SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH
ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
Bài 2. Các phép dời hình trong mặt phẳng
Bài 3. Các ví dụ thực tế
PHẦN II: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ.
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
1) Đại cương về các phép dời hình:
a) Định nghĩa:
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M
’
thuộc mặt phẳng ấy.
Điểm M
’
gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
b) Thuật ngữ và kí hiệu:
- Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M
’
là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M
’
= F(M) hoặc F(M) = M
’
.
- Với mỗi hình H, ta goi hình H
’
gồm các điểm M
’

= F(M), trong đó M
thuộc hình H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và viết H
’
= F(H).
c) Tích của hai phép dời hình:
Khi một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M
1
, và phép bến hình
g biến M
1
thành M
’
thì việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình f và g (theo
thứ tự f trước, g sau) ta biến điểm M thành M
’
và phép biến hình h như vậy
biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến hình f và g.
Kí hiệu: g.f
Ta có: f(M) = M
1
g(M
1
) = M
’
h(M) = (g.f)(M) = g[f(M)] = M
’
2) Phép dời hình:
a) Định nghĩa:
Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.

Người ta cũng nói: Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng
cách giữa hai điểm.
b) Tính chất của phép dời hình:
Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm ấy, biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
BÀI 2. CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1) Phép tịnh tiến:
a) Định nghĩa:
Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành
điểm M
’
sao cho
MN u=
uuuur
ur
+ Kí hiệu: T
u
, là vectơ tịnh tiến.
b) Định lí 1:
Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M
’
và
N
’
thì M
’
N

’
= MN.
c) Định lí 2: Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi.
d) Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành
tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác
bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành
góc bằng nó.
e) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
u
ur
. Biết tọa
độ của
u
ur
là (a; b). Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M
’
(x
’
; y
’
). Khi đó ta
có:
'
'
x x a
y y b






= +
= +
2) Phép đối xứng trục:
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M
’
đối xứng với M qua a.
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đ
a
. a là
trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.
b) Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox:
Phép đối xứng trục Ox biến điểm M(x;y) thành điểm M
’
(x
’
; y
’
) thì
'
'
x x
y y






=
= −
d) Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của
hình H nếu phép đối xứng trục Đ
d
bieens H thành chính nó, tức là Đ
d
(H) =
H
’
.
3) Phép quay:
a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác
ϕ

không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O
thành điểm M
’
sao cho OM = OM
’
và (OM, OM
’
) =
ϕ
được gọi là phép quay
tâm O góc quay
ϕ
.

+ Kí hiệu:
,
Q
O
ϕ
 
 ÷
 
b) Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
4) Phép đối xứng tâm:
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M
’
đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa là
'
0OM OM+ =
uuuuur
uuuuur r
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là Đ
O
. Phép đối
xứng qua một điểm con goi là phép đối xứng tâm. O là tâm đối xứng
b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm
Đ
I
biến điểm M(x; y) thành điểm M
’
(x
’
; y

’
) thì:
'
2
'
2
x a x
y b y
= −
= −
c) Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu
phép đối xứng tâm Đ
O
biến hình H thành chính nó, tức là Đ
O
(H) = H
’
.
BÀI TOÁN 1:
XÁC ĐỊNH CÁC PHÉP DỜI HÌNH. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM, CỦA
MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH.
Việc xác định các phép dờ hình, dung ảnh của một điểm (của một hình) qua
một phép dời hình có vai trò quan trọng trong việc giảI nhiều bào toán bằng các
phép biến hình. Do vậy, ta cần lưu ý:
- Nếu đường thẳng d là trung trực của đoạn MM
’
thì M
’
là ảnh của M trong
phép đối xứng trục; đồng thời ta cũng có M và M’

là ảnh của nhau trong
phép đối xứng trục d.
- Nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MM
’
thì hai điểm M và M
’
là ảnh
của nhau trong phép đối xứng tâm I.
- Nếu cho trước hai điểm A và B thì B là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo
AB
uuur
. Nếu ABCD là hình bình hành thì C là ảnh của D trong phéptịnh tiến
theo
AB
uuur
.
- Nếu OA = OB thì B là ảnh của A trong phép quay tâm O, góc quay AOB
theo hướng từ A đến B.
- Nếu một phép dời hình f biến hai điểm phân biệt A và B của một đường
thẳng d thành hai điểm phân biệt A
’
và B
’
của một đường thẳng d
’
thì d
’
là
ảnh của d trong phép dời hình f. khi đó d

’
= f(d).
- Ngoài các tính chất chung của các phép dời hình, cần chú ý thêm là phép
tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đưởng
thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đã cho.
- Đói với các đường tròn có bán kính bằng nhau thì việc xác định phép dời
hình biến hình nọ thành hình kia đước đưa về việc xác định phép biến hình
tâm của đường tròn nọ thành tâm của đường tròn kia.
Ví dụ 1:
Cho góc nhọn xOy, với xOy =
α
,
0
0 90
α
< <
và một điểm M thuộc
miền trong của góc ấy. Gọi M
1
, M
2
theo theo thứ tự là ảnh của M

qua phép đối
xứng trục Ox, Oy.
a) Chứng mih rằng M
1
và M
2
là ảnh của nhau trong một phép đối xứng trục d

và trục d đI qua một điểm cố định.
b) CMR M
2
là ảnh của M
1
trong một phép quay mà ta cần xác định tâm và góc
quay.
c) Xét trường hợp
0
90
α
=
.
Giải:


Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB, AC, BC, D là điểm đỗi xứng của P qua M và E là điểm đỗi xứng của
P qua N. Hãy xác định các phép dời hình biến điểm D thành điểm E?
Giải:
Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP là hình bình hành. Suy ra:
DA = BP và DA // BP.
Tương tự ta có: EA = CP và EA // CP.
Từ các kết quả trên ta suy ra DA = EA (1)
DA và EA cùng đi qua A và cùng song song với BC, theo tiên đề Ơclit thì 3
điểm D, A, E thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Vậy Đ
A
(D) = E.

Ta cũng có DE = BC và DE // BC hay
DE BC=
uuur uuur
. Vậy
( )
BC
T D E=
uuur
.
Theo kết quả của câu 1) ta có: AD = AE và
( )
0
, 180AD AE =
uuuur uuuur
.
Vậy
( )
( )
0
;180A
Q D E=
Bài 3: Cho hình vuông ABCD và một số thực
0k ≠
. Xét hai điểm M, N thoả
mãn các hệ thức vectơ:
.AM k AB=
uuuur uuur
;
.BN k BC=
uuur uuur

.
a) Xác định phép biến hình f biến điểm N thành điểm M.
b) Xác định các điểm ảnh f(A), f(B), f(C), f(D) trong phép biến hình trên đay.
c) Chứng minh
AD DM⊥
.
Giải:
a) M và M
1
đối xứng nhau qua Ox cho ta : OM
1
= OM (1)
M và M
2
đối xứng nhau qua Oy cho ta: OM
2
= OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OM
1
= OM
2
(3).
Từ (3) suy ra tam giác M
1
OM
2
cân. Đường thẳng d đI qua O và
vuông góc với M
1
M

2
chính là trung trực của phép đối xứng
biến điểm M
1
thành M
2
(hoặc biến M
2
thành M
1
).
b) Do tính chất của phép đối xứng trục, ta có:
O
1
= O
2
và O
2
= O
3
, nên O
1
+ O
2
+ O
3
+ O
4
= 2(O
1

+ O
2
). Suy ra
M
1
OM
2
= 2
α
Từ (3) và (4) suy ra M
2
là ảnh của M
1
trong phép quay
tâm O và góc quay có độ lớn là
2
α
c) Khi
0
90
α
=
, ba điểm M
1
, O, M
2
thẳng hàng. Như vậy M
1

và M

2
là ảnh của nhau trong phép đỗi xứng tâm O hay cũng
là phép quay tâm O, góc quay 180
0
.
a) Do
.AM k AB=
uuuur uuur

.AM k AB⇒ =
uuuur uuur

.BN k BC=
uuur uuur

.BN k BC⇒ =
uuur uuur
.
Vì
AB BC
=
uuur uuur
nên
AM BN=
uuuur uuur

⇒
AM = BN.
OAM OBN∆ = ∆
(c.g.c) nên OM = ON và AOM = BON. Suy ra MON = 90

0
.
b) Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C.
c) Phép quay f biến: N thành M, A thành D. Nên trong phép quay này, DM là
ảnh của AN.
Vậy
AD DM⊥
.
Chú ý: Có thể giải câu c) như sau:
AN AB BN= +
uuur uuur uuur
DM DA AM= +
uuuur uuur uuuur
Từ đây chứng minh tích vô hướng
. 0AN DM =
uuuruuuur
.
BÀI TOÁN 2.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH
CHẤT HÌNH HỌC.
Phương pháp: Ta có thể sử dụng tính chất của phép dời hình để giải nhiều bài
toán chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn:
- Để chứng minh sự bằng nhau (hai đoạn thẳng, hai góc, hai tam giác, hai
đường tròn,…) ta chỉ cần chỉ rõ chúng là ảnh của nhau trong một phép dời
hình.
- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là ảnh của ba
đường thẳng qua một phép dời hình.
- Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ảnh của
ba đường thẳng đồng quy trong một phép dời hình.
- Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta chứng minh chúng là ảnh của

nhau qua một phép đối xứng tâm hoặc qua một phép tịnh tiến.
- Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, ta chứng minh chúng là ảnh của
hai đường thẳng vuông góc qua một phép dời hình.
- Để chứng minh điểm J là trung điểm của doạn thẳng CD, ta chứng minh J là
ảnh của trung điểm của đoạn thẳng AB trong phép dời hình biến Ab thành
CD.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi A
’
là điểm
đối xứng của đỉnh A trong phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC.
Chứng minh rằng điểm A
’
nằm trên đường tròn (O).
Giải: Đường trung trực của cạnh BC đi qua tâm O của đường tròn (O; r). Phép
đối xứng trục mà trục là đường trung trực của BC cho ta
'
O O
A A
→
→
nên
'
OA OA→
.
Do đó OA = OA
’
= r, suy ra
( )
'
;A O r∈

.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am. Từ B kẻ đường thẳng
song song với AM, cắt đường thẳng Ac tại D. Từ C kẻ đường thẳng song song
với AM, cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh rằng: hai tam giác ADE và
ABC bằng nhau.
Giải: Ta thấy các tam giác BAD và CAE cân tại A. Kẻ đường phân giác ngoài
HK của góc A thì trong phép đối xứng qua trục HK, ta có:
A A→
,
B D→
,
C E→
, nên
ABC ADE∆ → ∆
. Suy ra
ABC ADE∆ = ∆
.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, A
’
, B
’
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
BC, CA và D là điểm đối xứng của B
’
qua A
’
.
a) Chứng minh BD // AC;
b) Tại sao hai đường thẳng AA
’

và BD cắt nhau. Goi E là giao điểm của AA
’

và BD. Chứng minh rằng A
’
là trung điểm của đoạn thẳng AE.
c) Chứng minh CE // AB và D là trung điểm của doạn thẳng BE.
Giải:
a) Xét phép đối xứng tâm A
’
, ta có:
Đ
A’
(B’) = D, Đ
A’
(C) = B,
'B C DB⇒ →
. Suy ra B’C // DB hay AC // BD.
b) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì
' 'AA AA→
và
CA BD→
.
Mà AA’ và CA là hai đường thẳng cắt nhau nên ảnh của chúng qua phép đối
xứng tâm A’ là AA’ và BD cũng phảI cắt nhau và từ đây suy ra E là điểm đối
xứng của A qua tâm A’ nên A’E = A’A.
d) Cũng trong phép đỗi xứng tâm A’ thì:
A E→
,
B C→

. Do đó
AB EC→
.
Suy ra AB // EC.
Trong câu b) ta đã chứng minh BE là ảnh của AC trong phép đối xứng tâm A’.
Trong phép đối xứng này, ảnh của B’ là D mà B’ là trung điểm của AC và D
phải là trung điểm của BE.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác ta dung các tam
giác đều ABD, ACE, BCF.
a) Chứng minh rằng BE = CD = AF.
b) Gọi I, J theo thứ tụ là trung điểm của các đoạn thẳng BE, CD. Chứng minh
tam giác AIJ là tam giác đều.
c) Chứng minh ba đường thẳng BE, CD, AF đồng quy.
d) Dựng tam giác đều BKC (K khác F). Chứng minh rằng tứ giác AEKD là
hình bình hành.
Giải:
a) Vì AD = AB, DAB = 60
0
,
AC = AE, CAE = 60
0
. Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 60
0
thì:
D B→
,
C E→
,
CD EB→
. Suy ra CD = EB.

Tương tự chứng minh được BE = AF. Suy ra điều phải chứng minh.
b) Trong
( )
( )
0
,60A
Q J I=
nên AI = AJ và JAI = 60
0
. Suy ra tam giác ABC đều.
c) Gọi M là giao điểm của AF và BE. Ta chứng minh CD đi qua M.
Thật vậy, trên BE ta lấy điểm M’ sao cho MM’ = AM.
Vì BE là ảnh của AF trong phép quay tâm C, góc quay 60
0
nên ta có AMM’ =
60
0
. Điều này co nghĩa là
( )
( )
0
,60
'
A
Q M M=
. Như vậy, nếu thực hiện phép quay
tâm A, góc quay 60
0
, ta có:
D B→

,
C E→
,
'M M→
.
Do phép quay bảo toàn tính thẳng hàng nên từ sự thẳng hàng của ba điểm B,
M’, E ta suy ra ba điểm D, M, C thẳng hàng hay CD đI qua M.
d) Thực hiện phép quay tâm B, góc quay 60
0
theo chiều dương của mặt phẳng,
ta có:
C K→
,
A D→
, nên
CA KD→
. Suy ra CA = KD mà CA = AE nên
KA = EA (1)
Chứng minh tương tự, ta có: EK = AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEKD là hình bình hành.
BÀI TOÁN 3.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp: Để tìm tập hợp các điểm M’, ta chỉ ra rằng M’ là ảnh của M
trong một phép dời hình f mà tập hợp các điểm M’ là hình (H’), ảnh của hình
(H) trong phép dời hình f trên đây.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H
của tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
a) Sử dụng phép đối xứng trục:
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:
µ
µ
1 1
A C=

(cùng phụ với B)

µ
µ
2 1
A C=
(cùng chắn cung BH’)
Suy ra
µ
µ
1 2
C C=
Từ đây suy ra H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC.
Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H’ cũng di
chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) ngoại
tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng trục BC.
b) Sử dụng phép đối xứng tâm:
Gọi Đ
O
(A) = A’. Dễ thấy A’B // CH và A’C // BH. Suy ra tứ giác A’BHC là
hình bình hành, duy ra H và A’ đối xứng nhau qua trung điểm I của BC.
Khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn (O)
và do đó H di chuyển trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) qua phép đối

xứng tâm I, trung điểm của cạnh BC.
c) Sử dụng phép tịnh tiến
Gọi Đ
O
(A) = A’, I là trung điểm của BC.
Dễ thấy tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là trung điểm của AH. Kết hợp
với O là trung điểm của AA’ trong tam giác AA’H thì OI là đường trung bình
nên OI // AH và OI = AH/2. Suy ra
2AH OI=
uuur uur
.
Đẳng thức này chứng tỏ H là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H di chuyển
trên đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qau phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
. Dễ thấy OO’ = 2OI.
BÀI TOÁN 4.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DUNG HÌNH.
Phương pháp: Việc dựng các hình thường được quy về việc dung các điểm,
chẳng hạn để dung tam giác, đa giác thì ta cần duwngj các đỉnh của nó, việc
dung đường ròn thường là việc dung và xác định tâm của nó. Trong hình học,
một điểm được xác định bởi hai điều kiện, do vậy, ta thường căn cứ vào các
điều kiện của điểm cần dung để xem xét nó là ảnh của một điểm điểm đã cho
trong giả thiết, trong một phép dời hình f nào đó và thông thường ta sử dụng
phương pháp dung hình bằng quỹ tích để xác định điểm cần dung.
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) , (O’) và một đường thẳng d. Tìm trên đường

thẳng d một điểm sao cho các tiếp tuyến kẻ từ điểm ấy đến các đường tròn
(O) và (O’) nhân đường thẳng d làm phân giác.
Giải:
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d mà từ đó ta vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến
đường tròn (O) và các đường thẳng MA, MB tạo thành một góc nhận d làm
phân giác. Dễ thấy MA và MB đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Do vậy,
thực hiện phép đối xứng trục là đường thẳng d thì
MB MA→
.
Trong phép đối xứng này, đường tròn (O) biến thành đường tròn (O
1
) và điểm
B thành điểm B’ và AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O’) và (O
1
).
Từ đó ta có cách dựng sau:
- Dựng đường tròn (O
1
) là ảnh của đường tròn (O) trong phép đối xứng trục
d.
- Dựng tiếp tuyến chung B’A của hai đường tròn (O’) và (O
1
). Khi đó M là
giao điểm của B’A và d.
Số điểm M cần tìm phụ thuộc vào số giao điểm của các đường tiếp tuyến chung
của hai đường tròn (O) và (O
1
) với đường thẳng d.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A va B. Hãy dung qua A
một cát tuyến d, cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại các điểm M, N

sao cho: A là trung điểm của MN.
Giải:
Do AM = AN nên Đ
A
(N) = M. Như vậy, điểm M thoả mãn hai điều kiện:
- M thuộc đường tròn (O’),
- M thuộc đường tròn (O
1
), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm A.
Từ đó, ta suy ra cách dung:
- Dựng đường tròn (O
1
) đối xứng với đường tròn (O) qua tâm A.
- Dựng giao điểm M của hai đường tròn (O
1
) và (O’).
- Kẻ đường thẳng AM, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại N.
Ta co ngay AM = AN và cát tuyến AMN là cát tuyến cần dựng.
BÀI 3. PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Phép vị tự:
a. Định nghĩa: Cho một điểm I cố định và một số
0k ≠
. Phép biến hình biến
mỗi điểm M trong mặt phẳng thành điểm M’ sao cho
' .IM k IM=
uuuur uuur
Gọi là
phép vị tự tâm I, tỉ số k, kí hiệu V
(O,k)
.

Từ định nghĩa ta suy ra:
- Phép vị tự hoàn toàn xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị tự.
- Trong phép vị tự tâm I biến điểm M thành điểm M’ thì ba điểm M, M’ và I
thẳng hàng.
k > 0: khi đó M, M’ cùng phía đối với I;
k < 0: khi đó I nằm giữa hai điểm M và M’.
Khi k = 1, phép vị tự V
(I,1)
biến mọi điểm thành chình nó (phép đồng nhất).
Khi k = -1, ta có
'IM IM= −
uuuur uuur
, I là trung điểm của đoạn thẳng MM’, phép vị tự
V
(I,-1)
là phép đối xứng tâm I.
b. Tính chất của phép vị tự:
Tính chất 1: Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tuỳ ý theo thứ tự thành M’,
N’ thì
' ' .M N k MN=
uuuuuur uuuur
và
' ' .M N k MN=
.
Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hang và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm ấy.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng

nó.
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính
.k R
.
c. Tâm vị tự của một hình: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự
biến đường tròn này thành đường tron kia.
2. Phép đồng dạng:
a) Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0),
nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ưúng của chúng ta luôn
có M’N’ = k MN.
b) Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
k
.
c) Tính chất:
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm ấy.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó.
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R.
d) Khái niệm hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu
có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
BÀI TOÁN 5:
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG.
Phương pháp: tương tự như phép dời hình, đối với phép vị tự và phép đồng
dạng ta cũng có các loại bài tập:

a) Xác định các phép vị tự biến một hình (H) thành hình (H’). Trong loại này,
ta cần xác định hai yếu tố là tâm và tỉ số vị tujw. Đối với phép đồng dạng
ngoài tâm và tỉ số đồng dạng ta cần xác định thêm góc đồng dạng.
b) Sử dụng các phép vị tự và phép đồng dạng vào việc giảI các bài tập:
+ Chứng minh các tính chất hình học;
+ Tìm tập hợp điểm;
+ Dựng hình.
Bài 11: