Lượng giác tổng hợp cực hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (825.94 KB, 140 trang )
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
PHẦN I: LƯỢNG GIÁC
!"#$%& '()*+,#%"%$-
.(/01$#%& 2
13 =
3 4≤
5672
$13 8
$139+8
π
π π
= +
= −
( )
∈Z
13 =
3 4≤
5672
$139+8
π
= ±
( )
∈Z
3
=
672
$3
π
= +
( )
∈Z
$ 7
3 =
672
$3
π
= +
!
( )
∈Z
(/0$%:1;<=%,71>2
4?7
$1 =
2
@-A%B2
[ ]
454 = −
C
$1
8 8
1
π π
∈ −
= ⇔
=
8?7
$1 =
2
@-A%B2
[ ]
454 = −
$1 =
[ ]
DC
1
π
∈
⇔
=
?7
$
=
2
@-A%B2
E =
C
$
8 8
π π
∈ −
÷
= ⇔
=
F?7
$ =
2
@-A%B2
=
( )
DC
$ A
π
∈
= ⇔
=
!"#$%&$'()*+$, '!/
Nhóm học sinh lớp 11A1
6
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
*+$, *1$#2
( ) ( )
1 1 1 1
π π
=
+0+
( ) ( )
1 1 1 1
π π
=
1 1 8
1 1 8
π π π
π π π
= +
⇔
= − +
8 1 8
F 1 8
π π
π π
=
⇔
=
1
1
8
=
⇔
=
1 4
∈
≤
Z
4
4
8
≤
⇔
≤
4
8
⇔ ≤
{ }
DC 4C 8⇔ ∈ ± ±
1 D
4
1
8
1 4
=
⇔ = ±
= ±
1 8 D
4
1
8
4
1
8
=
⇔ =
= −
8
8
G
H
8
G
I
8
G
π
π
π
π
π
π
π
=
= ± +
⇔
= +
= +
8
G
π
π
π
=
⇔
= ± +
5
∈Z
!
J 6K$%:7
8
G
π
π
π
=
= ± +
5
∈Z
!
1."#$2L& 7.()*76M%5M#>K$77 7BN#$
OK$P+QLRS$TK$P+Q6()*MN#$OJ6AU%-#+6
P+QV%$%,.1>()*+$ N#$%,6.1>7%W1>51>
OX7$1YZ'.1>71$#2
*+$,
L?[)RRRAR+$7L-#\V4]I]^L?_(``8DDD!
M6# K$1$#2
(
)
8
1 ] 4GD aDD 4
a
π
− + + =
+0+
*1;A71># :5+%$2
Nhóm học sinh lớp 11A1
7
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
(
)
8
1 ] 4GD aDD 4
a
π
− + + =
(
)
8
] 4GD aDD 8
a
π
π
⇔ − + + =
∈
Z
!
( )
8
8
8
] 4GD aDD 4G
4G D
] 4GD aDD 4G
⇔ + + = −
− ≥
⇔
+ + = −
8
4G D
a 8H
H
− ≥
⇔
−
=
+
4G D
8H
] 8F FD
H
− ≥
⇔
= − −
+
( )
4
8H
H
⇒ ∈
+
Z
51# $2
{ }
DC^8C^4D ∈
( )
8
b
( )
8
5c;d,7
( )
4
$%2
8
I
4D
4
= −
= −
= −
= −
1."#$2L& 7.()*56$7.6
# $e7$1Y%-%,.=V'f1$#077 gc=
%W$TK$P+Q
*+$, 1>
$hD
XM::2
( )
8 8
4
1 8 1
8
π π
+ − −
÷
iD
+0+
( )
8 8
4
1 8 1
8
π π
+ − −
÷
iD
( ) ( )
8 8
1 8 1
8
π
π π
⇔ − + =
( ) ( )
8 8
1 8 1
π π
⇔ + =
( )
( )
8 8
8 8
8 8
8 8
π π π
π π π π
+ = +
⇔
+ = − +
( )
8
8 8 8 4 D
= ∈
⇔
+ − + =
Z
( )
j
( )
j
hD
∈
Z
1# $
4
8
−
=
1."#$2077 8M#>N#$O2
^kM2$%:1;<=RkWM7%>7
<W
1 1 +
2
Naêm hoïc 2006 – 2007
8
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
1 1
8
π
= −
÷
^k$2BXMVK$,$
*+$, 26<XMK$2
( )
( )
8
8
1 1 4
π π
= +
+0+
( )
( )
8
8
1 1 4
π π
= +
( )
( )
8
8
8
8
4 8
4 8
π π π
π π π π
= + +
⇔
= − + +
∈
Z
!
8
8 4
8
D
+
= −
⇔
+ − =
∈
Z
!
∈
Z
( )
9
lU
8 4
hD
8
+
= −
5
∈
Z
1# $25$%
4
8
=
76<XM
( )
9
lU
8
D + − =
( )
j
2
m 4 F D= + ≥
4
F
≥ −
⇔
∈
Z
D
⇒ ≥
;d,$M +
4
=
( )
j
6XM72
^49 H 4
Ai h
8 8
W!
J 6<XMK$%:72
4
8
=
*+$, 3[6
[ ]
D54DD∈
K$1$#2
8
8
8
1 1 4
1 8
1
− +
= +
+0+
L-#+62
8
1 D ≠
8
π
π
⇔ ≠ +
( )
∈Z
J%-#+62
8
8
4
1 4 1 8
1
⇔ − + = +
1 18
⇔ =
8
8
π
π
=
⇔
=
5
∈
Z
8
π
⇔ =
j!
Nhóm học sinh lớp 11A1
9
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
D 4DD
≤ ≤
4DD HD
D FI
8
π π
≤ ≤ = =
FI8
Fa D
8
π
+
÷
⇒ =
iIH8
π
1."#$2077 76$M $TK$P+QTgn.M%-2fN#$
OK$6+,6;<#5,#$+R+,6W<<W
Rkj!%$,7AU8M1$#2
D 8 4DD
π
≤ ≤
C
8
D 4DD
π
≤ ≤
o $>p$5N#71YB+U<7.+Rf
,
456
\,Rk6()*qrS$VW%
6W$7TV%.Rk6%5b%6
N# ,7'%>77$b$AU'!LRS6
+,Rk6"d6.6
c,s%& $+R%-Z%,7 7$g%,$
K ,#1$#2
A. ĐƯNG TRN LƯNG GIC:
-78-+.+9%7:)0.
$!LpT27%pT+%B
Ei4
7%$%:O.
-#<
( )
9
Rp-#<7-#-#+%tt!
!/#2
»
u5078%V%pT!7#W'
%V@<# V%pTv.-#M%Bbu%,0
!*2+p.-#M%B
;:.<=-=)+>/?+@.<A7B*7/.<C;D.<<+-7
$!0V#<w%VOK$#,1>%<W
39+
π
2
$%$1>%-<W
8
3
π
+
07O#&6k+bD%,
( )
4
*+$, 2 %pT5$M %Vu7>
LBr%V@,1%
»
F 8
π π
= +
+0+
$1%
»
8
F 8 F F
π π π π
= + = +
_# $F%VO#&6k2
Naêm hoïc 2006 – 2007
10
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
( )
¼
9 42
F
π
= =
( )
¼
H
9 82
F
π
= =
( )
¼
I
9 2
F
π
= =
L-x$M c%pT%VO#7%gK$#R
D 4 8
1."#$2%pT%VO#7%gK$.%$%-#
W
!0V#<w#!<<WRk[N#2
$V#<wb#!%pTb%1# $Rk[N#
*+$, 0V#<w1>%1$#<<W.Rk[N#2
π
π
π
=
= ± +
+0+
$V#<w%VO#K$
8
8
π
π
= =
D 2 D = =
42
π
= =
$V#<V%VO#K$
π
π
= ± +
D 2
π
= = ±
F
42
π
= = ±
%pT5$M G%VO#&65%Rk
[N#72
8
G
π π
= =
1."#$2y#$77 $M n$TK$6+,<<W
.Rk[N#%?r$5%& T77-66
cV#<w%pT
07()*<+,6c%pT%VW
6W$
Nhóm học sinh lớp 11A1
11
( )
¼
9 D2
F
π
= =
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
*+$, *2
8
1 1 1 ! 4
D
1 1 4
+ −
=
+ −
+0+
L-#+62
8
1 1 4 D + − ≠
8
1 1 D ⇔ + ≠
1 D
1 4
≠
⇔
≠
8
π
π
π
≠
⇔
≠ +
( )
4
J%-#+6%%2
( )
1 1 1 4 D + − =
8
1 1 1 4 D ⇔ + − =
⇔
1 1 1 ! D − =
1 D
1 1
=
⇔
=
8
F
π
π
π
π
= +
⇔
= +
5
∈Z
( )
8
\,#26K$%:72
8
π
π
= +
C
8
8
π
π
= − +
5
∈Z
!
1."#$2L& 7.7Rk6%U$VV#<w.
A%pT# $: AU71$#%VM n
7#1zK$7V#<w6%pT
*+$, *1$#2
1 F
4
1G
=
+0+
L-#+6%V{$72
1G D ≠
G
8
π
π
⇔ ≠ +
48 G
π π
⇔ ≠ +
5
∈Z
4!
J%-#+64!%2
1 F 1G
=
⇔
1G 1 F
8
π
= −
÷
G F 8
8
G F 8
8
π
π
π
π
= − +
⇔
= − +
∈
Z
Naêm hoïc 2006 – 2007
12
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
8D H
F
π π
π
π
= +
⇔
= − +
∈
Z
_167 %-#+6$%f#$%6K$72
8D H
π π
= +
7
H 4
≠ +
5
∈
Z
1."#$$M %>77 6V#<wc%pT%:
'++|7+A%$: Av$
B. PHƯƠNG TRNH NGHIM NGUN:
:'E7F!=;:.<=-=
*M$e
+ =
5$55#
$!LB42LB-1dtW6#
/f7%K%V
+ =
5
( )
5 5 ∈Z
6# 7
( )
5
?6N#2o,#
( )
5 4 =
+ =
#R6#
!LB82,#
+ =
5
( )
5 5 ∈Z
5
8 8
D + ≠
5
( )
5 4 =
.6
( )
D D
5
6[N#K$72
D
D
= +
= −
5
∈
Z
J<=2
8 4 + =
67
( )
45 4−
76[N#72
4 8
4
= +
= − −
5
∈
Z
!J<=276#6# 1$#v$1>#
G 44 8 − = +
4!
$
( )
G544 4=
4!#R6#
(4!67
( )
8 F5 8 + +
6[N#2
8 F 44
8 G
= + −
= + −
5
∈
Z
GH?I$AU.1>7<6# %V+,6
$ 66N#K$()*
*+$, *2
8 I 4 =
+0+
L-#+62
Nhóm học sinh lớp 11A1
13
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
8
8
I
8
π
π
π
π
≠ +
≠ +
( )
( )
4
F 8
8
4F I
π π
π π
≠ +
⇔
≠ +
5
∈Z
J%-#+6%2
1 8 1 I 1 8 1I =
1] D⇔ =
]
8
π
π
⇔ = +
4a ]
π π
⇔ = +
5!
∈Z
$AUAv6K$!%-#+64!58!$ +R2
• lU%-#+64!2
$6# 1$#2
F 8 4a ]
π π π π
+ = +
F 4a I ⇔ − =
w<7M
( )
F54a 8=
+R7K$I
6# R6
J 6!#R:4!
• lU%-#+68!2
$6# 1$#2
4F I 4a ]
π π π π
+ = +
I 4F ] 4a
⇔ + = +
I ] 4 ⇔ − =
6[N#72
F ]
I
= +
= +
5
∈Z
6K$%:72
4a ]
π π
= +
5
∈
Z
7
] F5 ≠ + ∈Z
1."#$2L>77 $M Rk6K$+kW56V#
<w%pT+%A/$<6# 1Y
A7<w<7y#$ 'W78'=$M ,#<R
%B71Y$
*+$, *61$#2
18 4
1 4
=
=
+0+
18 4
1 4
=
=
F 4!
5 !
8 8!
π
π
=
⇔ ∈
=
Z
Naêm hoïc 2006 – 2007
14
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
LV67 $6# 2
F 8
π π
=
4
5
8
= +
⇔ ∈
=
Z
J 6K$6%:72
F
π
=
∈Z
1."#$2/V$c77 d+%MN#$O/.
1$fpZR# V2+76%7 ${
$ %,%pT^}d+d+# V~0'%pT
#+7
8
π
+%4!#+7
F
π
78!#+7
8
π
$+RV1;<=
%pTp7
$g<%pT+1>%%<W2
8
π
α
= +
$
π
α
= +
<%pT#+
8
π
!
JKLM
NOP
;:.<$QR.ST.<7U=)17
1 1 + =
8 8
D + ≠
L><W7 $8N#v#.2
-7(
1 1 + =
1 1
⇔ + =
1 1
ϕ
⇔ + =
C • •
8 8
π π
ϕ ϕ
= −
÷
( )
1 1
ϕ ϕ
⇔ + =
LZ
1 1
ϕ α
=
8 8
π π
α
− ≤ ≤
÷
5$2
1 ! 1
ϕ α
+ =
L-#+6%V62
8
8
8
1 4 1 4
ϕ
≤ ⇔ ≤
8 8 8
8
8 8 8
4 4
ϕ
⇔ ≤ + ⇔ ≤ +
8 8 8
⇔ ≤ +
-7(%W1>
• o,#
1 D
8
=
76K$4!
D
1 4
=
= −
\%4!
D ⇔ + =
Nhóm học sinh lớp 11A1
15
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
• o,#
1 D
8
=
+R76K$4!5$ 7
D
+ ≠
tW
8
LZ
8
8
8
8
1
4
8
4
1
4
=
+
= ⇒
−
=
+
$4!
8
8 8
8 4
4 4
−
⇔ + =
+ +
8 8
8 4 ! 4 ! ⇔ + − = +
8
! 8 D ⇔ + − + − =
*%6
8
=
51# $6A
L-#+6%V4!672
( )
€ 8 8 8
D
D
D
+ =
+ ≠
∆ = − − ≥
8 8 8
⇔ + ≥
o o,#
8 8 8
+ =
5'72
1 1 1 1 4
ϕ ϕ
+ =
1 ! 4
ϕ
⇔ + =
o o,##
ϕ
4+R7#%Z6
5 5 5
G F
π π π
$
<8%V%U%
o L>$1>$<8
*+$, LWO\,y#>&?7o.4]]I!
6
8 G
5
H I
π π
∈
÷
K$1$#2
1I 1 I 8 − = −
+0+
1I 1 I 8 − = −
4 8
1I 1 I
8 8 8
−
⇔ − =
1 1I 1 1 I 1
F
π π π
⇔ − =
1 I 1
F
π π
⇔ + =
÷
Naêm hoïc 2006 – 2007
16
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
I 8
F
I 8
F
π π
π
π π
π
+ = − +
⇔
+ = +
4 8
aF I
!
H 8
aF I
π π
π π
= − +
⇔ ∈
= +
Z
• lU
4 8 8 G
C
aF I H I
π π π π
= − + ∈
÷
8 4 8 G
H aF I I
π π π π
⇔ ≤ − + ≤
4Ga• GH 48D •GD⇔ − +
8•48D •F8H⇔
8C ⇒ = =
J+i8
4 F H
aF I aF
π π π
⇒ = − + =
J+i
4 G H]
aF I aF
π π π
⇒ = − + =
• lU
H 8 8 G
C
aF I H I
π π π π
= + ∈
÷
8 H 8 G
• •
H aF I I
π π π π
⇔ +
4Ga•8H 48D •H⇔ +
8⇒ =
\%
H F H
aF I aF
π π π
= + =
\,#2
H H H]
C C
aF aF aF
π π π
∈
1."#$s77 $ZWM%-AU%-#+6K$P+QRk6$
M ,#7 #f#%-#+6K$66AU%-#+6K$P+Q7
%
*+$, LWO*$RJ?7o.8DDD!
*1$#2
( )
8 8 1 1 1 1 8 + = +
+0+
( )
8 8 1 1 1 1 8 + = +
( )
8 1 8 4 18 8 ⇔ + − = −
/2
( ) ( )
( )
8 8
8 8
8
8
8 8 4 H 8 8
8 44 G 8
+ = + − = −
= − = −
$1Yk2
8 8 8
• +
H 8 8•44^G 8⇔ −
Nhóm học sinh lớp 11A1
17
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
( )
8
8
F 8•G F 8 •G⇔ ⇔
8•G
⇔
%S!
J R6
1."#$L-#+6%V6MN#$O5%Z677
$1>7$pZ+LW?O%& !<%$fN#$&
%,J,7-%-#+6tW6$1Y%Z'71$#
*+$, /
81 1 4 + = −
4!
$%V6
C
8 8
π π
∈ −
*76#v
+0+
$
( )
4 D + = + − ≠
1 D
8
≠
LZ
8
=
8
8
1
4
⇒ =
+
8
8
4
C1
4
−
=
+
\%2
( )
8
8 8
8 4
4 8 4
4 4
−
⇔ + = −
+ +
( )
( )
( )
8 8
F 4 4 4 ⇔ + − = − +
( )
8
F 4 8 D ⇔ = − + − =
%V4!6
C
8 8
π π
∈ −
C
8 F F
π π
⇔ ∈ −
• /42•#f#7%
( )
8
F 4 8 D ⇔ = − + − =
6
[ ]
4C4 ∈ −
lU
( )
4 D G 8 D − = ⇔ − = ⇔ =
lU
( )
4 D 8 8 D 4 = ⇔ − − = ⇔ = −
lU
( )
D =
46
( )
4C4 ∈ −
746
[ ]
4C4 ∉ −
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 G 8 8 8 •D ⇔ − = − − −
( ) ( )
8^G 8 8 •D⇔ +
4••⇔
lU
( )
D =
86
4 8
5
4 8
4• •4 − ≤
( )
( )
€
D
8 D
4 4 hD
G 8 hD
4 4 hD
8 8 hD
4•8•4
4• •4
8
∆ ≥
+ ≥
−
−
⇔ ⇔ ⇔
− −
−
−
Jo
\,#24!6
C
8 8
π π
∈ −
4••
⇔ −
Naêm hoïc 2006 – 2007
18
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
• /82
( )
8
F 4 8 D ⇔ = − + − =
6
[ ]
4C4 ∈ −
⇔
( )
€ 8
4 4
8
8 8
= − + =
6
[ ]
4C4 ∈ −
$2
( )
[ ]
€
8•D 4C4 = − ∀ ∈ −
51# $!B,‚ƒ^4C4„
_# $B!$…%W
( ) ( )
[ ]
4 C 4 4C − ≡ −
b%4!6
C
8 8
π π
∈ −
( )
⇔ =
6
[ ]
4C4 ∈ −
4••⇔ −
*76#2
( )
8
F 4 8 D = − + − =
€
8 ∆ = +
o,#
( )
€
^
• •D D
8
⇒ ∆ ⇒ =
51# $4!R6
o,#
( )
€
^
D D 8
8
= ⇒ ∆ = ⇒ = ⇔ =
8 8 8
8
α α π
⇔ = = ⇔ = +
o,#
( )
4
8
8 8
^
h D
8
8 8
β
γ
= − + =
⇒ = ⇔
= + + =
8 8
!
8 8
β π
γ π
= +
⇔ ∈
= +
Z
„
1."#$
^ /&#$K$77 $7.$%-#+67
4<$k$!7.N#v#.pM 'O1
4D fSx%,8<.1>+,k-2
7%t,5B,57=5†!7$1YZW'71$#
^ /"'&#$7 $%:1;<=.Rk2
1 D D
8
≠ ⇔ + ≠
$
Rk7 %:%z%,'fx# ,5'%& gzW%VMW
'Rk7 VM7+V$z6
^ s&#$V1b<=RkR65.658
6+7g+2
8 8 8
• +
$
8 8 8
+ =
$
8 8 8
h +
*+$, 2
*1;
8 8
D + ≠
771>M+/kc81$#2
( )
( )
1 1 4
8 8
+ =
+ =
‡M46
+0+
^o,#
8 8 8
+ ≥
7%-#+6f7%K%V
1 1
+ =
6
^o,#
8 8 8
• +
4!R6$AU8!2
J
D D
= ⇒ ≠
<
8 8
D + ≠
!
( )
8 8 ⇔ =
6
Nhóm học sinh lớp 11A1
19
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
J
D
≠
( )
8
8 8 D ⇔ − + =
7$vA5
( )
8 8
8 F 8 8 hD ∆ = − = −
( )
8 8 8
h$ 9 8 ≥
_# $8!6
W
8 8
D + ≠
7M+M.$4!78!
6
1."#$L& 7.7%RSB'$g%
,#$zr%-#+66K$%qM`T,#+R6AU
77 1YRz>o7$77 TM %-#+66K$
.$TRN#$O
;:.<$QR.ST.<7U=)17
8 8
1 1 1 1 + + =
4!$55
≠
D!
-7
8 8
1 1 1 1 + + =
4 1 8 1 4 1 8
8 8 8
− +
⇔ + + =
( )
1 8 18 8 ⇔ + − = − −
)S7 4!'-<W%qM`
-7
8 8
1 1 1 1 + + =
( )
8 8 8 8
1 1 1 1 1 1 ⇔ + + = +
lU
1 D =
D ⇔ − =
<w<7k%!
lU
1 D D
≠ ⇔ − ≠
5$8,K$
8
1
$%
$v
2
( )
8
D − + + − =
*+$, *2
8 8
I1 81 8 1 4H D + − − =
4!
+0+
$2
IC 4H D 1 D = = ⇒ − ≠ ⇒ ≠
/$8,K$
8
1 D ≠
$%%2
( )
8 8
I F 4H 4 D + − − + =
( ) ( )
8
I 4H F 4H ⇔ − + − +
D
=
8!
$ˆ2
( ) ( )
€
F I 4H 4H∆ = + − +
8
8H 48 4H ] 4H= + −
LZ
H
4H 4H 8H
= ⇒ = ⇒ =
5+%%
Naêm hoïc 2006 – 2007
20
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
( )
€ 8
H H 48
] 48
H
∆ = − + = − −
÷
w<7M 2
48 48
•4H• • 4H•
H H
⇔ =
÷
_# $
€
•D 8!∆ ⇒
R6
( )
4⇒
R6
\,#2%:R6
1."#$0Z77 7%Z
4H =
b%$V%$%,<M#K$
€
∆
S7%N# ,L& 7.<W7%[$TK$e1>7$
1>
*+$, LB$%V1$#62
8 8
1 1 8 1 4 + + =
+0+
8 8
1 1 8 1 4 + + =
( ) ( )
4 1 8 1 8 4 18 4
8 8
⇔ − + + + =
18 1 8 4 8
⇔ + = −
(6
( )
8
8
4 8 4 ⇔ − ≤ +
8
F D ⇔ − ≤
F
D
⇔ ≤ ≤
\,#24!6+7g+2
F
D
≤ ≤
1."#$L>77 $TVv+2
^ J
4 D
− =
62
( )
1 D
8
π
π
= ⇔ = + ∈Z
^ J
4 D − ≠
$$8,K$
8
1 D ≠
%
$v
t<%-#+6K$
∆
%VA%B$
;:.<$QR.ST.<7U=)17
8 8
1 1 1 1 1 1 D + + + =
lU
1 D
=
76K$
/$8,K$
1 D ≠
$%.v
*+$, LWO•7>?t/@4]]I!
*2
1 1 8 1 G1 + =
4!
+0+
4!
( )
1 81 1 1 F1 G1 ⇔ + − =
8
F1 1 81 1 G1 D ⇔ − − + =
8!
o,#
1 D =
76K$8!2
Nhóm học sinh lớp 11A1
21
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
1 4
1 D
1 4
F1 1 D
F1 1 D
=
=
= −
⇔ ⇒
− =
− =
Rx
/$8,K$8!
1 D ≠
$%%2
( )
8
8 8 G D ⇔ − − + =
( )
( )
8
8 D ⇔ − − =
( )
8
α α π
π π
π
= = = +
⇔ ⇔ ∈
= ± = ± = ± +
Z
1."#$s<W%qM```7 $fN#$&%,8Rk
&1$#%& 2
1 1 F1 = −
C
1 F1 1 = −
opRk7 7$V%$.%M$v
7.$+%61$%qMM<W2
1 1 D
+ + =
$ .%qM$k
*+$, /2
( )
1 18 1 4 D j − + − =
LB%Vj!%SI6&6
C8
8
π
π
∈ −
÷
+0+
$j!
( )
8
F1 1 81 4 1 4 D ⇔ − − + + − =
( )
8
F1 81 1 D ⇔ − + − =
( )
8
1 F1 81 D ⇔ − + − =
8
1 D
F1 81 D
=
⇔
− + − =
+
C8
8
π
π
−
÷
1 D
=
86&672
4 8
C
8 8
π π
= =
%%Vj!%SI6&6+
C8
8
π
π
−
÷
8
F1 81 D − + − =
%SH6+$#+
C8
8
π
π
−
÷
7
+
4 8
C
8 8
π π
= =
@Z+
1
α
=
D• •4
α
%S6+
C8
8
π
π
−
÷
C
Naêm hoïc 2006 – 2007
22
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
4• •D
α
−
%S86&6+
C8
8
π
π
−
÷
J $%-#+6K$
%V
8
F 8 D − + − =
86
4 8
5
%-#+6
4 8
4• •D• •4−
[ ]
i1A 454∈ −
LZ
( )
=
8
F 8 D − + − =
#f#7+7g+2
( )
( )
( )
D •D
•D
4 hD hD 4••
4hD
4 hD
−
− ⇔ + ⇔
−
1."#$L& 77c.%-%WOL-a]‚``!7"7<Wf
,M%-LVM#>K$<W7 7f
W.1>+,k-$k$7AUN#$O-$
Nhóm học sinh lớp 11A1
23
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
NVW6
L7()*k$%tp
( )
1 1
±
7
( )
1 1
5 ∈Z
/W7 $p<=Rk2
( )
8
1 1 4
1 1
8
+ −
=
C
( )
8
4 1 1
1 1
8
− −
=
_$#%c%Z
1 1
= +
Z
1 1
= −
$1Y%$()*-.
%W1>K$5
8C 8
∈ −
*+$,
%V1$#6&6
[ ]
DC
π
∈
2
1 1 − =
+0+
1 1 − =
( )
1 1 ! 1 1 1 1 ⇔ − + − =
LZ
[ ]
1 1 8 1 4C 8 DC
F
π
π
= − = − ∈ − ∀ ∈
÷
\%
8
4
8
−
⇔ − =
÷
( )
( )
8 8
8 4 8 8 ⇔ + − = ⇔ = − + =
$
( )
€ 8
D 4 = − + = ⇔ = ±
0,2
J‰
( )
8
4C4
=
∈ −
$
46
[ ]
DC
π
∈
J‰
)
4C 8
∈
$86
[ ]
DC
π
∈
%%V
1 1 − =
6&6
[ ]
DC
π
∈
( )
8 =
86
4 8
5
1$
4 8
4• •4• • 8 −
8•8•8⇔
8
••4
8
⇔
1."#$JŠ+,k-$k$71;<=%V.
$%-#+6s%& $fSx%,.1>Rk1$#p%<%V%$
-%>Ak2
Naêm hoïc 2006 – 2007
4−
4
8
( )
D9D^
( )
€
8
^8
8
24
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
+ = + − +
− = − + −
F F
1 1 + =
8 8 8 8 8
1 1 ! 81 1 + −
*+$, LW?O?#,8DD4!
/2
F F
4
1 1 1 8
8
+ = −
$!*i4
!/kc
4∀ ≥
#R6
+0+
F F
4
1 1 1 8
8
+ = −
8
4 4
4 1 1 8
8 8
⇔ − = −
( )
8
1 8 8 1 8 D 4 ⇔ + − =
$!Ji4
( )
8
4 1 8 81 8 D ⇔ + − =
( ) ( )
1 8 4 1 8 D ⇔ − + =
1 8 4
⇔ =
( )
F
π
π
⇔ = + ∈Z
!LZ
[ ]
1 8 454 = ∈ −
( ) ( )
8
4 8 D ⇒ ⇔ = + − =
w<7M
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 8 8 8 8 − = − + −
( )
8
F 4 D= − − ≤
4∀ ≥
%
( )
D =
#R46
[ ]
454 ∈ −
*+$, JR%Bov‹•+4]I!
*2
a a
]I
1 1
48a
+ =
+0+
a a
]I
1 1
48a
+ =
F F
4 1 8 4 18 ]I
8 8 48a
− +
⇔ + =
÷ ÷
( ) ( )
F F
]I
18 4 18 4
a
⇔ + + − =
LZ
18 =
\%%2
Nhóm học sinh lớp 11A1
25
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
( ) ( )
F F
]I
4 4
a
⇔ + + − =
( ) ( )
F 8 F 8
]I
F G F 4 F G F 4
a
⇔ + + + + + − + − + =
F 8
a4
8 48 D
a
⇔ + − =
8 8
1 8
F
⇔ = =
4 1F
8 F
+
⇔ =
4
1F
8 48 8
π π
⇔ = ⇔ = ± +
( )
∈k Z
*+$, 2074```4^0.%-# V_!
%V2
( )
8
8
4 D
1
+ + + − =
+0+
(
( ) ( )
8
F D ⇔ + + + − =
LZ
8
8
1 8
= + ⇒ = + = ≥
\%2
8
F D + − =
8 ≥
( )
8
F
− +
⇔ = =
$
( ) ( ) ( ) )
€
8
F
•D € ‚ C 8 8C
= − − ⇒ ↓ −∞ − ∪ + ∞
0,2
^
∞
^8D89
∞
( )
^^
( )
€
9
∞
9
∞
F^F
^
∞
^
∞
b,1# $%:6
( )
⇔ =
6
F⇔ ≥
1."#$(77 "%Av7R%>Ak
7%>AkK$7_$#%& 7.7-%>AkK$
151552
( ) ( )
8 1 1 H D − + − + =
X5G4YZ[K
!"#$%&#!
W7 1'7.1>[r#W'<WkW%%$-
<W%
Naêm hoïc 2006 – 2007
26
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
/fSx7'%& g#p51;<=Rk%%V#
O[kWt<=S76k
+R%$$[N#0'f7 1Y%%-%,.n
77%f %K'1$#2})k<=7*~
'()*+, /01234.54647
4
8 8A − =
8
8
1 8
+ =
4
8A
1 8
− = −
'()892:;76+<
4
( )
4
4
1 1
8 8
1 1 8 1
1
8
+
= + + + =
o7+,N#$"V%%7$f&8,
1
8
8
8
4
1 1
8 8
1 1 8 1
81
8
+
−
= + + + =
/"d
4
$&8,
1
8
8
4 4 4 4
8
1 1 8 1 8 1 8 8
= + + + + = −
/42<=
4
8A
1 8
− = −
/82$%qkfS%2
1
4 4 4 18
8
1 1 8 1 8 1 8
1
8
−
+ + + + =
lU,2
8
81 4
1
4 1
8
8
1
1 81 1 81 1
8 8 8 8 8
− −
−
÷
+ = = −
?7T$d$%2
J
1 8
1 8
=
F
( )
( )
F
4 4 4 4
1 1 8 18 1 1 4 1 1
= + + + = −
−
o&8,1$
Nhóm học sinh lớp 11A1
27
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
H
( )
H
8
1 4
1 1 8 1
4
1 1 1 1 1
+
= + + + + =
$2
( ) ( )
1 4 1 4
1 1 1
1 1 1 81 1
+ − −
= =
( )
4
1 4
1
1 1 1 1
−
+
= −
( )
1 4
1 1
+
⇒ =
G
( )
G
8 8 4
= + + + − = −
Œ<=2
( )
( )
4
4 4
−
− − = − −
⇒ = −
I
I
8 8
4 4 4 4
8 8 8 8 8 8 8 8
= + + + = −
Œ<=2
8 8A − =
a
a
8
8 8 8 8 8
8
4 4 4 4 4
1
1 F 1 F 1 F 1
8 8 8 8
= + + + = −
Œ<=2
8 8 8
4 4 4
F1 F1 1 8
+ =
'(),;76+
4
( ) ( )
( )
4
4
818 4
81 4 81 8 4 818 4
81 4
%
−
+
= − − − =
+
o&8,
( )
81 4 +
8
4
8
4
4 4 4 8
4 4 4
1 1 8 18
8
%
−
−
= + + + =
÷ ÷ ÷
/42&8,
8
/82$AU,2
J
8
8 8 8 4
8 4
81
81 81 8 81 8
8
1 1 8 18 1 8
−
−
=
8 8
4
8 1 1 1 8 1 8
8
1 1
8 8 18
=%
−
−
⇒ =
4
4
1 1 8
8
1 1 8
8
=%
−
−
⇒ = =
J(
Naêm hoïc 2006 – 2007
28
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
8 4
1 1 1
8 4 8 4 8 4
8 1
8 4
%
π π π
π
= =
+ + +
+
o&8,
1
8 4
π
+
sRk7 $.•XL7gf+,N#K$,7$
%:V,%k# -#p$g,$
71$Ž$f1;<=%,Rk'=$!<%$fRk
'=$
*+$, *2%-+V$# 4D44u4!
4
4 4
1 8 1
=
=
∑
+0+
L-#+6%V62
1 8 DC 45
≠ =
Œ<=
$%6K$72
( )
4
8
C 8 5
4 8
π
π
+
= = ∈
−
Z
1."#$$M p%qk
7677 '<w<7
@Z+fSxc%>7%-#+6kW $gf%Z
%-#+6[N#_$#%+%:%6t$,7%-#+6[N#$%f#
%VW%6W$
*+$, %V%qk1$#%S2
( )
4
1 FD 1 8D
=
=
∑
o o
4!
+0+
Œ<=
8
$%2
4!
⇔
4 FD
1 FD 1
8 8
18D
FD
81
8
+
−
=
o
o
o
o
( )
1 FD F14D 14D 1 8D
1 8D 4D 814D 1 8D
814D 814D
⇔ + = = =
o o o o
o o o o
o o
D •4D C8D •]D
o o o o
14D 1 8D hD
o o
1# $
D•8D 94D •]D
o
∈
o o
$M +RV74%o TW8B5;d,$%i8
/S$1Y%-M%-7 '5f
Nhóm học sinh lớp 11A1
29
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GG5\
8
D
•
•
≥
= ⇔
=
\(?)7e1>c<<M#|5%-#+67#.p'<<W
M{$VAv7.6>t()*
7M()*on7%& 7.<W+5kW<wz1$f7$V
M '7<%& 2
*+$, GF``^0.%-# V1!
*2
18 4 1 8 8 1 1 + + = +
4!
+0+
4!
( )
8
8 8
1 1 1 1 8 1 1 ⇔ − + + = +
lU
1 1 D + =
76
4
F
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
∈Z
!
lU
( ) ( )
( )
1 1 hD 1 1 hD
8
1 1 D 1 1 D
+ +
⇔
+ ≥ − ≥
J%-#+68!
( )
4 1 1 1 1 8 ⇔ − + + =
8 8
81 8 1 1 F ⇔ + − =
8 8
1 1 8 1 ⇔ − = −
( )
8
8 8
1 1 8 1 ⇔ − = −
8
1 F1 H D ⇔ + − =
[ ]
( )
1 4 454 8 5
π
⇔ = ∈ − ⇔ = ∈Z
;W%-#+68!2
1 4 1 D
= ⇒ =
8!
\,#2
F
π
π
−
= +
C
8
π
=
∈
Z
1."#$
?: ; N#$ 1 Av W 1$ $ AU 8 p 72
1 1 D + =
7
1 1 hD +
$…+R.%-#+6W72
1 1 D + ≥
o,#$%Z2
1 1 = +
7
1 1 = −
%-+6K$7+$gAU4p
72
D D
D D
≥ ≥
⇔
≥ ≥
(U,%[7 771$,#
D
=
•D∀
$Š6
D
D
≥
≥
%:
%$fe<W7
*+$, *2
8 8
F F
4D a1 a1 4 4+ − − =
Naêm hoïc 2006 – 2007
30
