chuyên đề ôn thi đại học phần tổ hợp và số phức

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V

V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p

p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2

2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 1

CHñ §Ò: tæ hîp vμ sè phøc
n¨m häc: 2010 - 2011
Hä vμ tªn: NguyÔn V¨n Loan
Tæ: To¸n  Tin
Tr¦êng THPT CÈm Lý

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y

y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i

i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h

h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-

-



























Trang 2
C

C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N


Đ
Đ
Ề
Ề
:
:


S
S
Ố
Ố


P
P
H

H
Ứ
Ứ
C
C




1
1
.
.


Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H


N
N
G
G
H

H
Ĩ
Ĩ
A
A


P
P
H
H
É
É
P
P


T
T
O
O
Á
Á
N
N


S
S
Ố

Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C


I> Khái niệm số phức:
 Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
2
i
= –1.
Kí hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là  = {a + b
i
/ a, b


và
2
i
= –1}. Ta có    .
 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.
i
= a




 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b
i
= b
i
. Đặc biệt
i
= 0 + 1.
i

 Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
II> Số phức bằng nhau:
 Cho hai số phức z = a + b
i
và z’ = a’ + b’
i
. Ta có z = z 
'
'

aa
bb









VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)
i
= (2y + 1) + (3x – 7)
i
(1)
(1) 
2321 2 2
3137 2 0
xy xy x
yx xy y
   



  


III> Biểu diễn hình học của số phức:

 Mỗi số phức z = a + b
i
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.



VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
A
z = 1 + 4
i
,
B
z = –3 + 0.
i
,
C
z = 0 –2
i
,
D
z = 4 –
i

IV> Môđun của số phức:
 Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM


được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu
22
z
=a+bi= a +b




VD: z = 3 – 4
i
có
22
34 3 (4)zi  
= 5



Chú ý:
2
222 222 2222
2()4z a b abi a b a b a b z    
V> Số phức liên hợp:

 Cho số phức z = a + b
i
, số phức liên hợp của z là
z
abi



.

z
=a+bi z =a-bi
; zz ,

z
=z
* Chú ý
iiiiZZ
nn
 ;;)()(

 Z là số thực 
Z
Z

 Z là số ảo 
Z
Z

* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R)
zzbaOMZ .
22

Chú ý: ZZ   z



C
 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
 Số đối của số phức z = a + b
i là –z = –a – bi
 Cho
z
abi
và
'''
z
abi
. Ta có
z
± z' = (a ± a')+ (b ± b')i

 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
 Cho hai số phức
z
abi
và
'''
z
abi


. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay
2
i

= –1
và rút gọn, ta được:
z
.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i

 k.z = k(a + bi ) = ka + kbi . Đặc biệt 0.z = 0 z


 z. z = (a + b
i
)(a – b
i
) hay
2
22
z
.z = a + b = z

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ

Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o

a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c

–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–

2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 3



VD: Phân tích
2
z + 4 thành nhân tử.
2
z + 4 =
2
z –
2
(2 )i = (z – 2
i
)(z + 2
i
).
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
 Số nghịch đảo của số phức
z

abi
 0 là
-1
2
1z
z= =
z
z
hay
22
1a-bi
=
a+bi a +b

 Cho hai số phức
z
abi
 0 và
'''
z
abi


thì
2
''.zzz
z
z
 hay
22

a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
=
a+bi a +b




VD: Tìm z thoả (1 + 2
i
)z = 3z –
i
.
Ta có (3 – 1 – 2
i
)z =
i
 z =
22
i
i


(2 2 ) 2 2 1 1
44 8 4 4
ii i
zzzi



 



IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N

4k 4k +1 4k+2 4k+3
i = 1; i = i; i = -1; i = -i



VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =
13
(2 2 )i
6
2 6 6 6 19 19
(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2zi iii i i

     


Phần thực a =
19
2 , phần ảo b =
19
2
2
2
.
.
B
B

À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P


P
P
H
H
É
É
P
P


T
T
O
O
Á
Á

N
N


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
.
.


1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
 Hướng dẫn: a) x =
3
2
, y =
4

3
c) x =
15
2

, y =
13
3

b) x = 0, y = 1.
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
 Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z|  1 c) 1 < |z|  2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
 Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
1ab



, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
1ab


, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
12ab


, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không
tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4)Thực hiện các phép tính sau:
b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c)
23
(1 ) (2 )
2
ii
i



5)Giải phương trình sau:
c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c)
(2 3 ) 5 2
43
z

ii
i
 


THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ

ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i

c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ

ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 4
 Hướng dẫn: a) z = 1 b) z =
89
55

i

c) z = 15 – 5i.
6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i.
cos ;sin
66
F





nên F
biểu diễn số
31
22
i
. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
31
22
i


. E đối xứng F qua Ox
nên E biểu diễn số
31
22
i

. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
31
22
i

7)Cho
13
22
zi 
. Hãy tính:
23 2
1
;; ;();1
zz z z z
z


.
 Hướng dẫn
: Ta có
1z 
nên
113
22
iz
z
  
;
2
13

22
zi 
;
32
.1zzz


;
2
10zz 

8)Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng

1
2
zz

, phần ảo của số phức z bằng

1
2
zz
i


b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz

 .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi zz


.
d) Với mọi số phức z, z

, ta có
'','.'zz zz zz zz 
và nếu z

0 thì
''zz
zz





 Hướng dẫn:
,zabizabi


(1)
a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng

1
2
zz

. Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức
z bằng


1
2
zz
i

.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 
0
z
zzz


.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 
0
z
zzz


.
d)
22
;' '';zabi z abi zza b    là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'zz aa bbi aa bbi abi abi zz

'('')('')('')('')( )('').'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z   

''.'.'.'

zzzzzzzz

zzzzzzzz
 

 
 

9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
44142 43
1; ; 1;
mm m m
iiii i i
 


 Hướng dẫn: Ta có
422
.1iii


44441414242 43
11.1. 1.1.
m
mm m m m m m m
i i iiii iiiiii ii ii i
   
              

10)Chứng minh rằng:
e) Nếu
u


của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì
||||uz


và từ đó nếu hai điểm
12
,AA theo
thứ tự biểu diễn số phức
12
,zz thì
12 2 1
AA z z




;
f) Với mọi số phức z, z

, ta có |z.z

| = |z|.|z

| và khi z

0 thì
'
'
z

z
zz


g) Với mọi số phức z, z

, ta có
''
z
zzz



 Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:

N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n

–
–

Ô
Ô
n
n

t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N

ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2

0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 5
a)
z
abi
thì
22
z
ab


,
u

biểu diễn số phức z thì
u

= (a; b) 
22
uab

do đó
||||uz


12

,AA theo thứ tự biểu diễn số phức
12
,zz thì
12 2 1 2 1 12 2 1
A A OA OA z z A A z z

 

   

b)
z
abi
,
'''
z
abi
,




.' ' ' ' '
z
zaabb ababi
,
22 2 2
,' ' '
z
abz ab 

Ta có
 
22
22 2 2
.' ' '
z
zabab 

Ta có
 



2
222222
22 2 2
.' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
z
zaabbababaabbabababab       

Vậy |z.z| = |z|.|z|
Khi z  0 ta có
22
'. '. '
''.
.
zz zz z
zzz
zzz z

zz
  
c)
u

biểu diễn z,
'u


biểu diễn z thì
'uu



biểu diễn z + z và ''zz uu




Khi
,' 0uu 
 
, ta có



2
222
22
' '2'cos,' '2' 'u u u u uu uu u u uu u u  

             

 ''uu u u
  
do đó
''
z
zzz

11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
h)
1
z
i
b)
1
zi
zi



c)
34
z
zi



 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với zxyi 


2
22 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1zi x y i x y x y         

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với zxyi 
 
22
22
1(1)(1) 1 1 0
zi
xy ixy i x y x y y
zi

             


Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với zxyi 
22 2 2
34 (3)(4) (3)(4)
z
zixyix yixyx y       

68250xy
. Tập hợp các điểm M là đường thẳng
68250xy



12)Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có
10
29
1
1
1
z
zz z
z

   


 Hướng dẫn:
Với z  1,




29 2910 2910
1 1 1 1zz z z zz z z zz z z             

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
22
()zz
33
()
zz

zz



22
()
1
zz
zz



 Hướng dẫn: Ta có
,zabizabi 
,
222 222
()2,()2,z a b abi z a b abi 
Và
33 2 2333 2 23
(3)(3 ), (3)(3 )z a ab a b b i z a ab a b b i     
Vậy
22 22
( ) 2( )zz ab là số thực;
333 2
() 3
zz b
i
zz aab




là số ảo;
22
22
() 4
1. 1
zz ab
i
zz a b



là số
ảo.
13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i)
2
z là số thực âm; b)
2
z là số ảo ; c)
22
()zz d)
1
zi
là số ảo.
 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì
222 222
2; 2z x yi z x y xyi z x y xyi 
a)
2

z là số thực âm khi xy = 0 và
22
0xy

  x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y

ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i

c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h

ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 6
b)
2

z là số ảo khi
22
0xy  y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c)
22
()zz khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d)
1
zi
=
22
1(1)
(1) (1)
x
yi
xy ix y


 
là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j)
20iz i
c)


240iz


e)

2
40z



k)

23 1iz z
d)






13 230iz z i z i



 Hướng dẫn:
a)
12
z
i
b)
13
10 10
zi 
c)
84

55
zi


d)
;3;23ii i


e)
2
z
i



2) Tìm :
15) Cho số phức zxyi

 (x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
zi
zi



b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
zi
zi


là số

thực dương.
 Hướng dẫn:
a) Phần thực là
22
22
1
(1)
xy
xy


, phần ảo
22
2
(1)
x
xy

b) Là số thực dương khi
0x 
và
22
10xy

  Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức ,ii .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức
123
,,zzz. Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức
123
,,zzz thỏa
12 3
z
zz
.
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
123
0zzz
 Hướng dẫn:
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có



123
11
33
OG OA OB OC z z z

   
vậy G biểu diễn số
phức

123
1
3
zzzz

b) Vì

OA OB OC

nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay
123
0zzz.
3
3
.
.


C
C
Ă
Ă
N
N


B
B
Ậ
Ậ
C
C


H
H

A
A
I
I


C
C
Ủ
Ủ
A
A


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C

&
&


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H

B
B
Ậ
Ậ
C
C


H
H
A
A
I
I
.
.


I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b
i
thoả
2
z = w được gọi là căn bậc hai của w.



w là số thực: w = a 
 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
.ai
và –
.ai




w là số phức: w = a + b
i
(a, b

, b  0) và z = x + y.
i
là 1 căn bậc hai của w khi
2
zw

 


22
2
x
-y =a
(x + yi) = a + bi
2xy = b

 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.




VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4
i
.
Gọi z = x + y
i
là căn bậc hai của w. Ta có
22
22
3
()34
24
xy
zw xyi i
xy


 




THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố

P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n

L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố

ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0

0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 7
22 4 2 2
3340 4
22 2
xy y y y
xx x
yy y
 
   
 

 
 
 
 


2
1
y
x





hoặc
2
1
y
x







.
Vậy có 2 căn bậc hai của w là
1
z = 1 + 2
i
,
2
z = –1 – 2
i

.
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực:
22
0( 0), 4ax bx c a b ac   .




0: Phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x
a






< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
||.
2
bi
x
a








VD: Giải phương trình
3
80x 

333 2
2
2
80 2 0 ( 2)( 2 4)0
240(1)
x
xx xxx
xx


      




(1) có  = 1 – 4 = –3 =

2
3.i nên có 2 nghiệm phức
1,2
13.

x
i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm
123
1 3., 1 3., 2xixix



2) Phương trình bậc hai với hệ số phức:
22
0( 0), 4Ax Bx C A B AC   , abi




= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A







0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2

B
x
A




với

là 1 căn bậc hai của

.
 VD: Giải phương trình: a)
2
102ziz
; b)
2
(3 2 ) 5 5 0zizi


a)
2
102ziz
có  = –1 – 8 = – 9 =
2
(3 )i .
Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3
4

ii
zi



,
2
31
42
ii
zi




b)
2
(3 2 ) 5 5 0zizi  có  =
22
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8iiiiii

=
2
(1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức
1
32 14
13
2
ii
zi




 
;
2
32 14
2
2
ii
zi
 


4
4
.
.
B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ

P
P


P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H

B
B
Ậ
Ậ
C
C


H
H
A
A
I
I


1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3210zz
b)
2
7320zz


; c)
2
57110zz



 Hướng dẫn:
a)
12
3
i
b)
347
14
i
c)
7 171
10
i

2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
42
60zz
b)
42
7100zz

 Hướng dẫn
:
a) 2; 3i b) 2; 5ii
3) Cho a, b, c  R, a  0,
12
,zz là hai nghiệm phương trình
2

0az bz c


. Hãy tính
12
zz

và
12
zz
theo các hệ số a, b, c.
 Hướng dẫn:
12
zz

=
b
a

,
12
zz =
c
a

4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm
nghiệm.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S

Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă

ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p

t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0

0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 8
 Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 
2
() 0xzzxzz  .
Với z + z = 2a, z z =
22
ab
. Vậy phương trình đó là
222
20xaxab




5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì
z
w

 Hướng dẫn:
z
abi


là một căn bậc hai của w 
2
22
z
wzwzwz w     

VD:

2
34 2ii
tức
2
z
i
là một căn bậc hai của
34wi


thì

z
w

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a)
2
1zz b)
2
250zz
c)
2
(1 3 ) 2(1 ) 0zizi


 Hướng dẫn:
a)
2
2
115 1 5 1 5
2. .
244 2 4 2 2
zz z z





b)
 
222

2
2501412 12 12zz z z i z iz i 

c)
 
22
13 81 2 1iiii      
Phương trình có hai nghiệm phức là
12
2; 1ziz i.
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với
hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai
2
0zBzC


(B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai
số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
không?
 Hướng dẫn:
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là

22
1,2
4
2
B
zBAC

A





nên
12 12
;
B
C
zz zz
A
A
 
.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình




2
4510zizi



Có

2
512 23ii   

nên hai số cần tìm là
12
3; 12ziz i

.
c) Phương trình
2
0zBzC


có hai nghiệm là
;z a bi z a bi


thì

2Bzz a  
là số
thực và
22
.Czza b
là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau:



22
210ziz iz

b) Tìm số phức B để phương trình

2
30zBzi


có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
 Hướng dẫn
:
a)



2
2
0zizi
có 3 nghiệm là
22 22
;;
22 22
iii
.
b) Ta có
12 12
;. 3zz Bzz i  nên
  
22
22 2 2
12 12 12
828683 3zz zz zz B i B i B i      

9) Tìm nghiệm của phương trình

1
zk
z


trong các trường hợp sau:
a) k = 1; b) k =
2
; c) k = 2i.
 Hướng dẫn:
2
1
10zkzkz
z

  
có 2 nghiệm

22
1,2
4
2
k
zk




 

a) k = 1 thì
1,2
13
22
zi
b) k =
2
thì
1,2
22
22
zi
c)


1,2
212kiz i 
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a)
3
10z 
; b)
4
10z 
; c)
4
40z


; d)

43
88 1zzz

 Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ

n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i

c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ

c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 9
a)


32

13 13
10 1 1 0 1, ,
22 22
zzzzzzizi    
.
b)
442
10 1 1 1,zzzzzi        
c)




442
40 4 2 1 , 1
z
zzizizi          

d)


 

32
113
18 1 0 12 14 2 1 0 1, ,
244
zz zzzz zzz i        

11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình

2
0zbzc


nhận
1
z
i


làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình
32
0zazbzc


nhận
1
z
i
và z = 2 làm nghiệm.
 Hướng dẫn:
a)
   
2
110 20 0202,2 vaøi b i c bc bi bc b b c   

b
b
)

)


Lần lượt thay
1
z
i
và z = 2 vào phương trình, ta được
2(22 ) 0
84 2 0
bc abi
abc
   





24
22 6
42 8 4
bc a
ab b
abc c




  




 


5
5
.
.

D
D
Ạ
Ạ
N
N
G
G


L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G


G
G
I
I
Á
Á

C
C


C
C
Ủ
Ủ
A
A


S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
(
(
t
t

h
h
a
a
m
m


k
k
h
h
ả
ả
o
o
)
)


I> Số phức dưới dạng lượng giác:
1) Acgumen của số phức z
 0:
 Cho số phức z = a + b
i
 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)
của góc
(, )Ox OM



 
được gọi là một acgumen của z.
 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng

+ k2 (k

)
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).



VD: Biết z  0 có một acgumen là

. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ;
1
z
.
 z biểu diễn bởi
OM


thì –z biểu diễn bởi –
OM


nên có acgumen là

+ (2k + 1)
 z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –


+ k2
 – z biểu diễn bởi –
'OM

nên có acgumen là –

+ (2k + 1)

1
z
=
1
2
||
z
z
z

 , vì
2
1
||z
là một số thực nên
1
z

có cùng acgumen với z là –

+ k2.
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b

i
:

Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos

+ i sin

) với

là một acgumen của z.

Vôùi 
22
ab
z=a+bi z=r cosφ+isinφ r= a +b ; cosφ =;sinφ =
rr




VD:
 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos +
i
sin
 Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng

thoả cos

=
1

2
và sin

=
3
2
. Lấy

=
3

thì 1 + 3
i
= 2(cos
3

+
i
sin
3

)
 Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos

+
i
sin

)




Chú ý:
 Số – cos

–
i
sin

có dạng lượng giác là cos(

+ ) +
i
sin(

+ )
 Số cos

–
i
sin

có dạng lượng giác là cos(–

) +
i
sin(–

)
 Số – cos


+
i
sin

có dạng lượng giác là cos( –

) +
i
sin( –

)
II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos

+
i
sin

) và z = r (cos

’ +
i
sin

’) với r , r  0
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố

Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă

n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p

t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0

1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 10
z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')]
và
zr
=[cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]
z' r'
( r  0)
 Ta có
1
'z
và z có cùng acgumen là –

’ + k2 nên

11
[cos(')sin(')]
''
i
zr



.
Do đó
[cos( - ') sin( - ')]
''
zr
i
zr



( r ’

0)



VD:
1
33
2cos sin
44
zi







và
2
55
2sin cos
12 12
zi






. Tính
12
.zz và
1
2
z
z

Với
2
2cos sin
12 12

zi






;
12
.zz =
55 31
22cos sin 22 6 2.
66 22
iii










và
1
2
z
z
=

22 2 13 26
cos sin 2
33 2222
2
iii










III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
1) Công thức Moa–vrơ
: Cho số phức z = r (cos

+
i
sin

)



n
n
r(cosφ+isinφ)=r(cosnφ+isinnφ)

(n
*

)
2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
 Mọi số phức z =
r
(cos

+
i
sin

) (
r
> 0) có 2 căn bậc hai là





φφ
rcos +isin
22
và
22
cos sin
22
ri





  
   
  


  



φφ
r cos + π +isin +π
22




VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:

100
1 i
và căn bậc hai của w = 1 + 3.i
 Ta có 1 +
i
=
11
22cossin
44

22
ii




 




.
Do đó

100
1 i
=

100
50
2 cos sin 2 cos25 sin 25
44
ii





 






 w = 1 + 3.i =
2cos sin
33
i






có 2 căn bậc hai là
2cos sin
66
i






và
77
2cos sin
66
i







.
1)
Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn

19
1 i
và công thức Moavrơ để tính
024 1618
19 19 19 19 19
 ððð ð ð
.
 Hướng dẫn:
12cossin
44
ii



 



Ta có

19

19
0 0 1 1 2 2 18 18 19 19
19 19 19 19 19
0
1
n
kk
n
k
iiiiiii


    

ðððð ð ð
với phần thực là
024 1618
19 19 19 19 19
 ððð ð ð


19 19
19
99
19 19 2 2
12cossin 2 22
44 22
ii ii




    





có phần thực
9
2512

Vậy
024 1618
19 19 19 19 19
 ððð ð ð
= –512.
2)
Tính:
21
2004
533
;
1
123
ii
i
i












 Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u

u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h

h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m

h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1

1
-
-

Trang 11

2004
2004 2004
1002 1002
12 1 1
cos sin cos sin
122442 2
ii
ii
i




   
   

   

   




21
21
21
21 21
533 2 2

13 2cos sin 2cos14 sin14 2
33
123
i
ii i
i





     









3)
Cho số phức


1
13
2
wi 
. Tìm các số nguyên dương n để

n
w
là số thực. Hỏi có số nguyên
dương m để
m
w
là số ảo?
 Hướng dẫn:

14444
1 3 cos sin cos sin
23333
n
nn
wiiw i


      

W là số thực khi
4
sin 0
3
n


, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để
m
w

là số ảo.

6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

  
i
iii
i
i 1
32321
1
1
10
2










2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a.
;
2
31

1
2
i
i
z
i
i





b.



;0
2
1
.32 







i
izizi

c.
;0||
2
 zz d. 0
2
2
 zz ;
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+…….+(1+i)
20
b. 1+i+i
2
+i
3
++……+i
2011

4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện
sau:
a.
;4|3|  zz b. ;2|1|  izz
c.



ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz 

5. Các vectơ

',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng


'.'.
2
1
'. zzzzuu 

;
b. Chứng minh rằng

',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz




6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

,k
iz
z



(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
1

1



iz
z
và
.1
3



iz
iz

8. Tìm số phức z thỏa mãn

1
4









iz
iz

9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1tan
1tan
i
i





10. Giải các phương trình sau trên C :
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N

g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n

–
–

Ô
Ô
n
n

t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă

m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0

1
1
1
1
-
-

Trang 12
a. 01
2
2
34
 z
z
zz bằng cách đặt ẩn số phụ
z
zw
1

;
b.

0363263
22
2
2
 zzzzzz
c. (z
2
+1)
2
+(z+3)
2
=0a.






01
32
 izziz d.

 
.0124
2
2
2
 zzzz

11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
, zz sau :
a/





izz
izz
25
4
2

2
2
1
21
b/





izz
izz
25
55
2
2
2
1
21


12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a 1-i
3 ; b.
4
sin
4
cos



i ; c. ;
8
cos
8
sin


i d.


cossin1 i



;
2
0










13. Cho PT : z
2
+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT

đã cho thuộc đường tròn đơn vị

14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện sau :

21 3zz iz
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.

;31
3
sin
3
cos
7
5
iii 








b.



9

10
3
1
i
i


; c.
2000
2000
1
z
z 
biết rằng .1
1

z
z
18. CMR:3(1+i)
2011
= 4i(1+i)
2009
- 4(1+i)
2007
19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i











33
33
là số thực, là số ảo?
20.Viết dạng lượng giác số z=
13
22
i
.Suy ra căn bậc hai số phức z

B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P

P


T
T
Ự
Ự


R
R
È
È
N
N


1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
 Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2)
Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
 Hướng dẫn: z = a + bi  |z| =
22
ab

. Ta có |z| 
2

a
= a và |z| 
2
b
= b
3)
Giải phương trình sau trên tập phức:
a)
(3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
 Hướng dẫn:
a)
74
55
i
b)
18 13
77
i

4)
Giải phương trình sau trên tập phức:
a)

2
3780zz
b)
4
80z



c)
4
10z



 Hướng dẫn:
a)
747
6
i
b)
4
8

,
4
8i c)
1, i



5)
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố

P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n

L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t

ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1

0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 13
 Hướng dẫn:
12 12
3, 4zz zz

 
12
,zz là nghiệm phương trình
2
340zz
với  =
2
(7)i



1,2
37
2
i
z



6)
Cho hai số phức
12
,zz. Biết rằng
1212
,zzzz

là hai số thực. Chứng tỏ
12
,zz là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực.
 Hướng dẫn:
Đặt
12 12
,zz azz b  với a, b  R. Khi
12
,zz là hai nghiệm phương trình
12
()()0zzzz hay
2
12 12
() 0zzzzzz  


2
0zazb

7)
Chứng minh rằng nếu
1zw
thì số

10
1
zw
zw
zw




là số thực.
 Hướng dẫn: Ta có
2
.1zz z

11
1
11
11
1
zw zw zw zw
zw

zw zw
zw zw
zw

 

 





nên

10
1
zw
zw
zw




là số thực.
8)
Giải phương trình:
a)


2

363130zi zi    
b)
2
33
340
22
iz iz
zi zi







c)


2
2
2
130zz 
 Hướng dẫn:
a)

2
332
363130
332 3
zi izi

zi zi
zi izi

  

     


  


b)
2
3
15
1
(1 ) 3 2
33
2
22
340
435
3(4)38
22
4
17 17
2
iz
zi
iz i

iz iz
zi
iz i z i
zi zi
zi
zi




 







  



















c)





2
2
222
1301(3)1(3)0zzizzizzi     


Phương trình
2
13 0ziz i
có nghiệm
12
12; 1ziz i


Phương trình
2
13 0ziz i

có nghiệm
34
12; 1ziz i


B
B
à
à
i
i


1
1
.
.


Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
2
()2()5xyi xyi

. Với giá trị nào của x, y thì số
phức trên là số thực.
 Hướng dẫn: Phần thực là
22
25
x
yx


, phần ảo là
2( )
x
yy

. Số phức trên là số thực khi y =
0 hoặc x = 1.
B
B
à
à
i
i


2
2
.
.

Thực hiện các phép tính:
a)
d)
33
(1 2 ) (1 2 )ii; g)
2010 2009
(1 ) (1 )ii e)
2212
1222

ii
ii




B
B
à
à
i
i


3
3
.
.

Tìm z, biết:
a)

(1 5 ) 10 2 1 5iz i i
; b)
(3 2 ) 1 4iz i z


c)
13
1

zi
ii
i

 


d)
23
1321
1
i
ziz
i

  

; e) (2 3) 2 3 2 2izi i; f)
213
12
ii
z
ii




g)

2

11 2 2
1
zi
zii
i



h)
12
23
11
iz i
zi
ii


 


i)

22
155
1
iz i
iz i
i





 Hướng dẫn:
a)
12
z
i
; b)
13
55
zi
; c)
23
z
i


; d)
1
5
zi


;
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố

P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n

L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t

ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1

0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 14
e)
i
; f)
24
55
i
g)
3
z
i


h)
3

z
i

i)
23
z
i



B
B
à
à
i
i


4
4
.
.

Biết
1
z và
2
z là hai nghiệm của phương trình
2
330zz


. Hãy tính:
a)

22
12
zz
; b)
33
12
zz
; c)
12
21
zz
zz

; d)
22
12
zz

 Hướng dẫn:
a)
22
12
zz
= –3; b)
33
12

zz
= 63; c)
12
21
zz
zz

= –1; d)
22
12
zz
= 6.
B
B
à
à
i
i


5
5
.
.

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
 Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là
1
37
22

zi
và
2
37
22
zi

B
B
à
à
i
i


6
6
.
.

Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)

2
8(1 ) 12 16 0ziz i; b)


2
220
z

iz i


;
c)

2
21 4 0iz i z
; d)


2
580
z
iz i



 Hướng dẫn:
a)
2, 8 6ziz i
; b)
12
2;zzi; c)
12
2; 2zzi

; d)
12
2; 32ziz i 

B
B
à
à
i
i


7
7
.
.

Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)

42
6250xx
; b)
42
16 100 0xx


; c)
42
3330
x
xi

d)

42
3(1 2 ) 8 6 0
x
ix i ; e)
4
724 0
x
i


; f)
4
28 96 0
x
i 

 Hướng dẫn:
a)
 
12, 12
x
ix i   
; b)




3, 3
x
ix i


 
; c)



2, 1
x
ix i   

d)
 
2, 1
x
ix i   
; e)




2, 12
x
ix i   
; f)



3, 13
x
ix i   

B
B
à
à
i
i


8
8
.
.

Tìm z biết:
a)

2
zz ; b)
224
z
zi
c)
212
z
iz i

 
và
110

10z

 Hướng dẫn: Gọi z = x + yi  z = x – yi và
222
2z x y xyi .
a)
2
zz 
22
(1)
2(2)
x
yx
xy y






(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1
Nếu y  0  (2) có nhiệm x = –
1
2
thay vào (1)  y =
3
2


Vậy nghiệm của hệ là các cặp số

13 1 3
(0;0), (1;0), ; , ;
22 2 2
 

 
 
 

Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =
13
22
i
; z =
13
22
i

b)
2
4
3
zi
c)
13; 13ziz i 

B
B
à
à

i
i


9
9
.
.

Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
a)

2zi
; b)
3
1
3
zi
zi



; c)
1
z
zi


; d)
(2 3 ) 2 0iz i m



(m là tham số)
 Hướng dẫn:
a)
22 22
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4zi x y i x y x y         

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u

u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h

h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m

h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1

1
-
-

Trang 15
b)
22
22
(3)
3(3)
11 10
3(3)
(3)
xy
zi xy i
y
zi xy i
xy


   



Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
c)
22 2 2
1 (1)(1) (1)(1) 10zz i xyi x yi xy x y xy  

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
d)
26
22634
13

(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
34
2 3 13 13
13
m
x
mi m m
iz i m z z i x y
m
i
y






    








Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
B
B
à

à
i
i


1
1
0
0
.
.

Dùng công thức Moa-vrơ để tính
5
(1 )i

,


6
3 i

.
 Hướng dẫn:

41 i
.
B
B
à

à
i
i


1
1
1
1
.
.


Tìm phần thực và phần ảo của số phức


8
3 i

.
Hướng dẫn
:
31
32 2cossin
22 6 6
ii i





   





.
Bài 12. Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
24110zz

. Tính giá trị của biểu thức

22
12
2
12
zz
A
zz



. ĐS: A=11/4
Bài 14. Tìm số phức z thoả mãn:
22zi. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

ĐS:




2212,2212zizi     .
Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn:


1
11
3
12
z
zi
zi
zi














. HD
: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.
Bài 16. Giải phương trình:
4
1
zi
zi






. ĐS: z{0;1;1}
Bài 17. Giải phương trình:
2
0zz.
HD
: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i}
1.
Giải phương trình:
2
0zz.
HD
: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1,
13
22
zi

Bài 18. Giải phương trình:

2
43
1 0
2
z
zz z .
HD
: Chia hai vế phương trình cho z
2
. ĐS: z=1±i,
11
22
zi 
.
Bài 19. Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD
: Đặt thừa số chung ĐS:
13 13
1, ,
22 22
zz iz i     .
Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z

2
2mz+m
2
2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho
phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm
phức.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y

y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i

i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h

h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-

-



























Trang 16
Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận


làm nghiệm biết:
a.

= 25i b.

= 2i 3 c.

= 3- 2i
Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
iz
2
2iz2 = 0. b. z
3
+(i3)z
2
+(44i)z7+4i = 0.
Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
22zi zz i  . ĐS:
2
4
x
y  .
Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn
3
23
2
zi


. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD
: *Gọi z=x+yi.
3
23
2
zi


 … 

22
9
23
4
xy

 
.

Vẽ hình |z|
min
z.
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
zi

 .

2.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực 2
10
, phần ảo: 2
10
+1.


C
C
Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ề
Ề

T
T
H
H
I
I


Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I


H
H
Ọ
Ọ
C
C


–
–


C

C
A
A
O
O


Đ
Đ
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G


B
B
à
à
i
i


1
1
.
.

(Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )iizi iz. Tìm phần
thực và phần ảo của z.
b)
Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
437
2
zi
zi
zi





trên tập  .
 Hướng dẫn:
a)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )iizi iz 
2
(1 ) (2 ) (1 2 ) 8ii izi


 





2(2 ) 1 2 8ii iz i 


8
12
i
z
i




(8 )(1 2 )
14
ii
z




10 15
23
5
i
zi




. Phần thực là 2, phần ảo –3
b)
437
2
zi
zi
zi




2
(4 3 ) 1 7 0zizi 
Ta có  =
22
(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )iiii. Phương trình có 2 nghiệm:
1
43 2
3
2
ii
zi


và
2
43 2
12
2
ii

zi




B
B
à
à
i
i


2
2
.
.

(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện
|(34)|2zi


.
 Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i
(x, y

) 

(3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)zixyiixyi  

Ta có
|(34)|2zi 

22
(3)(4)xy
= 2 
22
(3)(4)xy = 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
B
B
à
à
i
i


3
3
.
.

(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả:
|(2)|10zi
và
.
z

z
= 25.
 Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i (x, y  ) 
(2 ) 2 ( 2) ( 1)zixyiix yi

Ta có
|(2)|10zi

22
(2)(1)10xy 
22
4250xy xy

 (1)
Ta có
.
z
z
= 25  (x + y
i
)( x – y
i
) = 25 
22
25xy

 (2)
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -

S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V

V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p

p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2

2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 17
Từ (1) và (2), ta có
22
22
4250
25
xy xy
xy









22
10 2
25
yx
xy







2
10 2
8150
yx
xx






3

4
x
y






hoặc
5
0
x
y





. Vậy z = 3 + 4
i
hoặc z = 5 + 0
i
.
B
B
à
à
i
i

4
4
.
.

(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi
1
z và
2
z là hai nghiệm
phức của phương trình
2
2100zz
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
A
zz
.
 Hướng dẫn:
2
2100zz
có  = 1 – 10 = –9 =
2
(3 )i . Nghiệm là
1
13zi


 ,
2
13zi 
Ta có:
1
19 10z  và
2
19 10z  nên
22
12
20Az z



B
B
à
à
i
i


5
5
.
.

(Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:


2
23 4 13iz iz i

b)
Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình


2
1630
z
iz i



 Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có:

2
23 4 13iz iz i

  
2
648 2
23( ) 4 ( ) 13 6 4 (2 2) 86
226 5
ab a
iabi iabi i a b a bi i
ab b
 


 

 


Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b)

2
1630
z
iz i 
có  =
22
(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )ii ii  
Do đó phương trình có 2 nghiệm:
1
115
12
2
ii
zi




;
2
115

3
2
ii
zi





B
B
à
à
i
i


6
6
.
.

(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa:
2z  và
2
z là số thuần ảo
 Hướng dẫn:
Gọi z = a + bi 
22

222
2
zab
zab abi







. Theo đề ta có:
22 2
22
22
22 22
22
11
21
2
11
00
0
11 1 1
111 1
hoaëc
hoaëc hoaëc hoaëc
aa
ab a
ab

bb
ab ab
ab
aa a a
bb b b




 







 






   
  

  
 
  

Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
B
B
à
à
i
i


7
7
.
.

(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm
tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa
1(1)
z
iz 

 Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có
22 2 2
(1) (1)( ) (1) ( )( )
x
yi ixyi x y xy xy       

22 2 2
210 (1)2xy y x y. Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R =

2
.
B
B
à
à
i
i


8
8
.
.

(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:
2
(2 )(1 2)zii
b)
Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i




. Tìm môđun của số phức
ziz

 Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ

ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i

c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ

ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 18
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
(2 )(1 2)zii






122 1 2 5 2abi i i abi i   .
5, 2ab 
. Vậy phần phần ảo b = –
2
.
b) Gọi z = a + bi, ta có:
3
(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
44
11111
iii i
zi
iii

 


 z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i 
ziz

= –8 – 8i. Do đó :

22
8882ziz  
.

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT

1.
Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0.
2.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

!
!
kn
n
A
k
n

 , n≥k>0.
3.
Số tổ hợp chập k của n phần tử:

!!
!
knk
n
C

k
n

 , n≥k≥0.
4.
Quy ước n!=0!=1.
5.
Nhị thức Newton

nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba 
 11222222110
 .

011222 2222 111
(1) (1) (1)
n
nn n nnn nnn nnn

nn n n n n
ab Ca CabCab C ab Cab Cb
 
     
6.
Hoán vị !
n
n
Pn A
7.
, n k 0, n,k N
knk
nn
CC


8.

1
1
kkk
nnn
CCC



9.

1
1

kk
nn
nk
CC
k



10.

111 1
123 1

kk k k k
nn n n k
CC C C C
 
 
 (k<n)
Công thức số hạng tổng quát
:
kknk
nk
baCT



1
, 0≤k≤n.
Hệ số khai triển thứ k+1:

1
k
kn
aC



Một số tổng cơ bản: dựa theo

1
n
x sau đó thay x = ….
12
( 1) ( 1) 0,
okknn
nnn n n
CCC C C     vì (0-0)
n

2 4 2 1 3 5 21 21
222 2 222 2
=2
on nn
nnn n nnn n
CCC C CCC C

  
Dựa theo


2
1
n
x

 và

2
1
n
x……… Sau đó thay x = 1 cộng trừ vế với vế
123
2 3 ( 1) ( 1) 0,
kk nn
nnn n n
CCC kC nC   Sử dụng đạo hàm
123 1
2 3 2 ,
knn
nnn n n
CCC kC nCn

 
Bài toán trong khai triển:

0111 22222111

n
nn n n n n n n n n nnn
nn n n n

ax by C a x C a x by C a x b y C axb y C b y
     
     (x,y là biến,
a,b là hằng só thực)
Loại 1 : Tìm số hạng
1
knknkkk
kn
TCaxby



Loại 2: Tìm hệ số đa thức khai triển
1
knkk
kn
aCab


 , đạt max, hoặc hệ số nhị thức
12
, , , , , ,( 1)
oknn
nnn n n
CCC C C
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố

P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n

n


L
L
o
o
a
a
n
n


–
–

Ô
Ô
n
n


t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t

t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă
m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1

1
0
0


–
–


2
2
0
0
1
1
1
1
-
-

Trang 19
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2










x
x , (x>0). ĐS: 6528

2.
(ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1









x
x với x>0. ĐS: 35

3.
(ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của

n
x
x







5
3
1
, biết rằng

37
3
1
4




nCC
n
n
n
n
, (n nguyên dương, x>0, (
k

n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495
4.
(ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức

!1
3
34
1




n
AA
M
nn
, biết rằng 14922
2
4
2
3
2
2
2
1

 nnnn
CCCC (n là số nguyên

dương,
k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
M

5.
(ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x







7
4
1

, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12


n
nnn
CCC  , (n nguyên dương và
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210

6.
(ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048
12
2
3
2
1
2

n
nnn

CCC  . (
k
n
C là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6

7.
(ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(12x)
5
+x
2
(1+3x)
10
. ĐS: 3320
8.
(ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n3
là hệ số của x
3n3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n

.
Tìm n để a
3n3
=26n. ĐS: n=5
9.
(ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho
012
2 4 2 243
nn
nnn n
CCC C  . ĐS: n=5
10.
(ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n
111
2
1
1
11















(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).

11.
(ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n
C

n
0
3
n1
C
n
1
+3
n2
C
n
2
3
n3
C
n
3
+ … +(1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C là số tổ hợp chập k của
n phần tử). ĐS: 22

12.
(ĐH_Khối B 2003)

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0








 , (
k

n
C là số tổ hợp
chập k của n phần tử). ĐS:
1
23
11



n
nn

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố


P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N

g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
n


V
V
ă
ă
n
n


L
L
o
o
a
a
n
n

–
–

Ô
Ô
n
n

t
t
h
h
i
i


c
c
ấ
ấ
p
p


t
t
ố
ố
c
c


–
–

N
N
ă
ă

m
m


h
h
ọ
ọ
c
c


2
2
0
0
1
1
0
0


–
–


2
2
0
0

1
1
1
1
-
-

Trang 20
13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó nN* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0

n
n

a
a
a
 . Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
. ĐS: a
8
=126720
14.
(ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
2
135 21
222 2
111 1 21
246 2 21
n
n
nnn n
CCC C
nn


 

 , (

k
n
C là số tổ hợp chập k của n
phần tử).

15.
(ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho

20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12



n
n
n
nnnn
CnCCCC 
,
(

k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002
16.
(ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1x)]
8
. ĐS: 238
17.
(ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x

n
n
x
x
CCCC









































































3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0

3
2
1
22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC 
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
18.
Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)
n
.
b. Tính các tổng S
1
=1C
n
2
+C
n
4
C
n
6
+… S
2
=C

n
1
C
n
3
+C
n
5
…
19.
Chứng minh rằng C
100
0
–C
100
2
+C
100
4
–C
100
6
+ … –C
100
98
+C
100
100
= –2
50

.
o0o