Chuyên đề: Bất đẳng thức kỳ 2

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẢNG THỨC TỔNG HỢP
(Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi và LTĐH-CĐ)
Bài 4. Cho
*
,a b ∈¡
thỏa ab + a + b = 3. Chứng minh:
2
3
ba
ba
ab
1a
b3
1b
a3
22
++≤
+
+
+
+
+
.
Hướng dẫn
Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3.
Suy ra: .
ab 3 (a b)= − +
, (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4
BĐT đã cho tương đương với BĐT:
2 2
3 3a(a 1) 3b(b 1) 3

a b 1
2 (a 1)(b 1) a b
+ + +
+ + ≥ + −
+ + +
( )
( )
1
ba
3
ba
4
3
ba
4
3
2
3
ba
2222
−
+
++++≥++⇔
( ) ( )
( )
4
ba
12
ba3ba36ba4
2222

−
+
++++≥++⇔
( )
2 2
12
a b 3 a b 10
a b
⇔ + − + − + ≥
+
(A)
Đặt x = a+b > 0
2 2
x (a b) 4ab 4(3 x)⇒ = + ≥ = −

2
x 4x 12 0 x 6hay x 2⇒ + − ≥ ⇒ ≤ − ≥
x 2⇒ ≥
( vì x > 0)
2 2 2
x a b 2ab= + +
2 2 2 2
a b x 2(3 x) x 2x 6⇒ + = − − = + −
Thế x như trên , (A) thành

2
12
x x 4 0
x
− − + ≥

, với x≥ 2
3 2
x x 4x 12 0⇔ − + − ≥
, với x≥ 2

( )
( )
2
x 2 x x 6 0⇔ − + + ≥
, với x≥ 2 (hiển nhiên đúng) Vậy bđt cho đã được chứng minh.
Bài 5. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh :
3 2 4 3 5x y z xy yz zx
+ + ≥ + +
Hướng dẫn:
- Phân tích để áp dựng BĐ Cauchy
- Ta có

( )
( )
( )
1
2
3
3
2
5
5
2
x y xy
y z xy

z x xy
+ ≥
+ ≥
+ ≥
.
- Cộng vế điều phải chứng minh
Bài 6. Cho 3 số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
Hướng dẫn:

abc
abc
abcabc
cab
cab
cabcab
bca
bca
bcabca
2
11

2
2
11
2
2
11
2
2
2
2
2
2
2
≤
+
⇒≥+
≤
+
⇒≥+
≤
+
⇒≥+
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1
2 2 2
.
2 2 2
a bc b ca c ab

a bc b ca b ca
b c c a a b
bc ca ab a b c
abc abc abc
⇒ + + ≤ + +
+ + +
+ + +
+ +
+ + + +
= ≤ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Còn tiếp vào tuần sau!