung AC mà
tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K.
Chứng minh rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB.

- Hạ PI vuông góc với AB suy ra PI // AD DAP = API.
- Tam giác DAP cân tại D nên DAP = DPA DPA = API
- Tam giác AKP vuông tại K.
- Hai tam giác vuông AKP và AIP có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau nên bằng nhau.
- Suy ra đợc PK = PI.
A
B
C
D
P
A
K
I
uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
huyện Quế sơn năm học 2005-2006
Phòng giáo dục Môn : Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức - Vòng 2
Bài 1 : (2,0 điểm)
Cho
0
111

=++
cba
Tính giá trị các biểu thức sau :
a.
c
ba
b
ac
a
cb
M
+
+
+
+
+
=
b.
abcacbbca
N
2
1
2
1
2
1
222
+
+
+

+
+
=
Bài 2:(2,5 điểm)
Giải các phơng trình sau :
a.
010)12)(1)(14)(34( =++++ xxxx
b.
222
9)152)(132( xxxxx =+++
Bài 3:(1,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2
32
2
2
+
++
=
x
xx
A
Bài 4:(2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. AH, HM,HN lần lợt là đờng cao của các tam giác ABC,
HAB, HAC. Chứng minh rằng :
a.
CN
BM
AC
AB

=






3
b.
CNCMB CAH
3
=
Bài 5:(2,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm hai đờng chéo. Đờng thẳng qua O
song song với hai đáy cắt AD và BC lần lợt tại E và F.
a. Chứng minh O là trung điểm của EF.
b. Cho AB = a; CD = b. Tìm EF.
uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
huyện Quế sơn năm học 2005-2006
Phòng giáo dục Môn : Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
hớng dẫn chấm- Vòng 2
Bài 1 : (2,0 điểm)
-
3+
+
++
+
++
+

=
c
c
c
ba
b
b
b
ac
a
a
a
cb
M
-
3
++
+
++
+
++
=
c
cba
b
bac
a
cba
M
-

3)
111
)(( ++++=
cba
cbaM
- Do
0
111
=++
cba
nên M = -3
- Từ
0
111
=++
cba
ta đợc ab + bc + ca = 0
- a
2
+ 2bc = a
2
+ 2bc -ab - bc - ca = (a -b)(a -c)
- Tơng tự ta cũng có : b
2
+ 2ac = (b-a)(b-c) ; c
2
+ 2ab = (c -a)(c -b)
- Thay vào trên thực hiện quy đồng đợc :
0
))()((

=

++
=
cbcaba
bacacb
N
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Bài 2:(2,5 điểm)
- Nhân hai vế của phơng trình với 4.2 đợc :
080)24)(44)(14) (34( =++++ xxxx
(16x
2
+ 20x + 6)(16x
2
+ 20x + 5) -80 = 0
- Đặt y = 16x
2
+ 20x + 5 đợc y
2
- 81 = 0
- Giải đợc y = 9
- Giải các phơng trình 16x
2
+ 20x + 5 = 9 ; 16x
2
+ 20x + 5 = -9 để kết luận nghiệm.
- x = 0 không là nghiệm.
- Chia hai vế cho x
2

đợc :
9)
1
52)(
1
32( =+++
x
x
x
x
- Đặt ẩn phụ
x
xy
1
2 +=
đợc : ( y - 3)(y + 5) = 9
- Giải phơng trình bậc hai : y
2
+ 2y - 24 = 0 đợc hai nghiệm y
1
= 4; y
2
= -6
- Giải phơng trình
=+
x
x
1
2
4 đợc

2
22
;
2
22
21
+
=

= xx
- Giải phơng trình
=+
x
x
1
2
-6 đợc
2
73
;
2
73
43
+
=

= xx
( Mỗi ý 0,25 điểm)
Bài 3:(1,5 điểm)
- A xác định với mọi giá trị của x. Gọi y là giá trị của biểu thức A ta có :

032y2x1)(yx32xx2)y(x
2x
32xx
y
222
2
2
=+++=+
+
++
=
(*)
- y = 1 đợc
2
1
=x
- Với y 1 để (*) có nghiệm cần ' 0
- 1 - (y-1)(2y-3) 0 -2y
2
+ 5y - 2 0
- Giải đợc :
2
2
1
y
- Kết luận : A
min
=
2
1

với x = -2 ; A
max
= 2 với x = 1.
(mỗi ý cho 0,25 điểm)
Có thể biến đổi A =
2
)1(
2
2
2
+


x
x
để tìm A
max
A =
2
)2(
2
1
2
2
+
+
+
x
x
để tìm A

min
( Biến đổi 0,50; Kết luận 0,25 cho mỗi trờng hợp)
Bài 4:(2,0 điểm)
- áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ABC có :
CBCHAC
BCBHAB
.
.
2
2
=
=

2
2
4
4
2
2
CH
BH
AC
AB
CH
BH
AC
AB
==
(1)
- áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông HAB và HAC có :

CACNCH
BABMBH
.
.
2
2
=
=
(2)
- Thay (2) vào (1) đợc :
CACN
BABM
AC
AB
.
.
4
4
=
đpcm
A
B
C
H
M
N
- Có AH
2
= BH.CH AH
4

=BH
2
.CH
2
(3)
- Thay (2) vào (3) đợc AH
4
= BM.BA.CN.CA
- Thay BA.CA = AH.BC vào (3) đợc : AH
4
= BM.CN.AH.BC đpcm
( ý đầu mỗi câu 0,50 điểm, các ý còn lại 0,25 điểm)
Bài 5: (2,0 điểm)
- Có EF//DC nên :
AC
OA
DC
OE
=
BD
OB
DC
OF
=
(1)
- AB//DCnên
OB
OBOD
OA
OAOC

OB
OD
OA
OC +
=
+
=

-
BD
OB
AC
OA
OB
BD
OA
AC
==
(2)
- Từ (1) và (2) đợc :
DC
OF
DC
OE
=
đpcm.
- Từ :
BD
OB
DC

OF
=
và
CA
OC
AB
OF
=
cộng đợc:
CA
OC
OD
OB
AB
OF
DC
OF
+=+
. (3)
- Thay
BD
OB
AC
OA
=
vào (3) đợc :
1==+=+
AC
AC
CA

OC
AC
OA
AB
OF
DC
OF
- Suy ra đợc : OF =
ba
ab
DCAB
DCAB
+
=
+
.
- EF = 2OF =
ba
ab
+
2
( mỗi ý 0,25 điểm)
A
B
O
E
F
D
C