một số phương pháp tìm cực trị

Một số phơng pháp giải toán cực trị
phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu
A . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện
sau đồng thời đợc thoả mãn
1
o
. f(x) M với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) m với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức:

f(x) m (hoặc f(x) M) với x D.
- B ớc 2: Chỉ ra giá trị x
0
D để:
f(x
0
) = m f(x
0
) = M)
- B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x
0
D thì f(x) đạt:

MxMaxf
Dx
o
=

)(

mxM
D
x
=
0
)inf(

Chú ý :
1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x)

m hoặc f(x)

M thì cha đủ để kết luận về
GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)
2
+(x-3)
2
Giải : Ta có (x-1)
2
0 x (1)
( x - 3 )
2
0 (2)
A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời
hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 2
1
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên

B. Phơng pháp cơ bản và ví dụ
Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung ph ơng pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) m (hoặc f(x) M) với x D
+ Chỉ ra sự tồn tại x
0
D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "="
xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si
+ Với a,b > 0, a,b D thì
ab
ba

+
2
Dấu = xảy ra khi a= b
+ Tổng quá: Với n số dơng a
1
, a
2
, , a
n
D
thì:
n
n
n
aaa

n
aaa


21
21

+++
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a
1
, a
2
, , a
n
và b
1
, b
2
, , b
n
là 2n số tuỳ ý thì:
( )( )

( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1

nnnn
babababbbaaa +++++++++
Dấu "=" xảy ra
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
.
(Quy ớc nếu a

i
= 0 thì b
i
= 0 i = 0, 1, 2, 3, n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
0a
a D dấu bằng xảy ra a = 0
*
baba ++
với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0.
2
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Tổng quát : a
1
, a
2
, , a
n
D thì
nn
aaaaaa ++++++
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
*.
baba
dấu bằng xảy ra khi a.b 0
d) Với a b > 0 thì
ba

11

dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
2+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x,y,z) = x
4
+ y
4
+ z
4
xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}
Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với
học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy
số x,y,z và y,z ,x ta có
( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( xy + yz + zx )
2

Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z )

D Thì ( x
2
+ y
2
+ z
2
) 16
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x
2
,y
2
,z
2
và 1,1 ,1 ta có
3 ( x
4
+ y
4
+z
4
) ( x
2
+ y
2
+ z
2
)

2
(2)
Từ (1) và (2)

f(x,y,z) > 16/3

(x,.y,z)

D
Mặt khác f (
3
2
,
3
2
,
3
2
) =
3
16
và (
3
2
,
3
2
,
3
2

)

D
Vậy Min f (x,y,z) = 16/3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
+

x
x 1
với x 1,y 2 , z 3
A =
+

x
x 1

+

y
y 2

+

z
z 3
áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
22

11
1.1
xx
x =
+


Tơng tự :
22
2
22
.
2
1
2
2
1
2
yy
yy =
+
=
3
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị

32
2
33
.

3
1
3
3
1
3
zz
zz =
+
=

A
z
z
y
y
x
x
3222
2
++


A
32
1
22
1
2
1

++
Dấu "=" xảy ra





=
=
=

6
4
2
z
y
x

Max A =
32
1
22
1
2
1
++

=
=
=

6
4
2
z
y
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) D =
12 + xx
b) Cho x
1
, x
2
, , x
2004
thoả mãn
2005
200421
=+++ xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =
1 11
200421
+++ xxx

Giải: a) áp dụng bất đẳng thức
baba ++
dấu "=" xảy ra khi a.b 0
Ta có D =
11212 =++ xxxx
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2
Vậy Min D = 1 khi 1 x 2
b) Vận dụng bất đẳng thức
baba
Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có:
11
11
xx
11
22
xx

11
20042004
xx
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
E =
1 11
200421
+++ xxx

200421
xxx +++
4
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá

Một số phơng pháp giải toán cực trị
-

12004
1 11
só
+++
= 2005 - 2004 = 1
Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x
1
, x
2
, x
2004
0
và
200421
xxx +++
= 2005
Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này
Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :
- Điều kiện tồn tại BĐT
- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc
Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
t
xzy
z
txy
y

xzt
x
tzy
xzy
t
txy
z
xzt
y
tzy
x ++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT

2+
a
b

b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b
Để ra ngay kết quả A 8

Min A = 8


0====







++=
++=
++=
++=
tzyx
zyxt
yxtz
xtzy
tzyx
Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0
Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc
những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị
1.4. Bài tập vận dụng
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =
)11(2)11(2 ++++++ xxxx
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền
D =
{ }
1,0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+
y
1
) ( 1+
z
1
) Xét trên miền.
D =
{ }
1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx
5
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Ph ơng pháp 2
Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn
2.1. Nội dung ph ơng pháp
*/ A
2
0 x ( x là biến của biểu thức A ) A

2k
0 x
*/ - B
2
0 x (x là biến của biểu thức B ) - B
2k
0 x
Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc :
*/ A
2k
+m m

m là GTNN

A = 0
*/ -B
2k
+ M M

M là GTLN

B = 0
2.2. Kiến thức bổ sung:
Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A
2k
+m m và
-B
2k
+ M M bằng các phép biến đổi đại số

2.3 : các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2
+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 - 8
Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1
Vậy Min A = - 8 x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2
- 4x + 1
Giải : A = -5 ( x
2
+ 4/5 x ) + 1 = -5 ( x
2
+ 4/5x + 4/25 ) + 9/5
( x
2
+ 2/5 )
2
+9/5 9/5
Dấu = xảy ra

x + 2 /5 = 0

x = - 2/5
* Chú ý : f(x) = ax

2
+ bx + c
* Có giá trị nhỏ nhất

a > 0.
* Có giá trị lớn nhất

a < 0.
Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau :
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

)( 1
12
683
2
2

+
+
=
x
xx
xx
C
Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi
phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax
2
+ bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể
cách làm nh sau :
6

Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
C =
22
2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3

+

=

++
xxx
xxx
Đặt y =
1
1
x
(y

0 )
C = 3 - 2y + y
2
đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn

nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là
rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bài
toán nhanh hơn, gọn hơn.
Ta còn có thể mở rộng dạng toán này.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f(x,y ) = 4x
2
+ 4y
2
- 4xy - 3x
= 4y
2
- 4xy + x
2
+ 3( x
2
-x )
= ( 2y - x )
2
+ 3( x-
2
1
)
2
-
4
3
-
4
3

Đẳng thức xảy ra x =
2
1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3








=
=
4
1
2
1
y
x
Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:.
Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau:

f(x,y) = x
2
- 4xy + 4y
2
+ 2x
2
- 4x + 2 + x
2
+ x -2
= ( x - 2y )
2
+ 2 ( x -1 )
2
+ x
2
+ x - 2 x
2
+ x - 2

x (1)
Vì g(x) = x
2
+ x - 2 = ( x +
2
1
)
2
-
4
9

-
4
9

Đẳng thức xảy ra x = -
2
1
min f(x,y) = -
4
9








=
=
4
1
2
1
y
x

7
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị

Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi



=
=
1
2
x
yx






=
=
1
2
1
x
y
còn
dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = -
2
1
thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời
nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y).
Hoặc với bài:

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = x +
x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-
4
1
-
4
1
Vậy min M = -
4
1
. Sai lầm ở chỗ M -

4
1
học sinh cha chỉ ra khi nào
dấu đẳng thức xảy ra: M = -
4
1

x
= -
2
1
là vô lí
Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm
cực trị của biểu thức đại số.
3.3 . Bài tập vận dụng.
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
C = x
2
- 2xy + 2y
2
+ 2x - 10y + 17
E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 )
2) Tìm giá trị lớn nhất của:
A = - 5x
2
- 2xy - 2y
2
+ 14x + 10y - 1.
3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
A =

2
2
95
x
xx ++
B =
2
2
)1(
952
+
+
x
xx

Ph ơng pháp 3 :
Phơng pháp miền giá trị hàm số
3.1 . Nội dung ph ơng pháp.
8
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x

D gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng
trình sau đây với ẩn x có nghiệm.

=
Dx
yxf
0
)(
Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp điều
kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đa về dạng.
m y
0
M vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có:
Min f(x) = m và Max f(x) = M.
x

D x

D
Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phơng
pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
2.2. Kiến thức bổ sung:
Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phơng trình bậc hai
3.2 . Các bài toán
Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số.
f(x) =
123
3102
2
2

++
++
xx
xx
với x

R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2
+2x + 1 > 0

x

R
(1) 2x

2
+ 10x + 3 = 3x
2
y
0
+ 2xy
0
+ y
0
( 3y
0
- 2 ) x
2
+ 2x ( y
0
- 5 ) + y
0
- 3 = 0 (2)
Xét 2 khả năng sau :
* Nếu 3y
0
- 2 = 0 y
0
=
3
2
(2) có nghiệm
Tức f(x) =
3
2

x

R
9
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
* Nếu 3y
0
- 2

0 y
0



3
2
thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó (2)
có nghiệm nếu:


= - 2y
0
+ 19y
0
- 35 0.

2

5
y
0
7 và y
0



3
2
.

2
5
y
0
7 (3).
Từ (3) Maxf(x) = 7 và Mìnf(x) =
2
5
.
Nhận thấy với phơng pháp này ta có thể vận dụng cho các bài toán tìm giá trị
lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức dới dạng phân thức.
Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x
2
+ y
2

xét trên miền D = (x,y) ; ( x
2

- y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:






=++
=+
)()(
)(
`
2041
1

2222222
0
22
yxyxyx
tyx








=++++
=+
0413
222222
0
22
xyxyx
tyx
)()(
`

=++
=+
)(
)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
t
2
- 3t
0
+ 1

0


2
53
2
53
0
+

t
(5)
Với đièu kiện (5) gọi m là nghiệm của (4) và (3) ta có :
4m
2
+ 4y
2
= 4t
0

- t
0
2
+ 3t
0
- 1 4y
2
= 4t
0


4y
2
= t
2
0
+ t
0
+ 1 (6)

Do t
0
2
+ t
0
+ 1 > 0

t
0


với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.
10
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị


Max(x,y) =
2
53 +
, Min(x,y) =
2
53
Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhng với
phơng pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải đợc nhiều bài và học sinh có thể
máy móc nhớ đợc phơng pháp giải.

Ph ơng pháp 4
Phơng pháp đồ thị và hình học

4.1 Nội dung ph ơng pháp
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x D
- Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức:
Max f(x) = y
cực đại

Min f(x) = y
cực tiểu
4.2 Kiến thức bổ sung :
- Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số.
- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phơng pháp đồ thị và hình học
ngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:
- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trớc thì đờng thẳng nối
AB là đờng thẳng có độ dài bé nhất.
- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3.
- Cho điểm M ở ngoaì đờng thẳng d cho trớc khi đó độ dài kẻ từ M xuống d
ngắn hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d.
- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn thì tam giác đều có chu vi
và diện tích lớn nhất.
Nếu nh một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổi
nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phơng pháp đồ thị
hình học để giải chúng. Dĩ nhiên là phơng pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán
trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta cha nhìn
ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phơng pháp này.
11
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với
nó phơng pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả.

4.3Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
K =
11
22
++++ xxxx

Với x R
Ta có: K =
2
22
2
3
2
1
2
3
2
1
2








+

+








+






+ xx
=
2
2
2
2
2
3
0

2
1
2
3
(0)
2
1
(








+






+

+






xx
(1)
Trên mặt phẳng toạ độ đề các xoy xét các điểm
A
)
2
3
,
2
1
(


; B
)
2
3
,
2
1
(

và C (x,0)
Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB AB
Mà AB
2
=
( )
2
3
+ 1
2
= 4 => AB = 2
Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng
hay x = 0 (C trùng O(0,0))
Vậy Min K = 2 khi x = 0
. Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D =
22 + yx
12
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
y
x
B
O
C
2
1

2
1

2

1
2
3

Một số phơng pháp giải toán cực trị
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
D = y =





<

<+
)(232
)(211
)(132
3
2
1
dxx
dx
dxx
- Vẽ đồ thị hàm số (d
1
), (d
2
), (d
3

) trên trục xác định tơng ứng ta đợc:
- Nhận xét:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu
y = 1 trên 1 x 2 vậy Min D = 1 khi và chỉ khi 1 x 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z ) = x( 1 - y) + y( 1 - z) + z( 1- x) xét trên miền
D =
{
(x,y,z) ; 0

x

1 ; 0

y

1 ; 0

z

1
}
Giải
Với bài toán này dùng các phơng pháp 1; 2; 3 không phải là khó , tuy nhiên
nếu sử dụng phơng pháp hình học sẽ vừa nhanh vừa hiệu quả.
Vẽ tam giác đều ABC cạnh bằng 1 khi đó
S
ABC
=

4
3
(1)
13
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
nếu
nếu
nếu
y
3
(d
1
)
(d
2
)
(d
3
)
1
1
2
x
2
1
-3
O
Hình 1
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Đặt trên các cạnh AB , BC , AC các đoạn

AM = x , BN = z , CP = y( có thể M

A nếu x = 0
và M

B nếu x = 1 , tơng tự với N , P )
Vì Sin 60
0
=
2
3
áp dụng S =
2
1
ab SinC . Ta có
S
AMP
=
4
31 )( yx
; S
BNM
=
4
31 )( xz
và S
NPC
=
4
31 )( zy

Mà ta lại có : S
AMP
+ S
BNM
+ S
NPC


S
ABC
. Hay từ (1) ta có
x(1 - y) + y( 1 - z) + z( 1 - x )

1
Nh vậy ta có : f(x,y,z)

1

(x,y,z)

D
Và f(0;0;1) = 1 và do (0;0;1)

D

Max f(x,y,z) = 1
Bằng phơng pháp này ta giải một số bài toán vừa nhanh , vừa khoa học . Tuy
nhiên để phát hiện tìm ra phơng pháp hợp lí thì không phải học sinh nào cũng có thể
làm đợc . Vì vậy yêu cầu ngời thầy phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ,
trớc hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tơng tự để dần học sinh làm quen

và tìm ra đợc phơng pháp giải hợp lí
phần!!
Bài toán cực trị Phần hình học
I. một số kiến thức cơ bản.
1. Cực trị trong hình học là gì?
Một số bài toán hình học mà trong đó các hình đợc nêu ra có cùng một tính
chất và đòi hỏi ta tìm đợc hình sao cho có một đại lợng nào đó (số đo góc, độ dài
đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là
(max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) đợc gọi là bài toán cực trị
hình học.
1) Lời giải của bài toán cực trị thờng đợc trình bày theo hai cách:
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị
lớn hơn đại lợng tơng ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn
đại lợng tơng ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN).
14
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
A
B
C
x
y
z
M
N
P
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Cách 2: Thay đại lợng cần tìm cực thành một đại lợng khác tơng đơng (nếu đ-
ợc) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lợng nào đó nh
góc, đoạn thẳng, )
a) - Ta chứng minh đợc A m (m không đổi)

- Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m
b) Ta chứng minh đợc A t (t không đổi)
- Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t
- Từ đó ta xác định đợc vị trí của các điểm để đạt đợc cực trị.
Chú ý : Thờng trình bày cực trị theo 2 cách:
II. Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :
1) Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác

1.1. Kiến thức cơ sở:

- Với 3 điểm A,B ,C bất kỳ ta có :
BCAC
AB AC + BC
Dấu = xảy ra C


[ ]
AB
- Trong tam giác ABC Có BAC > ABC BC < AC
+ Quy tắc n điểm A
1
A
2
, , A
n

Ta có A
1
A
n

A
1
A
2
+ A
2
A
3
+ A
n-1
A
n
Dấu "=" xảy ra A
1
A
2
, , A
n
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
12. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đờng tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đờng tròn
. M là điểm cố định trên đờng tròn (0) .
Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị :
a) Lớn nhất b) nhỏ nhất
Giải
Vẽ đờng thẳng d qua 0 và AB tại K
d cắt đờng tròn ( 0 ) tại C và D
Hạ AH AB
S
MAB

=
2
.ABMH

15
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
A
B
C
M
O
K
H
D
d
Một số phơng pháp giải toán cực trị
a) Ta có MH MK
Xét 3 điểm M,O ,K ta có
MK OM + OK
MK OC + OK MH CK
S
MAB

2
.ABCK
( không đổi )
Dấu = xảy ra H

K
M

C
b) Xét 3 điểm M,O ,H ta có MH
OMOH
Mà OK OH và OK - OM = OK - OD = DK MH DK
S
MAB

2
.ABDK
( không đổi ) Dấu = xảy ra M


[ ]
OH
Và M

K M

D
Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O;R); A là điểm cố định trong đờng tròn
(A O). Xác định vị trí của điểm B trên đờng tròn O sao cho góc OBA lớn
nhất.
Giải:
Giả sử có B (O). Vẽ dây BC của đờng tròn (O) qua A ta có OB = OC = R
=> OBC cân tại O => góc OBC =
2
180
0
COB

Nên góc OBA
max


góc COB
min
.
Trong COB có CO = OB = R không đổi
=> COB
min


BC
min
= OH
max
Mà OH OA nên OH
max


H A

BC OA tại A.
Vậy OBA
max


B (O) sao cho BC OA tại A.
Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM +
MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ nhất.

Giải:
Với 3 điểm M, A, C ta có: MA + MC AC
Dấu "=" xảy ra M AC
16
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
O
C
B
H
A
O
M
D
A
C
B
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Tơng tự với ba điểm M, B, D
ta có MB + MD BD.
Dấu "=" xảy ra M BD
AM + MB + MC + MD AC + BD (không đổi).
Dấu "=" xảy ra





BDM
OMACM
Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD M O

1.3. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc. Các diểm M,
N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 90
0
. Xác định vị
trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Cho 2 đờng tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R'). A nằm trên (O), B nằm
trên (O'). Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất.
2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đ ờng vuông góc với đ ờng
xiên
. 2.1. Kiến thức cơ sở
Ta có AH d; A d; B,C d
*.AB AH, dấu "=" xảy ra B H
*.AB AC BH HC
2.2. Các ví dụ áp dụng
Ví dụ1:: Cho ABC (Â = 90
0
) M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD
AB; ME AC (D AB, E AC). Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ
nhất.
Giải:
Vẽ AH BC (H BC), H cố định và AH không đổi, tứ giác AEMD có Â = Ê
=
D

= 90
0
17
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá

A
A
H
C
d
C
D
B
A
A
H
M
E
Một số phơng pháp giải toán cực trị
=> AEMD là hình chữ nhật.
=> DE = AM mà AM AH (không đổi)
(theo t/c đờng xiên và đờng vuông góc).
Dấu "=" xảy ra M H. Vậy khi M H thì DE nhỏ nhất.


Ví dụ 2 : Cho đờng thẳng d và đờng tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là OH
R. Lấy hai điểm bất kỳ A d; B (O;R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ
dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó.
Giải:
Từ tâm (O) kẻ OH d, OH cắt đờng tròn (O) tại K. Xét ba điểm A. B. O ta có
AB + OB OA mà OA OH (quan hệ đờng xiên và đờng vuông góc).
=> AB OH - OB = HK không đổi
Vậy min AB = KH

KB
HA
2.3.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tơng ứng hai điểm M và
N sao cho Bạch Mã = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho nửa đờng tron (O;R) đờng kính AB.M là một điểm trên nửa đờng
tròn, kẻ MH HB. Xác định vị trí của M để:
a) S
ABC
lớn nhất
b) Chu vi của MAB lớn nhất.
3. Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức trong đờng tròn.
3.1 Kiến thức cơ sở:
+ Trong một đờng tròn: đờng kính là dây cung lớn nhất.
+ Dây cung lớn hơn dây đó gần tâm hơn.
+ Cung lớn hơn dây trơng cung lớn hơn
+ Cung lớn hơn góc ở tâm lớn hơn
3.2. Các ví dụ áp dụng :
18
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
A
B
H
K
O
d
A

Một số phơng pháp giải toán cực trị
Ví dụ 1 : Cho đờng tròn (O) và một điểm M nằm trong đờng tròn đó (M O). Xác
định vị trí của dây cung AB của đờng tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Giải:
Ta có dây AB OM tại M là dây
cung có độ dài nhỏ nhất.
Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ
của (O) A'B' không vuông góc với OM.
Vẽ OM' A'B'. M' A'B'; M' M =>
OM' MM' => OM > OM'
=> AB < A'B' (theo định lý khoảng
cách từ tâm đến dây).
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R). M là điểm di
động trên đờng tròn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn
nhất.
Giải:
Ta xét M cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. Ta chứng minh đợc:
BMD là tam giác đều.
=>
32

BB +
= 60
2
Mà
21

BB +
= 60
0

=>
31

BB =
Chứng minh cho BAD = BCM (gcg)
=> AD = MC
=> MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA
Mà MA là dây cung của đờng tròn (O;R) => MA = 2R
=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R MA là đờng kính của đờng tròn
(O) M là điểm chính giữa của cung BC.
Tơng tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chính
giữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
3.4.Bài tập vận dụng:
19
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
O
M
A
M
BA
B
D
O
B
C
A
M
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tơng ứng hai điểm M và
N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.

Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O;R) cho trớc. tìm tứ giác
có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất.
4 . Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số

4.1. Kiến thức bổ sung :
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm: a,b
Ta có:
ab
ba

+
2
. Dấu "=" xảy ra a= b
+ Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
. Dấu "=" xảy ra a
1
= a
2

= = a
n
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpski
(ax + by)
)).((
2222
yxba ++
. Dấu "=" xảy ra
y
b
x
a
=
.
+ Và một số bất đẳng thức quen thuộc khác.
4.2. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 Cho đờng tròn (0; R) , đờng kính AB , M là điểm chuyển động trên
đờng tròn . Xác định vị trí của M trên đờng tròn
để MA +
3
MB đạt giá trị lớn nhất
Giải :
Ta có : AMB = 90
0
( góc nt chắn nửa đ.tròn)
MAB có M = 90
0
Theo Pitago ta có :
MA
2

+ MB
2
= AB
2
= 4R
2
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
MA +
3
MB
222
4.4))(31( RMBMA =++
= 4R
MA +
3
MB 4R
Dấu "=" xảy ra
3
31
==
MA
MB
MBMA
20
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
A B
M
Một số phơng pháp giải toán cực trị
tg =
3=

MA
MB
= tg60
0
MÂB = 60
0
nên max(MA +
3
.MB) = 4R MÂB = 60
0
Ví dụ 2 : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển trên đoạn ấy .Vẽ các đờng
tròn đờng kính MA , MB .Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai hình tròn
có giá trị nhỏ nhất .
Giải
Đặt MA =x , MB = y , ta có : x + y = AB ( 0 < x< y < AB )
Gọi S và Sthứ tự là diện tích của 2 hình tròn có đờng kính là MA và MB
Ta có : S + S =
4
.
22
22
22
yxyx +
=

+







áp dụng BĐT : x
2
+ y
2

( )
2
2
yx +
S + S

.
( )
8
2
yx +
=
8
.
2
AB

Dấu "=" xảy ra x = y Vậy Min (S + S ) =
8
.
2
AB

M là trung điểm của AB
Ví dụ 3 : Cho ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam
giác ABC sao cho
z
c
y
b
x
a
++
có giá trị nhỏ nhất . Trong đó x,y,z là khoảng cách từ
M đến BC , AC , AB
Giải
21
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
A
M
BO
O
/
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy
z
c

y
b
x
a
++
đạt giá trị nhỏ nhất
(
z
c
y
b
x
a
++
) =
( )
S
cba
2
2
++

z
c
cz
y
b
by
x
a

ax
==
x = y = z ABC là tam giác đều
4.3. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB và
AD lần lợt lấy 2 điểm M, N sao cho chu AMN = 2a. Tìm vị trí của M và N để
S
AMN
lớn nhất.
Bài 2: Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O;r). Kẻ các tiếp tuyến của đờng tròn
(O;r) song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của
tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S
1
, S
2
, S
3
. Gọi S là diện tích của tam
giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số
S
SSS
321
++
.
Vài chú ý khi giải bài toán cực trị
1 / Khi giaỉ các bài toán cực trị ta thờng biến đỏi tơng đơng điều kiện của
đại lợng này thành điều kiện cực trị của đại lợng khác .
2/ Nhiều bài toán cực trị có liên đến bài toán tìm tập hợp điểm , trong hợp
hình có chung một tính chất khi ta cố định một số yếu tố không đỏi của hình ,
các điểm còn lại của hình có thể chuyển động trên một đờng nhất định , theo dõi

vị trí của chúng ta tìm đợc cực trị của bài toán .
giáo án tiết dạy chuyên đề
Bài soạn: Một phơng pháp tìm cực trị của một biểu thức đại số
22
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
B
A
C
a
c
b
x
z
M
Một số phơng pháp giải toán cực trị
I/ Mục tiêu.
- Học sinh biết sử dụng các bất đẳng thức đại số để giải các bài toán cực trị
trong hình học . Muốn vậy trớc hết học sinh phải biết đa yếu tố đại số vào bài toán
hình học, từ đó để giải toán cực trị trong hình học ta đi giải toán cực trị trong đại
số (đã biết cách làm).
- Học sinh có kỹ năng đặt một đại lợng hình học nào đó làm ẩn, vận dụng
các kiến thức đã học vào giải bài tập.
- Thông qua việc giải toán phát triển t duy sáng tạo cho học sinh.
II/ Chuẩn bị.
GV: chọn lựa các bài tập phổ biến trong chơng trình ôn thi lớp 9
HS: Nắm vững các kiến thức cơ bản nh:
+ Cách giải toán cực trị
+ Các hằng đẳng thức (đại số)
+ Các BĐT đại số nh : /x/ 0 , x
2

0 , BĐT cosi ,
BĐT Bunhiacopski
III/ Tiến trình lên lớp.
1. ổn định tổ chức
- GV : chia lớp thành 6 nhóm , mỗi nhóm gồm 8 h/s và phân công các nhốm trởng -
HS : Kiểm tra bút viết và giấy trong
2. Kiểm tra bài cũ.
a. Tìm số thứ 2 để biểu thức sau trở thành tổng bình phơng của hai số:
x
2
+ 3x = x
2
+ 2. 3/2x
Vậy số thứ hai là: 3/2
x
2
+ 2.x.3/2 + 9/4 = ( x + 3/2 )
2
b. Chứng minh rằng: x
2
- 2x + 5 > 0
HS: Ta có: x
2
+ 2x - 5 = x
2
- 2x.1 + 1 + 4 = ( x - 1 )
2
+ 4 > 0

x

GV: Với phơng pháp tìm số thứ 2 nh 2 biểu thức trên, bây giờ cô cùng các em dựa
vào cách tách này để ta tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có dạng
ax
2
+ bx + c
Ghi bảng Hoạt động của thầy và trò
23
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
I/ Lý thuyết
A
2
0 A
2
+ m m. Dấu = xảy ra
A = 0
m là GTNN A = 0
* -B
2
0 -B
2
+M M. Dấu = xảy ra
B = 0
M là GTNN B = 0
II/Phân loại bài tập :
Dạng 1: biểu thức có dạng ax
2
+ bx + c
Ví dụ 1:Tìm GTNN của
P(x) = x -

x
- 5
Giải
= (
x
)
2
- 2.
x
.
2
1
+
4
1
) -
4
21
= (
x
-
4
21
)
2
1
2

-
4

21
Dấu = xảy ra
x
=
2
1
x =
4
1
Min P(x) = -
4
21
x =
4
1
Ví dụ 2: Tìm chỗ sai trong lời giải sau:
P(x) = x +
x
- 5
Ta có:
P(x) = (
x
)
2
+2.
x
.
2
1
+

4
1
-
4
21
= (
x
+
2
1
) -
4
21
-
4
21
GV nhắc lại kiến thức cho học sinh.
- BĐT CoSi
- BĐT Bunhiacopski
- Và một số BĐT khác
(Phần lý thuyết GV ghi vào giấy trong
chiếu lên bảng cho h/s quan sát )
GV: Đa đề bài lên máy chiếu
Em có nhận xét gì về giá trị của x
( x 0 )
- Để tính GTNN của bài này ta làm nh
thế nào ? ( Tơng tự VD2 trên bảng ).
- GV: Hớng dẫn HS tách (- 5) sao cho
P(x) đa về dạng: A
2

+ m
- GV: Yêu cầu 1 HS nhóm 1 lên bảng
giải, HS các nhóm khác làm vào giấy
trong
- GV: thu giấy trong sửa sai và chiếu
bài mẫu
- GV: nhận xét đánh giá chung .
- Liệu P(x) = x +
x
- 5 thì cách giải
có còn tơng tự nữa không ? GV đa ra
ví dụ 2, và y/c h/s tìm chỗ sai vào
giấy trong
- h/s : dấu = xảy ra
x
=
2
1

là
không tồn tại .
24
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy P(x) Min = -
4
21
Chú ý : Khi tìm GTNN , GTLN cần phải
tìm :
+ Tìm giá trị tồn tại của biến

+ Trớc khi kiểm định GTLN hay GTNN
dấu = có xảy ra hay không?
Ví dụ 3:Tìm GTLN của biểu thức sau:
A = - x
2
+2x - 7
= -x
2
+2x - 1 - 6
= - 6 - ( x- 1 )
2
6
Dấu = xảy ra x = 1
Max A = -6 x = 1
Nhận xét :Biểu thức dạng: ax
2
+ bx + c
- Có GTNN

a > 0
- Có GTLN

a < 0
Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
a) A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
- Sau khi tìm chỗ sai GV nhắc nhở các
em tránh sai lầm và đa ra chú ý sau
y/c 1 h/s cho biết khi tìm GTNN ,
GTLN cần phải chú ý điều gì?

h/s :+ Tìm giá trị tồn tại của biến
+ Trớc khi kiểm định GTLN hay
GTNN dấu = có xảy ra hay không?
GV: việc tìm GTLN và GTNN có gì
khác nhau ? ( GTLN đa về dạng: - A
2
+
M M
h/s: GTNN đa về dạng: A
2
+ m m
GTLN đa về dạng : - B
2
+ M M
Tơng tự nh việc tìm GTNN y/c cả lớp
cùng tìm GTLN của biểu thức sau
(ví dụ 3 )
_ GV : y/c h/s hoạt động nhóm trong 5
phút
-GV: Kiểm tra đánh giá kết quả của từng
nhóm , cho h/s kiểm tra chéo các nhóm
với nhau .Yêu cầu h/s rút ra nhận xét :
Một biểu hức có dạng: ax
2
+ bx + c có
GTLN khi nào, có GTNN khi nào ?
GV: có thể đa ra một bài toán khác
dạng rồi yêu cầu học sinh đa về dạng
ax
2

+ bx + c
GV: Với bài toán này làm thế nào để ta
đa về dạng ax
2
+ bx + c?
GV: Hớng dẫn HS đặt ẩn phụ để giải?
GV : Khi đã biến đổi đựơc A == t
2
+ 2t
yêu cầu 1 học sinh lên giải, các nhóm
25
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá