Đề thi thử đại học - cao đẳng môn Toán năm 2011 - đề số 33 pps
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.07 MB, 32 trang )
Sở GD-ĐT phú thọ
Trường T.H.p.t long châu sa Đề THI thử ĐẠI HỌC
NĂM học: 2010-2011
Mụn thi : TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút(không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I:(2 điểm)
Cho hàm số :
1x2
1
x
y
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm
cận và trục Ox.
Cõu II:(2 điểm)
1. Giải phương trỡnh:
sin2 cos2
cot
cos sin
x x
tgx x
x x
2. Giải phương trỡnh:
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
Cõu III: (2 điểm)
1.Tính nguyên hàm:
sin 2
( )
3 4sin 2
xdx
F x
x cos x
2.Giải bất phương trình:
1 2 3
x x x
Cõu IV: (1 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(2, 0) biết phương trỡnh cỏc cạnh
AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0;
0
2
y
5
x
2
. Tỡm tọa độ các đỉnh A, B, C.
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Chú ý:Thí sinh chỉ được chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không được chấm
A. Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu Va :
1. Tỡm hệ số của x
8
trong khai triển (x
2
+ 2)
n
, biết: 49CC8A
1
n
2
n
3
n
.
2. Cho đường trũn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0.
Viết phương trỡnh đường trũn (C') tõm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại cỏc điểm A, B sao cho
3AB .
B. Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu Vb:
1. Giải phương trỡnh :
21x2log1xlog
3
2
3
2. Cho hỡnh chúp SABCD cú đáy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với đáy hỡnh
chúp.
Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu vuông góc của A lờn SB, SD.
Chứng minh SC (AHK) và tớnh thể tớch khối chúp OAHK.
………………… … ……………… Hết…………………………………….
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Hướng dẫn chấm môn toán
Câu ý
Nội Dung
Điểm
I
2
1
Khảo sát hàm số (1 điểm) 1
TXĐ: D = R\ {-1/2}
Sựự Biến thiên:
,
2
3
0
2 1
y x D
x
Nên hàm số nghịch biến trên
1 1
( ; ) ( ; )
2 2
va
0,25
+ Giới hạn ,tiệm cận:
1
2
lim
x
y
1
2
lim
x
y
ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2
1
lim
2
x
y
1
lim
2
x
y
đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2
0,25
+ Bảng biến thiên:
0,25
x
y
’
y
Ơ
-
Ơ
+
-
1/2
-
-
-1/2
Ơ
-
Ơ
+
-
1/2
Đồ Thị :
0,25
2
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là
0,
2
1
A
Phương trỡnh tiếp tuyến () qua A cú dạng
2
1
xky
() tiếp xỳc với (C)
/
x 1 1
k x
2x 1 2
x 1
k co ù nghieäm
2x 1
0,25
)2( k
1x2
3
)1(
2
1
xk
1x2
1x
2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
0,25
y
x
0
I
-1/2
1
1
-1/2
2
1
3 x
x 1
2
2x 1
2x 1
1
(x 1)(2x 1) 3(x )
2
và
1
x
2
3
x 1
2
5
x
2
. Do đó
12
1
k
0,25
Vậy phương trỡnh tiếp tuyến cần tỡm là:
1 1
y x
12 2
0,25
II
2
1
1. Giải phương trỡnh: gxcottgx
xsin
x
2
cos
xcos
x
2
sin
(1)
(1)
xsin
x
cos
xcos
x
sin
xcosxsin
x
sin
x
2
sin
x
cos
x
2
cos
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin
xx2cos
22
0,25
cosx cos2x sin2x 0
2
2cos x cosx 1 0 sin2x 0
0,25
1
cosx ( cosx 1 :loaïi vì sin x 0)
2
0,25
2k
3
x
0,25
2
2. Phương trỡnh:
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
(1)
(1)
1
xlog1
4
x9log
1
xlog2
33
3
0,25
1
xlog1
4
xlog2
x
log
2
33
3
đặt: t = log
3
x
0,25
thành
2
2 t 4
1 t 3t 4 0
2 t 1 t
(vỡ t = -2, t = 1 khụng là nghiệm)
0,25
IV 1
t 1 hay t 4
Do đó, (1)
3
1
log x 1 hay x 4 x hayx 81
3
0,25
III 2
1 1
Ta có
2 2
sin 2 2sin cos
( )
3 4sin (1 2sin ) 2sin 4sin 2
xdx x xdx
F x
x x x x
0,25
Đăt u = sinx
cos
du xdx
O,25
Ta có:
2
2
( ) ( )
1 ( 1)
1
1
ln 1
1
udu du du
F x G u
u u
u
u c
u
0,25
Vậy
1
( ) ln 1
sin 1
F x sinx c
x
0,25
2
1
Đk:
3
x
Bpt
2
1 2 3
2 5 6 4
x x x
x x x
0,25
2
4 0
3 12 8 0
3 4
6 2 3 6 2 3
3 3
6 2 3
3
3
x
x x
x
x
x
0,25
0,25
0,25
. Tọa độ A là nghiệm của hệ
4x y 14 0 x 4
2x 5y 2 0 y 2
A(–4, 2)
0,25
Vỡ G(–2, 0) là trọng tõm của ABC nờn
2yy
2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG
(1)
0,25
Vỡ B(x
B
, y
B
) AB y
B
= –4x
B
– 14 (2)
C(x
C
, y
C
) AC
5
2
5
x
2
y
C
C
( 3)
0,25
Thế (2) và (3) vào (1) ta cú
0y 1x
2y3x
2
5
2
5
x2
14x4
2xx
CC
BB
C
B
CB
Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
0,25
V.a 3
1
1
1. Điều kiện n 4
Ta cú:
n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x
Hệ số của số hạng chứa x
8
là
4n4
n
2C
0,25
Hệ số của số hạng chứa x
8
là
4n4
n
2C
0,25
Ta cú:
3 2 1
n n n
A 8C C 49
(n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
n
3
– 7n
2
+ 7n – 49 = 0 (n – 7)(n
2
+ 7) = 0 n = 7
0,25
Nờn hệ số của x
8
là 2802C
34
7
0,25
2
2
Phương trỡnh đường trũn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 cú tõm I(1,
–2) 3R
Đường trũn (C') tõm M cắt đường trũn (C) tại A, B nờn AB IM
tại trung điểm H của đoạn AB.
0,25
Ta cú
2
3
2
AB
BHAH
0,25
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trớ thứ 2 của AB
Gọi H' là trung điểm của A'B'
0,25
Ta cú:
2
2 2
3 3
IH' IH IA AH 3
2 2
Ta cú:
2 2
MI 5 1 1 2 5
0,25
và
2
7
2
3
5HIMIMH ;
3 13
MH' MI H'I 5
2 2
0,25
Ta cú: 13
4
52
4
49
4
3
MHAHMAR
2222
1
43
4
172
4
169
4
3
'MH'H'A'MAR
2222
2
0,25
Vậy có 2 đường trũn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)
2
+ (y – 1)
2
= 13
hay (x – 5)
2
+ (y – 1)
2
= 43
0,25
V.b 3
1
1
1. Giải phương trỡnh:
21x2log1xlog
3
2
3
Đk:
1
1
2
x
3 3
2log x 1 2log 2x 1 2
0,25
3 3
log x 1 log 2x 1 1
3 3
log x 1 2x 1 log 3
0,25
x 1 2x 1 3
2
2
1
x 1
x 1
hoac
2
2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)
0,25
x 2
0,25
2
2
+BC vuụng gúc với (SAB)
BC vuụng gúc với AH mà AH vuụng với SB
AH vuụng gúc với (SBC)
AH vuụng gúc SC (1)
0,25
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
(1) và (2)
SC vuụng gúc với (AHK )
0,25
2 2 2 2
SB AB SA 3a
SB =
a 3
AH.SB = SA.AB
AH=
a 6
3
SH=
2a 3
3
SK=
2a 3
3
(do 2 tam giỏc SAB và SAD bằng nhau và cựng vuụng tại A)
0,25
Ta cú HK song song với BD nờn
HK SH 2a 2
HK
BD SB 3
.
0,25
kẻ OE// SC
( )( ( ))
OE AHK doSC AHK
suy ra OE là đường cao
của hình chóp OAHK và OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
0,5
Gọi AM là đường cao của tam giỏc cõn AHK ta cú
2
2 2 2
4a
AM AH HM
9
AM=
2a
3
0,25
3
OAHK AHK
1 1 a 1 a 2
V OE.S . HK.AM
3 3 2 2 27
(đvtt)
S
0,25
A
M
I
E
O
H
K
M
C
D
Cõu II:
1. Giải phương trỡnh: gxcottgx
xsin
x
2
cos
xcos
x
2
sin
(1)
(1)
xsin
x
cos
xcos
x
sin
xcosxsin
x
sin
x
2
sin
x
cos
x
2
cos
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin
xx2cos
22
cosx cos2x sin2x 0
2
2 cos x cosx 1 0 sin2x 0
1
cosx ( cosx 1 :loaïi vì sin x 0)
2
2k
3
x
2. Phương trỡnh:
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
(1)
(1)
1
xlog1
4
x9log
1
xlog2
33
3
1
xlog1
4
xlog2
x
log
2
33
3
đặt: t = log
3
x
(1) thành
2
2 t 4
1 t 3t 4 0
2 t 1 t
(vỡ t = -2, t = 1 khụng là nghiệm)
t 1 hay t 4
Do đó, (1)
3
1
log x 1 hay x 4 x hay x 81
3
Cõu IV:
. Tọa độ A là nghiệm của hệ
4x y 14 0 x 4
2x 5y 2 0 y 2
A(–4, 2)
Vỡ G(–2, 0) là trọng tõm của ABC nờn
2yy
2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG
(1)
Vỡ B(x
B
, y
B
) AB y
B
= –4x
B
– 14 (2)
C(x
C
, y
C
) AC
5
2
5
x
2
y
C
C
( 3)
Thế (2) và (3) vào (1) ta cú
0y 1x
2y3x
2
5
2
5
x2
14x4
2xx
CC
BB
C
B
CB
Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
Cõu Vb:
2. (Bạn đọc tự vẽ hỡnh)
+BC vuụng gúc với (SAB)
BC vuụng gúc với AH mà AH vuụng với SB
AH vuụng gúc với (SBC)
AH vuụng gúc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
(2) và (2)
SC vuụng gúc với (AHK )
2 2 2 2
SB AB SA 3a
SB =
a 3
AH.SB = SA.AB
AH=
a 6
3
SH=
2a 3
3
SK=
2a 3
3
(do 2 tam giỏc SAB và SAD bằng nhau và cựng vuụng tại A)
Ta cú HK song song với BD nờn
HK SH 2a 2
HK
BD SB 3
.
Gọi AM là đường cao của tam giỏc cõn AHK ta cú
2
2 2 2
4a
AM AH HM
9
AM=
2a
3
3
OAHK AHK
1 1 a 2 1 2a
V OA.S . HK.AM
3 3 2 2 27
Cỏch khỏc:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0;
a 2
)
Cõu I:
1. Khảo sỏt (Bạn đọc tự làm)
2. Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là
0,
2
1
A
Phương trỡnh tiếp tuyến () qua A cú dạng
2
1
xky
() tiếp xỳc với (C)
/
x 1 1
k x
2x 1 2
x 1
k co ù nghieäm
2x 1
)2( k
1x2
3
)1(
2
1
xk
1x2
1x
2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
2
1
3 x
x 1
2
2x 1
2x 1
1
(x 1)(2x 1) 3(x )
2
và
1
x
2
3
x 1
2
5
x
2
. Do đó
12
1
k
Vậy phương trỡnh tiếp tuyến cần tỡm là:
1 1
y x
12 2
Cõu Va:
1. Điều kiện n 4
Ta cú:
n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x
Hệ số của số hạng chứa x
8
là
4n4
n
2C
Ta cú:
3 2 1
n n n
A 8C C 49
(n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
n
3
– 7n
2
+ 7n – 49 = 0 (n – 7)(n
2
+ 7) = 0 n = 7
Nờn hệ số của x
8
là
2802C
34
7
2. Phương trỡnh đường trũn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 cú tõm I(1, –2)
3R
Đường trũn (C') tõm M cắt đường trũn (C) tại A, B nờn AB IM tại trung điểm H của đoạn
AB. Ta có
2
3
2
AB
BHAH
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trớ thứ 2 của AB
Gọi H' là trung điểm của A'B'
Ta cú:
2
2 2
3 3
IH' IH IA AH 3
2 2
Ta cú:
2 2
MI 5 1 1 2 5
và
2
7
2
3
5HIMIMH
3 13
MH' MI H'I 5
2 2
Ta cú: 13
4
52
4
49
4
3
MHAHMAR
2222
1
43
4
172
4
169
4
3
'MH'H'A'MAR
2222
2
Vậy có 2 đường trũn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)
2
+ (y – 1)
2
= 13
hay (x – 5)
2
+ (y – 1)
2
= 43
BÀI GIẢI GỢI í
Cõu I.
1. y = 2x
4
– 4x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 8x
3
– 8x; y’ = 0 x = 0 x = 1;
x
lim
x
1 0 1
+
y'
0 + 0 0 +
y
+
0
+
2 CĐ 2
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trờn (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (
2
;0)
2. x
2
x
2
– 2 = m 2x
2
x
2
– 2 = 2m (*)
(*) là phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x
2
x
2
– 2 và (d): y = 2m
Ta cú (C’) (C); nếu x -
2
hay x
2
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu -
2
< x <
2
Theo đồ thị ta thấy ycbt 0 < 2m < 2 0 < m < 1
Cõu II.
1. PT:sinx+cosxsin2x+
3
3cos3x 2(cos4x sin x)
2
x
y
1
1
0
2
2
(C’)
2
x
y
1
1
0
2
2
(C)
3 1 3sin x sin3x
sin x sin3x 3cos3x 2cos4x
2 2 2
sin3x 3cos3x 2cos4x
1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2
sin sin3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2
4x 3x k2 x k
6 42 7
2.
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
y = 0 hệ vụ nghiệm
y 0 hệ
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y
Đặt a =
1
x
y
; b =
x
y
2 2
2
1 x
a x 2
y y
2 2
2
1
x a 2b
y
Ta cú hệ là
2
a b 7
a b 13
2
a b 7
a a 20 0
a 4
b 3
hay
a 5
b 12
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y
hay
1
x 5
y
x
12
y
2
x 4x 3 0
x 3y
hay
2
x 5x 12 0
x 12y
(VN)
x 1
1
y
3
hay
x 3
y 1
Cõu III :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)
Đặt u = lnx
dx
du
x
2
dx
dv .
(x 1)
Chọn
1
v
x 1
3
3 3 3
2
1
1 1 1
lnx dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
Vậy :
3
I (1 ln3) ln2
4
Cõu IV.
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN
;
3
'
2
a
B H
goùi CA= x, BA=2x,
3
BC x
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN
2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
2
2
9
52
a
x
Ta cú:
3 3
' '
2 2
a
B H BB
V=
2 3
2
1 1 3 1 9 3 9
3
3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
Cõu V :
3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0
2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
dấu “=” xảy ra khi :
1
x y
2
Ta cú :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2
2
9 1
f(t) t 2t 1,t
4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f(t) f( )
2 16
Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
Cõu VIa.
C
A
B
M
N
H
1. Phương trỡnh 2 phõn giỏc (
1
,
2
) :
x y x 7y
2 5 2
1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d
1
và (C) : (x – 2)
2
+ (– 2x)
2
=
4
5
25x
2
– 20x + 16 = 0 (vụ nghiệm)
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d
2
và (C) : (x – 2)
2
+
2
x 4
2 5
2
25x 80x 64 0
x =
8
5
. Vậy K
8 4
;
5 5
R = d (K,
1
) =
2 2
5
2. TH1 : (P) // CD. Ta cú :
AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)
(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P):4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
TH2 : (P) qua
I(1;1;1)
là trung điểm CD
Tacó AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P):2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
Cõu VIb.
1.
1 4 4
9
AH
2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4
7 1
H : H ;
x y 3
2 2
B(m;m – 4)
2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2
7 11
m 2
7
2 2
m 4
7 32
m 2
2 2
Vậy
1 1 2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
B ; C ; hayB ; C ;
2 2 2 2 2 2 2 2
2.
P
AB (4; 1;2); n (1; 2;2)
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi là đường thẳng bất kỳ qua A
Gọi H là hỡnh chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta cú :
d(B, ) BH; d (B, ) đạt min qua A và H.
Pt tham số
x 1 t
BH: y 1 2t
z 3 2t
Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trỡnh :
x 1 t,y 1 2t,z 3 2t
x 2y 2z 1 0
10
t
9
1 11 7
H ; ;
9 9 9
qua A (-3; 0;1) và cú 1 VTCP
1
a AH 26;11; 2
9
Pt () :
x 3 y 0 z 1
26 11 2
Cõu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y R thỡ z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i
z – (2 + i)=
10
và
z.z 25
2 2
2 2
(x 2) (y 1) 10
x y 25
2 2
4x 2y 20
x y 25
2
y 10 2x
x 8x 15 0
x 3
y 4
hay
x 5
y 0
Vậy z = 3 + 4i hay z = 5
Cõu VII.b.
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :
2
x 1
x m
x
2x
2
– mx – 1 = 0 (*) (vỡ x = 0 khụng là nghiệm của (*))
Vỡ a.c < 0 nờn pt luụn cú 2 nghiệm phõn biệt 0
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
AB = 4 (x
B
– x
A
)
2
+ [(-x
B
+ m) – (-x
A
+ m)]
2
= 16 2(x
B
– x
A
)
2
= 16
(x
B
– x
A
)
2
= 8
2
m 8
8
4
2
m 24
m =
2 6
.
Hết.
éỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Mụn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Cõu I (2,0 điểm).
Cho hàm số y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi m = 0.
2. Tỡm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ
hơn 2.
Cõu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0
2. Giải hệ phương trỡnh
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
(x, y R)
Cõu III (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn
3
x
1
dx
I
e 1
Cõu IV (1,0 điểm). Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm
của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (IBC).
Cõu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa món x + y = 1. Tỡm giỏ trị
lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
PHẦN RIấNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trỡnh là 7x –
2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng AC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và
mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao
cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Cõu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tỡm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa món điều kiện z – (3 – 4i)= 2.
B. Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C) : (x – 1)
2
+ y
2
= 1. Gọi I là tâm của
(C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
IMO
= 30
0
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 2 y 2 z
1 1 1
và mặt phẳng
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng .
Cõu VII.b (1,0 điểm)
Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số
2
x x 1
y
x
tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
]BÀI GIẢI GỢI í
Cõu I. 1. m = 0, y = x
4
– 2x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 4x
3
– 4x; y’ = 0 x = 0 x = 1;
x
lim
x
1 0 1
+
y'
0 + 0 0 +
y
+
0
+
1 CĐ 1
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trờn (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (
2
;0)
2. Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = -1 là
x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m = -1
x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m + 1 = 0 x = 1 hay x
2
= 3m + 1 (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi
phương trỡnh (*) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 1 và < 2
0 3m 1 4
3m 1 1
1
m 1
3
m 0
Cõu II. 1) Phương trỡnh tương đương :
3cos5x (sin5x sin x) sinx 0 3cos5x sin5x 2sin x
3 1
cos5x sin5x sinx
2 2
sin 5x sinx
3
5x x k2
3
hay
5x x k2
3
6x k2
3
hay
2
4x k2 k2
3 3
x k
18 3
hay
x k
6 2
(k Z).
2) Hệ phương trỡnh tương đương :
2 2 2
2
2
x(x y 1) 3
x(x y) x 3
5
x (x y) x 5
(x y) 1
x
ĐK : x ≠ 0
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:
2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 t 1 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 x 2 t 2
1
x
y
1
1
0
Vậy
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y
2
x 2 x 1 x 1
x 2
Cõu III :
3 3 3
x x x
3
x
x x
1
1 1 1
1 e e e
I dx dx dx 2 ln e 1
e 1 e 1
3 2
2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)
Cõu IV.
2 2 2 2
9 4 5 5
AC a a a AC a
2 2 2 2
5 4 2
BC a a a BC a
H laứ hỡnh chieỏu cuỷa I xuoỏng maởt ABC
Ta coự
IH AC
/ /
/
1 2 4
2 3 3
IA A M IH a
IH
IC AC AA
3
1 1 1 4 4
2
3 3 2 3 9
IABC ABC
a a
V S IH a a (đvtt)
Tam giaực A’BC vuoõng taùi B
Neõn S
A’BC
=
2
1
52 5
2
a a a
Xeựt 2 tam giaực A’BC vaứ IBC, ẹaựy
/
/ 2
2 2 2
5
3 3 3
IBC
A BC
IC A C S S a
Vaọy d(A,IBC)
3
2
3 4 3 2 2 5
3
9 5
2 5 5
IABC
IBC
V a a a
S
a
Cõu V. S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy = 16x
2
y
2
+ 12(x
3
+ y
3
) + 34xy
= 16x
2
y
2
+ 12[(x + y)
3
– 3xy(x + y)] + 34xy = 16x
2
y
2
+ 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x
2
y
2
– 2xy + 12
Đặt t = x.y, vỡ x, y 0 và x + y = 1 nờn 0 t ẳ
Khi đó S = 16t
2
– 2t + 12
S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 t =
1
16
S(0) = 12; S(ẳ) =
25
2
; S (
1
16
) =
191
16
. Vỡ S liờn tục [0; ẳ ] nờn :
Max S =
25
2
khi x = y =
1
2
Min S =
191
16
khi
2 3
x
4
2 3
y
4
hay
2 3
x
4
2 3
y
4
PHẦN RIấNG
Cõu VI.a.
1) Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0
A = AH AD A (1;2)
M là trung điểm AB B (3; -2)
BC qua B và vuụng gúc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 x + 6y + 9 = 0
/
A
A
C
I
M
B
H
C
/
D = BC AD D (0 ;
3
2
)
D là trung điểm BC C (- 3; - 1)
AC qua A (1; 2) cú VTCP
AC ( 4; 3)
nờn AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 3x – 4y + 5 = 0
2) AB qua A cú VTCP
AB ( 1;1;2)
nên có phương trỡnh :
x 2 t
y 1 t (t )
z 2t
D AB D (2 – t; 1 + t; 2t)
CD (1 t;t;2t)
. Vỡ C (P) nờn :
(P)
CD//(P) CD n
1
1(1 t) 1.t 1.2t 0 t
2
Vậy :
5 1
D ; ; 1
2 2
Cõu VI.b. 1. (x – 1)
2
+ y
2
= 1. Tõm I (1; 0); R = 1
Ta cú
IMO
= 30
0
, OIM cõn tại I
MOI
= 30
0
OM cú hệ số gúc k =
0
tg30
=
1
3
+ k =
1
3
pt OM : y=
x
3
thế vào pt (C)
2
2
x
x 2x 0
3
x= 0 (loại) hay
3
x
2
. Vậy M
3 3
;
2 2
Cỏch khỏc:
Ta coự theồ giaỷi baống hỡnh hoùc phaỳng
OI=1,
0
30
IOM IMO
, do ủoỏi xửựng ta seừ coự
2 ủieồm ủaựp aựn ủoỏi xửựng vụựi Ox
H laứ hỡnh chieỏu cuỷa M xuoỏng OX.
Tam giaực
1
OM H
laứ nửỷa tam giaực ủeàu
OI=1 =>
3 3 3 3 3
,
2 6
3 2 3
OH OM HM
Vaọy
1 2
3 3 3 3
, , ,
2 2 2 2
M M
2. Gọi A = (P) A(-3;1;1)
a (1;1; 1)
;
(P)
n (1;2; 3)
d đđi qua A và có VTCP
d (P)
a a ,n ( 1;2;1)
nờn pt d là :
x 3 y 1 z 1
1 2 1
Cõu VII.a. Gọi z = x + yi. Ta cú z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i
Vậy z – (3 – 4i) = 2
2 2
(x 3) (y 4) 2
(x – 3)
2
+ (y + 4)
2
= 4
Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường trũn tõm I (3; -4) và bỏn
kớnh R = 2.
O
I
1
M
2
M
H
Cõu VII.b. pt hoành độ giao điểm là :
2
x x 1
2x m
x
(1)
x
2
+ x – 1 = x(– 2x + m) (vỡ x = 0 khụng là nghiệm của (1))
3x
2
+ (1 – m)x – 1 = 0
phương trỡnh này cú a.c < 0 với mọi m nờn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m
Ycbt S = x
1
+ x
2
=
b
a
= 0 m – 1 = 0 m = 1.
Hết.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Mụn thi: TOÁN; Khối: A
ĐỀ CHÍNH THÚC
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian
phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Cõu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
x 2
y 1
2x 3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh
1 2sin x cosx
3.
1 2sin x 1 sinx
2. Giải phương trỡnh
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x R
Câu III (1,0 điểm)
Tớnh tớch phõn
2
3 2
0
I cos x 1 cos x.dx
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đáy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và D; AB = AD = 2a,
CD = a; gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh
AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả món x(x + y + z) = 3yz, ta cú:
3 3 3
x y x z 3 x y x z y z 5 y z
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trỡnh Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm I(6; 2) là
giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
:x y 5 0
. Viết phương trỡnh
đường thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
P :2x 2y z 4 0
và mặt
cầu
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu
(S) theo một đường trũn. Xỏc định toạ độ tâm và tính bán kính của đường trũn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trỡnh z
2
+ 2z + 10 = 0. tớnh giỏ trị của biểu
thức A = |z
1
|
3
+ |z
2
|
3
.
B. Theo chương trỡnh Nõng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn
2 2
C : x y 4x 4y 6 0
và
đường thẳng
: x my 2m 3 0
, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường trũn
(C). Tỡm m để
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác
IAB lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y 2z 1 0
và hai
đường thẳng
1 2
x 1 y z 9 x 1 y 3 z 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
. Xác định toạ độ điểm M thuộc
đường thẳng
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
và khoăng cách từ M
đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trỡnh
2 2
2 2
2 2
x xy y
log x y 1 log xy
x,y R
3 81
.
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2009
Cõu I.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
+ Tập xác định:với mọi x
3
2
+ y’ =
2
1 3
0, x
2
2x 3
+ Tiệm cận
Vỡ
x
x 2 1
lim
2x 3 2
nờn tiệm cận ngang là : y =
1
2
Vỡ
3 3
x x
2 2
x 2 x 2
lim ; lim
2x 3 2x 3
nên tiệm cận đứng là : x = -
3
2
Bảng biến thiờn:
Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại
2
0;
3
và cắt Ox tại (-2; 0)
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Ta cú
2
1
y'
(2x 3)
nờn phương trỡnh tiếp tuyến tại
0
x x
(với
0
3
x
2
) là:
y - f(
0
x
) = f’(
0
x
)(x -
0
x
)
2
0 0
2 2
0 0
2x 8x 6
x
y
(2x 3) (2x 3)
Do đó tiếp tuyến cắt Ox tại A(
2
0 0
2x 8x 6
;0)
và cắt Oy tại B(0;
2
0 0
2
0
2x 8x 6
(2x 3)
)
Tam giỏc OAB cõn tại O
OA OB
(với OA > 0)
2
2
0 0
A B 0 0
2
0
2x 8x 6
x y 2x 8x 6
(2x 3)
