chuyen de To hop cuc hay

CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.
n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
A
1
∩ A
2
= ∅
⇒ Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các đối tượng A
1
, A
2
.
2) Quy tắc nhân:
Có n
1

cách chọn đối tượng A
1
.
Ứng với mỗi cách chọn A
1
, có n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
⇒ Có n
1
.n
2
cách chọn dãy đối tượng A
1
, A
2
.
3) Hoán vị:
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
− Số hoán vị: P
n
= n!.
4) Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
− Số các chỉnh hợp:
k
n

n!
A
(n k)!
=
−
5) Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử.
− Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
− Hai tính chất
k n k
n n
C C
−
=

k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
−
− −
+ =
6) Nhị thức Newton

n
n k n k k
n
k 0
0 n 1 n 1 n n
n n n
(a b) C a b
C a C a b ... C b
−
=
−
+ =
= + + +
∑
− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
− Đặc biệt:
n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C ... x C+ = + + + +
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
1
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
II / MỘT SỐ VÍ DỤ

1. Bài toán đếm.
1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập.
Ví dụ 1.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao
cho
a) Các chứ số đều khác nhau.
b) Chữ số đầu tiên là 3.
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải
a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh
hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có
5
7
A
= 2520 số
b) Gọi số cần thiết lập là
abcde
Chữ số đàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn
b, c, d, e đều có 7 cách chọn
⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số.
c) Gọi số cần thiết lập là
abcde
Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4)
a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số.
Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97)
Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác

nhau
Giải

Gói số cần thiết lập là
abcde
Xét hai trường hợp
+ Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn
Khi đó a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số.
+ Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn
Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
2
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
d có 3 cách chọn
⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số
Vậy có 360 + 900 = 1260 số
Ví dụ 3.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo
thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5.
Giải
Cách 1:
Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có
3
6

A
= 120 số
Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác
nhau và có mặt chữ số 5.
⇒ Có 120.4 = 480 số.
Cách 2:
− Số cần tìm có 1 trong bốn dạng
5bcd,a5bc,ab5d,abc5
− Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số
Ví dụ 4:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3.
Giải
Xét các trường hợp
+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0
⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0)
+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2
Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0
⇒ Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 ⇒ có
2
2007
C
= 2007.1003 = 2013021
Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số
Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần,
chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

Giải
+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt đầu
bằng 0). Khi đó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí
Chọn 2 trong 7 vị trí để xếp chữ số 2: có
2
7
C
cách
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
3
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để xếp chữ số 3: có
3
5
C
cách
Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để đặt vào 2 vị trí còn lại có
2
8
A

cách
⇒ Có
2
7
C
.
3
5
C

.
2
8
A
= 11 760 cách.
+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí
⇒ có
2
6
C
.
3
4
C
.
1
7
A
= 420 số
Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số.

1.2 Đếm số phương án.
Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99)
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có
bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì.
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ.
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Giải
a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là:

3
40
C 9880=

cách.
b) Chọn 1 nam có
1
25
C 25=
cách
Chọn 2 nữ có
2
15
C 105=
cách
⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn
c) Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách
Chọn 3 học sinh nữ có
3
15
C 455=
cách
⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam.
Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97)
Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20
điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên.
Giải
Cách 1
Mỗi tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng
Số bộ ba điểm từ 37 điểm trên là:

3
37
C
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là:
3
17
C
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là:
3
20
C
Vậy số tam giác tạo thành là:
3
37
C
−
3
17
C
−
3
20
C
= 11 340 tam giác
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
4
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
Cách 2:
Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên
đường thẳng kia. Xét 2 trường hợp

+ TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có
2
20
17.C
+ TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có
2
17
20.C
⇒ Số tam giác là:
2
20
17.C
+
2
17
20.C
= 11 340
Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân)
Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng
song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba
đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác
và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành).
Giải
a) Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau
⇒ Số tam giác là 4.5.6 = 120
b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường
thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số
hình thang là
2 1 1 1 2 1 1 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5 6

C .C .C C .C .C C .C .C 720+ + =
hình thang
2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp
Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99)
Tìm k thỏa mãn:
k k 2 k 1
C C 2C
14 14 14
+ +
+ =
Giải
ĐK
k N
k 12
∈


≤

Phương trình tương đương với

14! 14! 2.14!
k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
+ =
− + − + −
⇔
1 1 2
(14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k)
+ =
− − + + + −

⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k)
⇔ k
2
− 12k + 32 = 0
⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
5
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh
Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99)
Giải bất phương trình:
n 3
C
1
n 1
4
14P
A
3
n 1
−
−
>
+
Giải
ĐK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương

n 3
C
1

n 1
4
14P
A
3
n 1
−
−
>
+
⇔
.
n 3 4
14.P C A
3 n 1 n 1
>
−
− +
⇔
( )
( )
( ) ( ) ( )
n 1 !
14.3! n 1 .n. n 1 . n 2
n 3 !2!
−
> + − −
−
⇔
2

n n 42 0+ − <
⇔
( ) ( )
n 6 . n 7 0− + <
⇔ −7 < n < 6
Kết hợp với Đk n≥ 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}.

Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001)
Giải hệ phương trình:
y y
2.A 5.C 90
x x
y y
5.A 2.C 80
x x



−


+ =
=
Giải
ĐK: x, y ∈ N
*
, y ≤ x
Đạt
y y
x x

u A , v C= =
⇒ u, v ∈N
*
ta có hệ
u
2.u 5.v 90
5. 2.v 80


−

+ =
=
⇔
u 20
v 10



=
=
Thay vào ta có
y
A 20
x
y
C 10
x






=
=
⇔
x!
(x y)!
x!
y!(x y)!
20
10


−




−

=
=
⇔
y! 2
x!
(x y)!
20
=





−

=
⇔
y 2
x!
(x 2)!
20
=




−

=

⇔
x(x 1) 20
y 2
− =


=

⇔
x 5,x 4

y 2
= = −


=

Kết hợp điều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm
x 5
y 2
=


=

Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
6