CÔNG THỨC -BÀI TẬP SỐ PHỨC

TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC
* i
2
= -1 số phức Z= a + b.i (a; b
∈
R)
a: là phần thực; b: là phần ảo
* M(a; b) biểu diễn số phức Z
OM= (a; b) biểu diễn số phức Z
* Phép toán số phức
ibaz .
+=
và
ibaz '.''
+=









∈
∈
Rba
Rba
';'
;

Ta có:
* Số phức đối nhau:cho Z= a + b.i
( )
Rba
∈
,

.số -Z= - a – b.i là số phức đối với: Z
* Số phức liên hợp:
ibaZ .
−=

Chú ý
iiiiZZ
nn
=−−== ;;)()(
• Z là số thực
⇔

ZZ
=
• Z là số ảo
⇔

ZZ
−=
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b
∈
R)
môđun số phức Z là:

22
baZ
+=
zzbaOMZ .
22
=+==
Chú ý:
ZZ
=

z
∀
∈
C
* Số phức nghịch đảo:
2
1
Z
Z
Z
=

0
≠
Z
* Thương 2 số phức

2
'.
.

'.'
Z
ZZ
ZZ
ZZ
Z
Z
==

0
≠
Z
* Căn bậc hai số phức: W= a + b.i
);( Rba
∈
• W= a
∈
R
+ Số 0 có duy nhất 1 căn bậc hai là 0
+ a>0: W có 2 căn bậc hai là

a
và
a
−
+ a<0 : W có 2 căn bậc hai là

ia.
−
và

ia.
−−
• W= a + b.i (b
≠
0)
Z= x + y.i (x; y
∈
R) là căn bậc hai
của W trong đó x; y là nghiệm hệ pt:




=
=−
bxy
ayx
2
22
* Phương trình bậc hai:
Az
2
+ Bz + C= 0 (1)









≠
∈
0
,,
A
CCBA
Lập
ACB 4
2
−=∆
•
∆
= 0 thì phương trình có 1 nghiệm kép
A
B
ZZ
2
21
−
==
•
0≠∆
thì phương trình có 2 nghiệm







+−
=
−−
=
A
B
Z
A
B
Z
2
2
2
1
δ
δ

* Định lý Viet: phương trình (1) có 2 nghiệm
1
Z

và
2
Z
ta có:
A
B
ZZ
−=+
21

;
A
C
ZZ
=
21
.
* Dạng lượng giác số phức:
Số phức:
ibaZ .
+=

);( Rba
∈
có dạng lượng
giác là
)sin.(cos
ϕϕ
irz
+=

Trong đó










=
=
>=
r
b
r
a
Zr
ϕ
ϕ
sin
cos
0||
),( OMOX
=
ϕ
acgumen của Z
• Cho Z có một acgumen là
ϕ
thì:

Z
có 1 acgumen là
ϕ
−

-
Z
có 1 acgumen là

ϕπ
+
Z
1
có 1acgumen là
ϕ
−
* Cho
)sin.(cos
ϕϕ
irZ
+=
)'sin.'(cos''
ϕϕ
irZ
+=
Ta có:
•
( ) ( )
[ ]
'sin.'cos'.'.
ϕϕϕϕ
+++=
irrZZ
•
( ) ( )
[ ]
ϕϕϕϕ
−+−=
'sin.'cos

''
i
r
r
Z
Z
•
[ ]
cos .sin
n n
Z r n i n
ϕ ϕ
= +
•
Z
có hai căn bậc hai:
(cos .sin )
2 2
(cos .sin ) cos .sin
2 2 2 2
r i
r i r i
φ φ
φ φ φ φ
π π

+




 
   

− + = + + +
 ÷  ÷
 

   
 


GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên Trang1
*



=
=
⇔=
'
'
'
bb
aa
zz
*
ibbaazz ).'(''
±+±=±
*
ibababbaazz ).'.'.('.'.'.

++−=
(
δ
là một căn bậc
hai của
∆
)
TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC
BÀI TẬP
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.
;)1()1(
22
ii −−+
b.
i
i
i
i +
−
+
− 2
1
3
c.
;
1
.2
1
7

7






−
i
i
i
d.
( ) ( )( )
i
iii
i
i 1
32321
1
1
10
2
+−++−+






−

+
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a.
;
2
31
1
2
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
b.
( )
( )
;0
2
1
.32 =







+++−
i
izizi
c.
;0||
2
=+ zz
d.
0
2
2
=+ zz
;
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+…….+(1+i)
20
b. 1+i+i
2
+i
3
++……+i
2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau:
a.
;4|3| =++ zz

b.
;2|1| =−+− izz
c.
( )
( )
ziz +−2
là số ảo tùy ý; d.
|;2|||2 izziz +−=−
5. Các vectơ
>−>−
',uu
trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng
( )
'.'.
2
1
'. zzzzuu +=
>−>−
;
b. Chứng minh rằng
>−>−
',uu
vuông góc khi và chỉ khi
.|'||'| zzzz −=+
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,k
iz
z
=

−
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
1
1
=
−
−
iz
z
và
.1
3
=
+
−
iz
iz
8. Tìm số phức z thỏa mãn
1
4
=






−
+

iz
iz
9. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a.
i341+−
b.
i564 +
c.
i621−−
10. Giải các phương trình sau trên C :
a.
( )
( )( )
01
32
=++− izziz
b.
( ) ( )
.0124
2
2
2
=−+++ zzzz
11. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun :
1 tan
1 tan
i
i
α
α

+
−
12. Giải các phương trình sau trên C :
a.
01
2
2
34
=+++− z
z
zz
bằng cách đặt ẩn số phụ
z
zw
1
−=
;
b.
( ) ( )
0363263
22
2
2
=−+++++ zzzzzz
c. (z
2
+1)
2
+(z+3)
2

=0
13. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
, zz
sau :



−=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên Trang2
GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên
TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC
14. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
, zz
sau :



+−=+

−−=
izz
izz
25
55
2
2
2
1
21
15. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a 1-i
3
; b.
4
sin
4
cos
ππ
i−
; c.
;
8
cos
8
sin
ππ
i−−
d.
ϕϕ

cossin1 i+−

;
2
0






<<
π
ϕ
16. Cho PT : z
2
+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường
tròn đơn vị
17. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện sau :

2 1 3z z i z− + − = +
18. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.
( )
;31
3
sin
3
cos

7
5
iii +






−
ππ
b.
( )
( )
9
10
3
1
i
i
+
+
; c.
2000
2000
1
z
z +
biết rằng
.1

1
=+
z
z
19. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
a.
2
sin2sin
2
ϕ
ϕ
i+
b.
)sin1(cos
ϕϕ
++i
20. CMR:3(1+i)
2011
= 4i(1+i)
2009
- 4(1+i)
2007
21. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là
ϕ
, hãy tìm một acgumen của
mỗi số phức sau :
a.
2
2z
; b.

;
2
1
z
−
c.
;
z
z
d.
zz
2
−
;
e.
zz +
; f.
zz +
2
; g.
zz −
2
; h.
zz +
2
.
22. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i









−
−
33
33
là số thực, là số ảo?
23. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a. 2-2
3
I b 2(cos
α
-isin
α
) c.1+
cos sin
8 8
i
π π
+

24. a. Cho
ϕϕ
sincos iz +=

(
R∈
ϕ
). Chứng minh rằng với mọi số nguyên
1
≥
n
, ta có
ϕ
n
z
z
n
n
cos2
1
=+
;
ϕ
ni
z
z
n
n
sin2
1
=−
.
b. Từ câu a. chứng minh rằng
( )

( )
.sin103sin55sin
16
1
sin
,32cos44cos
8
1
cos
5
4
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
+−=
++=
25. Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:
a.
;sincos
ϕϕ
i−
b.
ϕϕ
cossin i+
; c.
.cossin
ϕϕ
i−
với
R∈
ϕ

cho trước.
26.Viết dạng lượng giác số z=
1 3
2 2
i−
.Suy ra căn bậc hai số phức z
GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên Trang3
GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên