tài liệu ôn thi ts 10

Sỏng kin kinh nghim: Luyn thi vo lp 10 chuyờn toỏn
NI DUNG
Chuyờn 1: Phng phỏp chng minh t giỏc ni tip
1) Mc tiờu ca ch :
Qua ch ny giỳp hc sinh:
- Bit c mt s phng phỏp chng minh t giỏc ni tip ng trũn.
- Vn dng linh hot cỏc phng phỏp chng minh c cỏc t giỏc ni tip ng
trũn.
- Vn dng tớnh cht ca t giỏc ni tip ng trũn chng minh cỏc bi toỏn hỡnh
hc cú liờn quan.
- Rốn k nng tỡm li gii v trỡnh by li gii ca mt bi toỏn hỡnh hc.
- Bit cỏch khai thỏc cỏc bi toỏn hỡnh hc, t ú rốn luyn t duy c lp sỏng to
trong hc tp ca hc sinh
2) Mt s gi ý chng minh t giỏc ni tip:
1. Chứng minh cho 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
.
3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới hai góc bằng nhau.
4. Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau.
5. Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn.
6. Trờng hợp phải chứng minh 5 điểm trở lên cùng nằm trên một đờng tròn, ta chọn 3
điểm nào đó cố định, chọn điểm thứ 4 rồi chứng minh cho 4 điểm này nằm trên một
đờng tròn. Sau đó lại chứng minh 3 điểm cố định trên cùng với điểm thứ năm nằm
trên một đờng tròn và cứ tiếp tục nh thế cho đến điểm cuối cùng. Nh vậy tất cả các
điểm đó, kể từ điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên đờng tròn đi qua 3 điểm đã chọn làm
cố nh, t ú suy ra cỏc im ú u nm trờn mt ng trũn.
3) Vớ d minh ha:
1. Bi toỏn 1:
Cho tam giỏc ABC vuụng A. Trờn AC ly mt im M v dng ng trũn ng
kớnh MC. Ni BM v kộo di gp ng trũn ti D. ng thng DA gp ng trũ ti S.

Chng minh rng
a. ABCD l t giỏc ni tip
b. CA l phõn giỏc ca gúc SCB.
1.1. Phõn tớch tỡm cỏch gii
Ngi vit: Phan Huy Khi Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
2
1
2
1
O
3
O
2
O
1
S
T
B
C
A
D
K
M
Nhận xét:
a. Vì A và D nằm cùng phía đối với đoạn thẳng BC mà
ˆ
90
o
A =

theo GT nên để
chứng minh được tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh
0
90BDC∠ =
. Ta
có
∠
MDC
0
90=
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
b. Để chứng minh cho CA là đường phân giác
∠
SCB, lợi dụng kết quả đã chứng
minh ở câu a, ta có
∠
ACB =
∠
ADB ( cùng chắn cung AB ).
Mặt khác
∠
SCA =
∠
ADB ( cùng chắn cung SM của đường tròn đường kính
MC) . Từ đó suy ra ĐPCM.
1.2. Lời giải ( tóm tắt )
a/
∠
MDC

0
90=
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ). Mà
∠
BAC
0
90=
(GT) Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc
0
90
nên A và D nằm trên đường
tròn đường kính BC
⇒
ABCD là tứ giác nội tiếp.
b/
∠
ADB =
∠
ACB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

∠
ADB =
∠
SCM ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒

∠
SCM =
∠

ACB
⇒
CA là phân giác
∠
SCB.
1.3. Khai thác bài toán:
• Nhận xét 1:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 2
GT
ABC∆
có
ˆ
90
o
A =
Đường tròn đường kính MC.
MB cắt đường tròn tại D
KL
a/ ABCD là tứ giác nội tiếp.
b/ CA là tia phân giác
SCB∠
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Gọi K là giao điểm của BA và CD kéo dài. T là giao điểm của đường tròn đường kính
MC với cạnh BC. Vì M là trực tâm tam giác KBC nên KM kéo dài phải qua T. Ta có
câu hỏi tiếp theo cho bài toán 1
c/ Gọi T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với BC và K là giao điểm của AB và
CD kéo dài. Chứng minh rằng:
+ K, M, T thẳng hàng
+
∠

ATK =
∠
DTK
• Nhận xét 2:
Theo kết quả đã chứng minh ở câu b thì
∠
SCM =
∠
TCM suy ra cung MS = cung TM
⇒
TS
⊥
MC
⇒
ST // AB. Ta có câu hỏi tiếp cho bài toán 1.
d/ Chứng minh rằng tứ giác KBTS là hình thang.
• Nhận xét 3:
Ta thấy tam giác ASC đồng dạng với tam giác AMD. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán
e/ Chứng minh rằng:
AS
AM
SC AC
MD AD
= =
• Nhận xét 4:
Nhờ kết quả của câu c ta nhận ra KT, BD và CA là 3 đường phân giác trong của tam
V
ATD.
Mặt khác:
1 2

ˆ ˆ
A DAT A+ ∠ +
Mà
1 1 2 2 1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
à MA M M A v M DCT
= = = = = ∠
( cùng bù với
∠
DMT),
ta lại có 2
∠
DCT =
∠
DO
1
T
⇒
∠
DO
1
T =
1 2
ˆ ˆ
A A+
⇒
tứ giác DATO
1
nội tiếp

⇒
O
1
là trung điểm đoạn thẳng MC nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADT.
Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán trên
f/ Gọi O
1
, O
2 3
à Ov
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MC, MB, và MK. Chứng
minh rằng O
1
, O
2 3
à Ov
nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DAT.
. Bài toán 2.
Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt
BC tại H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn
Người viết: Phan Huy Khải Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
H2a
H2b
H
'
H

'
K
M
I
O
K
I
O
H
B
C
A
B
C
A
N
M
N
H
Ta phân biệt hai trường hợp
- H và O nằm cùng phía với AC ( H2a )
- H và O nằm khác phía với AC ( H2b )
• Cách 1
AH cắt BN ở I. Kẻ AH
'
vuông góc với đường phân giác CM và cắt CM ở K. Dể thấy IK
là đường trung bình của tam giác AHH
'
. Từ đó, ta có
·

IKO
bằng ( hoặc bù )
·
OCH
. Tứ
giác AKOI nội tiếp (
0
ˆ ˆ
90K I= =
) nên
·
IKO
=
·
OAI
. Từ đó suy ra ĐPCM.
• Cách 2
Nối OA và OH. Dễ thấy BN là đường trung trực của tam giác ABH
⇒

·
·
BHO BAO=
, nhưng
·
·
BAO OAC=
. Do đó
·
·

BHO OAC=
, ta suy ra ĐPCM.
• Cách 3
Tam giác ABI vuông nên
·
·
·
·
·
0 0
90 90IBA BAI hayIBA BAO OAI+ = + + =
Suy ra
· ·
·
0
ˆ ˆ
ˆ
90 ên OAI
2 2 2
B A C
OAI hayOAI n+ + = =
bằng (hoặc)
·
OCH
Suy ra ĐPCM
• Cách 4
·
0
ˆ
90 ( 2 )

2
B
AHC H a= +
hoặc
·
0
ˆ
90
2
B
AHC = −

·
0
ˆ
90
2
B
AOC = +
( vì O là tâm đường tròn nội tiếp )
Do đó
·
AHC
bằng ( hoặc )
·
AOC

Suy ra ĐPCM.
• Cánh 5
·

ˆ
ˆ
2
A B
AON
+
=
( góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB )
Nên
·
ˆ
ˆ
AOH A B= +
. Do đó
·
0
ˆ
180 ( 2 )AOH C H a+ =
hoặc
·
·
ˆ ˆ
( 2 )AOH ACH A C H b= = +
Suy ra ĐPCM.
3. Bài toán 3:
Cho hình vẽ
a/ CMR: Tứ giác EMFC nội tiếp
b/ Từ hình vẽ đó hãy đặt ra một đề toán có áp dụng kết quả ở câu a
Người viết: Phan Huy Khải Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

M
F
B
D
C
A
E
a/ Gợi ý:
·
·
·
·
0
0
0 0
0
ˆ
180
ˆ
180
ˆ
ˆ
ính EMF 360 360
ˆ ˆ ˆ
ˆ
EMF 180
DME A
DMF B
T A B
C A B C

DPCM
= −
= −
= − + +
⇒ + = + + =
⇒
b/ Có thể ta có những đề toán khác nhau trong đó có vận dụng kết quả của câu a, chẳng
hạn.
Cho 3 điểm D, E và F theo thứ tự trên 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC cho
trước. Giọ M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và BDF.
Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác EFC.
4. Bài toán 4:
Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD
và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Gợi ý:
Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam
đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ
giác nội tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:
Bài toán 5:
Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O)
tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA.
Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 5
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta
nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC.

Thật vậy ta có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Từ đó ta có , theo bài 4 ta có điều cần chứng minh.
Bài toán 6:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với
AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng
minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
Gợi ý:
Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:
Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có
Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 4 ta có tứ giác ADOE nội tiếp.
(*) Để kết thúc chuyên đề, mời các bạn tự luyện với các bài tập sau:
Bài tập 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp.
b/ CA là phân giác của
·
BCF
c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp.
Bài tập 2:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại
E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ
hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a/ CEFD là tứ giác nội tiếp
b/ Tia FA là phân giác của góc BFM
c/ BE.DN = EN.BD.

Bài tập 3:
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính
BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G.
Chứng minh:
a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn
c/ AC song song với FG
d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài tập 4:
Cho tam giác ABC có
0
ˆ
90A =
; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( M không
trùng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường tròn
đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là
giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn
b/ CM là phân giác của góc BCS.
c/
TA TC
TD TB
=
Bài tập 5:
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và
AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại P,
Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn
b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA

2
= AI. AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ
e/ Chứng minh tam giác KLN cân.
Bài tập 6:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng
với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường
tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H )
a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạng với tam
giác EAH.
b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE
cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp
c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R
3
Bài tập 7:
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O)
( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F.
Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF.
Chứng minh:
a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn
b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn
c/ Tam giác PQO cân
d/ MP
2
= PE. PF
e/
·
·

PHM PHN=
.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF
cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp.
b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC
d/ H và M đối xứng nhau qua BC
e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F
thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung
điểm của BC, AB. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và HE // CD.
b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
Bài tập 10:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE.
a/ CMR: A, B, 糈 H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của
đường tròn này.
b/ Chứng minh: HA là tia phân giác
·
BHC
.
c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB
2

= AI.AH
d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11:
Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của
đường tròn đó.
a/ Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc
một đường tròn.
b/ Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? Tại sao?.
c/ CMR: AC.BD = BC.DA =
.
2
AB CD

Bài tập 12:
Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai
tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K.
Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn
b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB
c/ Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 13:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC.
Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a/ Chứng minh:
V
DMC đều
b/ Chứng minh: MB + MC = MA
c/ Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được.
d/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào?.

Bài tập 14:
Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên O kẻ tiếp tuyến d với O. Trên đường thẳng d
lấy điểm M bất kỳ ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp
Người viết: Phan Huy Khải Trang 9
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC
⊥
MB, BD
⊥
MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I
là giao điểm của OM và AB.
a/ Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
c/ Chứng minh OI. OM = R
2
; OI. IM = IA
2
d/ Chứng minh OAHB là hình thoi
e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
f/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Bài tập 15:
Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp
tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD.
a/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp.
b/ Chứng minh AB // EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S.
Chứng minh: * I là trung điểm của RS
*
1 1 2

AB CD RS
= =
Bài tập 16:
Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai
điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PQ với đường tròn (O).
a/ Chứng minh: PT
2
= PM. PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T,
Q thuộc một đường tròn cố định.
b/ Gọi giao điểm của TQ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng
minh các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
c/ CMR: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TQ luôn đi qua điểm cố
định.
d/ Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để
·
0
60TPQ
=
Bài tập 17:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M
≠
A và C). Vẽ đường tròn
đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài
cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S.
Chứng minh:
a/ Tứ giác ABTM nội tiếp.
Người viết: Phan Huy Khải Trang 10
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
b/ Khi M chuyển động trên AC thì
·

ADM
có số đo không đổi
c/ AB // ST.
Bài tập 18:
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =
2/3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho
C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp.
b/ Chứng minh:
AME ACM:V V
c/ Chứng minh AM
2
= AE. AC
d/ chứng minh AE. AC – AI. IB = AI
2
e/ Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 19:
Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE
đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b/ Chứng minh AH là tia phân giác của
·
BHC
c/ DE cắt BC tại I. Chứng minh: AB
2
= AI. AH
d/ Cho AB = R
3
và OH =

2
R
. Tính HI theo R.
Bài tập 20:
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O)
tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M
≠
A, M
≠
Q, Q
≠
A. Các đường thẳng BM và
BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh:
a/ Tích BN. BM không đổi
b/ Tứ giác MNPQ nội tiếp
c/ Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R.
Người viết: Phan Huy Khải Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chun tốn
Chun đề 2: MỘT SỐ BÀI TỐN SỬ DỤNG HỆ THỨC VIÈTE
1) Mục tiêu của chun đề:
Qua chủ đề này giúp học sinh:
- HS nắm vững hệ thức Vi- ét.
- HS vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét
- Lập phương trình biết hai nghiện của nó.
Tìm tổng và tích các nghiệm
- Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm
- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
- Rèn luyện kĩ năng giải tốn và suy luận tốn học cho học sinh.
2) Một số kiến thức cần nắm vững:
1.Định lí Vi-ét:

Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0). Nếu phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2

thì:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


2.Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
1 2

1;
c
x x
a
= =
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
1 2
x 1;
c
x
a
= − = −
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là hai nghiệm của phương trình:
2
X 0SX P
− + =
Điều kiện: S
2

≥
4P
BỔ SUNG
a/ Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có nghiệm
1 2
,x x

thì tam thức
2
ax bx c
+ +

phân tích được thành nhân tử:
2
ax bx c
+ +
= a(x – x
1
)(x – x
2
)
Người viết: Phan Huy Khải Trang 12
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
b/ Xét dầu các nghiệm của phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
- Có hai nghiệm trái dấu P < 0.
- Có hai nghiệm cùng dấu là
0
≥
V
và P > 0
- Có hai nghiệm cùng dương là

0
≥
V
, P > 0, S > 0
- Có hai nghiệm cùng âm là
0
≥
V
, P > 0, S < 0.
3) Một số ví dụ:
*/ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm
Bài 1:
a/ x
1
=
1
4
; x
2
= -
3
2
b/
1
x
= -2
1
4
; x2 = 3
1

3
c/ x
1
= 1
1
3
; x2 = - 0,9 d/ x
1
=
1 2−
; x
2
=
1 2+
e/ x
1
=
3 2+
; x
2
=
1
3 2+
f/ x
1
= 5 +2
6
; x2 =
5 2 6−
g/ x

1
= 3 + 2
2
; x2 =
3 2 2−
h/ x
1
= 4 – 3
5
; x
2
= 4 + 3
5
i/ x
1
=
1
2 3+
; x
2
=
1
2 3−
k/ x
1
=
1
10 72−
; x
2

=
1
10 72+
l/ x
1
= 3 -
5
; x
2
= 3 +
5
m/ x
1
= 4; x
2
= 1 -
2
n/ x
1
= -1,9; x
2
= 5,1 o/ x
1
= 3 +
11
; x
2
=
3 11−
Bài 2: Giả sử x

1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình: 2x
2
– 7x – 3 = 0. Không giải phương
trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:

2 2
1 2
1 1
/ à
x
a v
x

2 1
1 2
x
/ à
x
x
b v
x
Người viết: Phan Huy Khải Trang 13
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

1 2
1 2
1 x 1

/ à
x
c v
x x
+ +
d/
1 2
2 1
1 x 1
à
x
v
x x
+ +

1 2
2 1
1 1
/ à xe x v
x x
+ +

2 1
1 1
/ à
2 x 2
f v
x
+ +
Bài 3: Giả sử x

1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ px – 5 = 0. Không giải phương
trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
1 2
/ à-xa x v
−

1 2
/ 4 à 4xb x v

1 2
1 1
/ à
3 3
c x v x
1 2
1 1
/ à
x
d v
x

2 1
1 2
x
/ à

x
x
e v
x

1 2
1 2
2 x 2
/ à
x
f v
x x
− −
1 2
2 1
3 -x 3
/ à
x
g v
x x
− + +

1 2
2 1
x
/ à
1 x 1
x
h v
x

− −

1 2
2 1
1 1
/ à xi x v
x x
− −
2 2
1 2
/ à xj x v

1 2
2 1
1 1
/ à xk x v
x x
+ +

2 2
1 2 2 1
/ à xl x x v x
Bài 4: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phương trình,
hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
q
à
1 p - 1
p

v
q
−
Bài 5:
a/ Chứng minh rằng nếu a
1
; a
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ px + 1 = 0;
b
1
; b
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ qx + 1 = 0 thì:
(a
1
– b
1
)(a
2
– b
2
)(a
1
+ b
1

)(a
2
+ b
2
) = q
2
– p
2
b/ Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0 với một nghiệm
nào đó của phương trình x
2
+ bx + 1 = 0 là nghiệm pt thì:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
2 2 2 2
4 1 1
2
a b a b
− − =
c/ Cho phương trình: x
2
+ px + q = 0
Chứng minh rằng nếu 2p
2
– 9q = 0 thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia.
*/ DẠNG 2: Tìm tổng và tích các nghiệm
Bài 1:

Cho phương trình x
2
– 5x + 3 = 0. Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình không giải
phương trình hãy tính:
2 2
1 2
/a x x+

3 3
1 2
/b x x
+

1 2
/c x x−

2 2
1 2
/d x x
−

3 3
1 2
/e x x
−

1 2
1 1
/f
x x
+
2 2
1 2
1 1
/g
x x
+

1 2
1 2
3 3
/
x x
h
x x
− −
+

1 2
1 1
/
2 2
i
x x
+
− −

1 2
1 2
1 1
/j x x
x x
+ + +

1 2
1 2
1 1
/
2 2
x x
k
x x
− −
+

2 2
1 2 1 2
/l x x x x
+

1 2
2 1
/
x x
m
x x
+

Bài 2:
Cho phương trình –x
2
– 4x + 1 = 0. Không giải phương trình hãy tính:
a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm
c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm
e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm.
Bài 3:
Cho phương trình: x
2
+ 4
3
x + 8 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phương trình hãy
tính:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
A
x x x x
+ +
=
+

Người viết: Phan Huy Khải Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
DẠNG 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Bài 1:
Tìm hai số u, v biết:
a/ u + v = 32; u.v = 231 b/ u + v =-8; u.v = -105
c/ u + v = 2; u.v = 9 d/ u + v = 42; u.v = 441
e/ u - v = 5; u.v = 24 f/ u + v = -5; u.v = -24
g/ u
2
+ v
2
= 85; u.v = 18 h/ u - v = 3; u.v = 180
i/ u
2
+ v
2
= 5; u.v = -2 j/ u
2
+ v
2
= 25; u.v = -12

DẠNG 4: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm.
Bài 1:
Cho phương trình x
2
– 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x
1
; x

2

thỏa mãn:

2 2
1 2
/ 36a x x
+ =

1 2
/ 4b x x
− =


2 2
1 2
1 1 4
/
3
c
x x
+ =

1 2
1 1
/ 3d
x x
+ =
Bài 2:
Cho phương trình: x

2
– 8x + m = 0. Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
x
1
; x
2
thỏa mãn một trong các hệ thức sau:
2 2
1 2
/ 50a x x
+ =

1 2
/ 7b x x=

1 2
/ 2 3 26c x x+ =

1 2
/ 2d x x− =
Bài 3:
Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 .Tính giá trị của m để phương trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn x
1
= 2x
2

. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của phương trình.
Bài 4:
a/ Tìm k để pr: x
2
+ (k – 2)x + k – 5 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
x
2
1
+ x
2
2
= 10
b/ Tìm k để pr: x
2
- 2(m – 2)x – 5 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
x
2
1
+ x
2
2
= 18

Người viết: Phan Huy Khải Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
c/ Tìm k để pt: (k + 1)x
2
– 2(k + 2)x + k – 3 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
(4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
d/ Tìm k để pt: 5x
2
+ mx – 28 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: 5x
1
+ 2x
2
= 1
Bài 5:
Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: mx
2
+ (m – 1)x + 3(m – 1) = 0
Chứng minh:
1 2
1 1 1
3x x
+ = −

*/ DẠNG 5: Các bài toán tổng hợp
Bài 1:
Cho phương trình: x
2
– (2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
a/ Định m để phương trình có một nghiệm là 2. Khi đó phương trình còn một nghiệm nữa,
tìm nghiệm đó?
b/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x
2
1
+ x
2
2
= 1
d/ Định m để phương trình có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2:
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x – m = 0
a/ CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

với mọi m
b/ Với m
≠
0. Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm là:
1 1 2 2
2 1
1 1
à yy x v x
x x
= + = +
c/ Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn: x
1
+ 2x
2
= 3.
Bài 3:
Cho phương trình: x
2
– 2(k + 3)x + 2k – 1 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k
b/ CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:

1 2 1 2
1 1 3
x x x x
+ +
e/ Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất?
Người viết: Phan Huy Khải Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Bài 4: Cho phương trình:
2 2
2(2 1) 3 6
0
2
x m x m m
x
− + + +
=
−
a/ Giải phương trình trên khi m = 2/3
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn x
1
+ x
2
= 16
Bài 5:
Cho phương trình: x

2
– 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
a/ Giải và biện luận pt trên
b/ Tìm giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c/ Tìm m sao cho hai nghiệm x
1
; x
2
của pt thỏa mãn: 10x
1
x
2
+
2 2
1 2
x x
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị đó?
Bài 6:
Cho pt: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Đặt A = 2(
2 2
1 2 1 2
) 5x x x x
+ −
• Chứng minh: A = 8m

2
– 18m + 9
• Tìm m sao cho A = 27
c/Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy.
Bài 7:
Cho pt: x
2
– 2(m + 1)x + m – 4 = 0
a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m
b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
c/ Tìm m để pt có hai nghiệm dương
d/ CMR biểu thức
1 2 2 1
(1 ) (1 )A x x x x= − + −
không phụ thuộc m.
e/ Tính giá trị của biểu thức x
1
– x
2
Bài 8:
a/ Phương trình: x
2
– 2px + 5 = 0 có nghiệm x
1
= 2. Tìm p và tính nghiệm kia?
b/ Phương trình: x

2
+ 5x + p = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm p và tính nghiệm kia?
c/ Biết hiệu hai nghiệm của pt: x
2
– 7 + q = 0 bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương
trình.
d/ Tìm giá trị của m để pt: x
2
+ 2(m + 2)x + 2m
2
+ 7 = 0 có nghiệm x
1
= 5 khi đó hãy tìm
nghiệm còn lại?
Bài 9:
Người viết: Phan Huy Khải Trang 18
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Cho phương trình: x
4
+ 2mx
2
+ 4 = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x
4

thỏa mãn:
4 4 4 4
1 2 3 4
x x x x
+ + +
= 32
Hướng dẫn
Đặt x
2
= t suy ra phương trình trở thành: t
2
+ 2mt + 4 = 0 (2)
Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t
1
; t
2
Đ/s: m < -2
Khi đó (1) có 4 nghiệm là
1,2 1 3,4 2
;x t x t= ± = ±
và
4 4 4 4 2 2
1 2 3 4 1 2 1 2
2( ) 4 8 16x x x x t t t t m
+ + + = + − = −
Bài 10:
Cho phương trình:
2 2

1 1
1
m
x x
   
+ =
 ÷  ÷
+
   
(1)
a/ Giải pt với m = 15
b/ Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn
Pt (1)
2
1 2
0
( 1) ( 1)
m
x x x x
 
⇔ + − =
 ÷
+ +
 
; Đặt
1
( 1)
y
x x

=
+
(*)
Thì pt (1) trở thành: y2 + 2y – m = 0 (2)
( Với m = 15, tìm y sau đó tìm x)
b/ Từ (*) ta thấy tồn tại hai giá trị của x khi và chỉ khi y < - 4 hoặc y > 0
Do đó pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
pt (2) có 2 nghiệm p/b thỏa mãn: y
[ ]
4;0∉ −
Theo định lý Vi-ét: y
1
+ y
2
= -2 nên (2) chỉ thỏa mãn khi y
1
< -4 < 0 < y
2
⇔
. (4) 0
. (0) 0
a f
a f
<


<


Người viết: Phan Huy Khải Trang 19
Sỏng kin kinh nghim: Luyn thi vo lp 10 chuyờn toỏn
Chuyờn 3: H PHNG TRèNH
1) Mc tiờu cn t:
- Học sinh có kĩ năng giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng các phơng pháp: thế,
cộng đại số.
- Giải các hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc giải và biện luận hệ phơng
trình.
- áp dụng giải hệ phơng trình để giải phơng trình hoặc tìm iu kin ca tham s tha
món yờu cu cho trc
- Hc sinh bit mt vi k nng gii mt s loi h phng trỡnh bc cao hai n,
gii h phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i, cú cha cn thc.
2) Kin thc trng tõm
1. H hai phng trỡnh bc nht hai n:
- nh ngha: Cho hai phng trỡnh bc nht hai n: ax + by = c v ax + by = c. Khi ú ta cú h
hai phng trỡnh bc nht hai n:
ax+by=c(1)
( )
' ' '(2)
I
a x b y c


+ =

- Nu hai phng trỡnh y cú nghim chung (x0;y0) thỡ c gi l nghim ca h (I)
- Nu hai phng trỡnh y khụng cú nghim chung thỡ ta núi h vụ nghim
2. Quan h gia s nghim ca h v ng thng biu din tp nghim:
- Phng trỡnh (1) c biu din bi ng thng (d)
- Phng trỡnh (2) c biu din bi ng thng (d)

* Nu (d) ct (d)

' '
a b
a b



h cú nghim duy nht
* Nu (d) // (d)

' ' '
a b c
a b c
=

h vụ nghim
* Nu (d) trựng (d)

' ' '
a b c
a b c
= =

h cú vụ s nghim.
3. H phng trỡnh tng ng:
Hai h phng trỡnh c gi l tng ng vi nhau nu chỳng cú cựng tp nghim.
Ngi vit: Phan Huy Khi Trang 20
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp dùng

định thức:
a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)
b/ Quy tắc công đại số ( Sgk Toán 9-T2-Tr 16)
c/ Phương pháp dùng định thức:
Từ hệ phương trình (I) ta có:
' '
' '
' '
' '
' '
' '
x
y
a b
D ab a b
a b
c b
D cb c b
c b
a c
D ac a c
a c
= = −
= = −
= = −
- Nếu D
0
≠
, thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
y

D
à y =
D
x
D
x v
D
=
- Nếu D = 0 và D
x
0≠
hoặc D
y

0≠
, thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu D = D
x
= D
y
= 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm
3) Ví dụ:
• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Giải và biện luận.
Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ :
Giải
Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp:
* Cách 1: Phương pháp thế
Ta có: Từ (2)
⇒

y = 3 - x. Thế vào (1) ta được:
Pt (1)
⇔
mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3).
Người viết: Phan Huy Khải Trang 21
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
+ Nếu m - 2 = 0
⇔
m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vô nghiệm (không được nói là phương
trình vô lí !).
+ Nếu m - 2
≠
0
⇔
m
≠
2 thì (3)
⇔
x =
2 6
2
m
m
−
−
Thay vào (2) ta được:
(2)
⇔
: y = 3 -
2 6

2
m
m
−
−
=
2
m
m −
Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = (
2 6
2
m
m
−
−
;
2
m
m −
).
* Cách 2: Phương pháp định thức:
Từ hệ phương trình ta có:
2
.1 1.2 2
1 1
2 2
2 .1 3.2 2 6
3 1
2

.3 1.2 3 2
1 3
x
y
m
D m m
m
D m m
m m
D m m m m m
= = − = −
= = − = −
= = − = − =
- Nếu D
≠
0
⇔
m – 2
≠
0
⇔
m
≠
2
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
2 6
;
2 2
y
x

D
D
m m
x y
D m D m
−
= = = =
− −
- Nếu D = 0
⇔
m – 2 = 0
⇔
m=2

⇒

2.2 6 4 0( 2 0)
x y
D D
= − = − ≠ = ≠

⇒
hệ phương trình vô nghiệm
⇒
- LK:….
2. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Những yêu cầu về nghiệm thường gặp :
- Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức.
- Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức.
- Nghiệm của hệ là những số nguyên.

Bài toán 2 : Tìm m để hệ :
có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0.
Giải
Nhân hai vế của (2) với -3, ta có:
(2)
⇔
-3x - 3my = -9 (3)
Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9
Người viết: Phan Huy Khải Trang 22
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
⇔
(2 + 3m)y = 9 - m (4)
+ Nếu 2 + 3m = 0
⇔
m =
2
3
−
thì (4) trở thành 0 = 29/3 vô nghiệm.
+ Nếu 2 + 3m
≠
0 ; m
≠

2
3
−
thì : (4)
⇔
y =

9
2 3
m
m
−
+
Thế vào (1) ta có : 3x – 2.
9
2 3
m
m
−
+
= m
⇔
x =
2
6
2 3
m
m
+
+
Khi đó x > 0 và y > 0
Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m
≠

2
3
−

2
9
3
m
⇒ − < <

Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9

Bài toán 3 : Cho hệ :
a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y nguyên.
b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x
2
+ y
2
= 0,25.
Giải
a) Từ (2) m
≠

⇒
y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có :
x + (m + 1) (4x + 2) = 1

⇔
(4m + 5)x = -2m - 1 (3)
+ Nếu 4m + 5 = 0
⇔
m = - 5/4 thì (3) vô nghiệm.
+ Nếu 4m + 5

≠
0
⇔
m
≠
- 5/4 thì
(3)
2 1
4 5
m
x
m
− −
⇔ =
+

Thế vào (2) thì : y = - 4.
2 1
4 5
m
m
− −
+
+ 2 =
6
4 5m +
Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ.
Do đó : y nguyên
⇔
4m + 5 là ước số lẻ của 6

⇔
4m + 5
∈
{ -1;1;-3;3}
⇔
m
∈
{-3/2;-1;-2;-1/2}
- Với m = - 1 thì x = 1 ; y = 6 thỏa mãn.
- Với m = - 2 thì x = - 1 ; y = - 2 thỏa mãn.
Tóm lại : Hệ có nghiệm x và y là số nguyên m = - 1 hoặc m = - 2.
b) Ta có x
2
+ y
2
= 0,25 [ - (2m + 1)/(4m + 5)]
2
+ [ -6/(4m + 5)]
2

= 1/4 4(2m + 1)
2
+ 4.36 = (4m + 5)
2
khi và chỉ khi m = 123/24
3.Giải các hệ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn (thông qua các ẩn phụ).
Bài toán 4 : Giải hệ :
Người viết: Phan Huy Khải Trang 23
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

Giải
Đặt thì u = 1/(2x - y); v = 1/(2x + y) hệ trở thành :

Giải hệ này ta có u = 1/3 ; v = 1/5 Từ đó ta có :
4. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất.
Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức lại xuất hiện loại hệ này. Ta xét
bài toán sau :
Bài toán 5 :
Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
F = (mx + 2y - 2m)
2
+ (x + y - 3)
2

Giải
Ta thấy F ≥ 0 với mọi x, y, m và F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0

⇔
khi hệ sau có nghiệm :
Hệ này chính là hệ ở bài toán 1, có nghiệm
⇔
m
≠
2.
Với m = 2 thì F = (2x + 2y - 4)
2
+ (x + y - 3)
2
.
Đặt t = x + y - 2 ta có :

F = (2t)
2
+ (t - 1)
2
= 5t
2
- 2t + 1 = 5(t - 1/5)
2
+ 4/5 ≥ 4/5
Khi đó F đạt giá trị nhỏ nhất là 4/5
⇔
t = 1/5
Tóm lại :
Người viết: Phan Huy Khải Trang 24
Sáng kiến kinh nghiệm: Luyện thi vào lớp 10 chuyên toán
Nếu m = 2 thì F nhỏ nhất là 4/5
Và nếu m
≠
2 thì F nhỏ nhất bằng 0.
• Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Bài toán 6: Giải hệ phương trình
2
2 2
(1 ) 4 4x y y
x y

− + =

+


Hướng dẫn
Vì: x
2
(1 – y) + 4y = 4
 x
2
+ 4y = 4 + x
2
y
 (x
2
– 4)(y – 1) = 0
Nên hệ pt đã cho tương đương với:
2
2 2
2
2 2
2 2
4
2
( 4)( 1) 0
2
1
2
x
x y
x y
x y
y
x y



=


+ =

− − =


⇔


+ =
=




+ =



a/ Giải
2
2 2
4
1
x
x y


=

+ =

( vô nghiệm)
b/ Giải
2 2
1 0
1 1
y x
x y y
 = =

⇔
 
+ = =


Đáp số: (x; y) = ( 0; 1 )
Bài toán 7: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
2 ( ) 2
x y
x y xy xy x y

+ =

+ + − + =


Hướng dẫn
2 ( ) 2 ( 2)( 1) 0x y xy xy x y x y xy
+ + − + = ⇔ + − − =
Người viết: Phan Huy Khải Trang 25