BÀI TẬP ĐẲNG THỨC-BẤT ĐẲNG THỨC

Chủ đề 4: ĐẲNG THỨC , BẤT ĐẲNG THỨC& ỨNG DỤNG
1. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1 1 1
2009
x y z
+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta có:
4ab ≤ (a + b)
2

1
4
a b
a b ab
+
⇔ ≤
+

1 1 1
( , 0)
4
a b
a b

 
⇔ + ∀ >
 ÷
 
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z
 
     
≤ + ≤ + + = + +
 
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
 
Tương tự:
1 1 1 1 1
2 8 2 2x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
và
1 1 1 1 1
2 8 2 2x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +

 
Vậy
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
1 1 1 1 2009
4 4x y z
 
≤ + + =
 ÷
 
Vậy MaxP =
2009
4
khi x = y = z =
12
2009
2. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1
a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + =
+ + + + + +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c
Giải :
Ta có:
3

2 2
2
3
a a b
a ab b
−
≥
+ +
(1)
⇔ 3a
3
≥ (2a – b)(a
2
+ ab + b
2
)
⇔ a
3
+ b
3
– a
2
b – ab
2
≥ 0
⇔ (a + b)(a – b)
2

≥
0. (h/n)

Tương tự:
3
2 2
2
3
b b c
b bc c
−
≥
+ +
(2) ,
3
2 2
2
3
c c a
c ac a
−
≥
+ +
(3)
Cộng vế theo vế của ba bđt (1), (2) và (3) ta được:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +

Vậy: S ≤ 3
⇒
maxS = 3 khi a = b = c = 1
3. Tìm giá những số dương thỏa mãn:
2 2 2
3a b c+ + =
. Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7a b b c c a a b c
+ + + +
+ + + + + +
Giaỷi:
p dng bt ng thc
1 1 4
( 0, 0)x y
x y x y
+ > >
+
Ta cú:
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;
2 2 2a+b+ca b b c a b c b c c a a b c c a a b
+ + +
+ + + + + + + + + +
Ta li cú:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2

1 2 2
2 4 4 2 2 0
2 2 4 7
2 1 1 1 0
a b c a b c
a b c a b c a
a b c
= + + +
+ + + + + +
+ +
Tng t:
2 2
1 2 1 2
;
2 7 2 7b c a b c a b c

+ + + + + +
T ú suy ra
2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7a b b c c a a b c
+ + + +
+ + + + + +
ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c = 1
2. Chng minh rng :
2 2 2
2.
a b b c c a
b c c a a b
+ + +

+ +
+ + +

3. Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng

1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
4. Cho a, b, c l cỏc s thc dng tho món
3
=++
cba
.
Chng minh rng:
134)(3
222
+++ abccba
5. Cho x, y, z l cỏc s thc dng ln hn 1 v tho món iu kin
1 1 1
2
x y z
+ +
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
6. Cho cỏc s thc a, b, c tha món :
0 1,0 1,0 1a b c< < <
. Chng minh rng:
( )
1 1 1 1

1 3a b c
abc a b c

+ + + + + +
ữ

7. Cho a,b,c l ba s thc dng. Chng minh:
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
b c c a a b
a b c
a b c a b c
+ + +

+ + + + + +
ữ ữ

8. Cho x,y,z tho món l cỏc s thc:
1
22
=+ yxyx
.Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht
ca biu thc:

1
1
22

44
++
++
=
yx
yx
P
9. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
1a b c+ + =
. Chứng minh rằng:
7
2
27
ab bc ca abc+ + − ≤
.
9. Cho ba số a, b, c khác 0. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
a b c a b c
b c a b c a
.
10. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +

+ + ≤
+ + +