BÀI TẬP HHGT TRONG KHÔNG GIAN

Chủ đề 13: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
1. Trong khơng gian, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:


Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường
thẳng d.
Giải:
Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vng
góc với d.
Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).
Suy ra :
MH
uuuur
= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là
u
r
= (2 ; 1 ; −1), nên :
2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t =
2
3
. Vì thế,
MH
uuuur
=
1 4 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷

 
.
Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là:
x 2 t
y 1 4t
z 2t
= +


= −


= −

2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 2z + 5 = 0; Q : 2 2z -13 = 0.P x y x y+ − + −
Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai
mặt phẳng (P) và (Q).
Giải :
Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
, , ,
, ,
OI AI
OI AI d I P d I Q OI d I P
d I P d I Q

=


= = = ⇔ =


=


Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
5 2 1
10 4 2 30 (1)
OI AI OI AI a b c a b c
a b c
= ⇔ = ⇔ + + = − + − + −
⇔ + + =
( )
( )
( )
( )

2
2 2 2 2 2 2
| 2 2 5|
, 9 2 2 5 (2)
3
a b c
OI d I P a b c a b c a b c
+ − +
= ⇔ + + = ⇔ + + = + − +
( )
( )
( )
( )
| 2 2 5| | 2 2 13|
, ,
3 3
2 2 5 2 2 13 ( )
2 2 4 (3)
2 2 5 2 2 13
a b c a b c
d I P d I Q
a b c a b c
a b c
a b c a b c
+ − + + − −
= ⇔ =
+ − + = + − −

⇔ ⇔ + − =


+ − + = − − + +

lo¹i
Từ (1) và (3) suy ra:
17 11 11 4a
; (4)
3 6 3
a
b c
−
= − =
Từ (2) và (3) suy ra:
2 2 2
9 (5)a b c+ + =
x 1 2t
y 1 t
z t
= +


= − +


= −

Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được:
( ) ( )
2 221 658 0a a− − =
Như vậy
2a

=
hoặc
658
221
a =
.Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc
658 46 67
; ;
221 221 221
I
 
−
 ÷
 
và R = 3.
Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn u cầu với phương trình lần lượt là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 1 9x y z− + − + − =
và
2 2 2
658 46 67
9
221 221 221
x y z
     
− + − + + =
 ÷  ÷  ÷
     
3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:

x 1 y 1 z
2 1 1
− +
= =
−
. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với
đường thẳng d.
Giải :
Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vng góc
với d.
d có phương trình tham số là:
x 1 2t
y 1 t
z t
= +


= − +


= −

Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).
Suy ra :
MH
uuuur
= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là
u
r

= (2 ; 1 ; −1), nên :
2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t =
2
3
. Vì thế,
MH
uuuur
=
1 4 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
.
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là:
x 2 y 1 z
1 4 2
− −
= =
− −
4. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
3 2 1 0x y z− + + =
, đường thẳng
( )
5
: 2 3
1
x t

d y t
z t
= +


= − +


= −

.
Lập phương trình đường thẳng
( )
∆
nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vng góc với đường thẳng
(d).
Hướng dẫn
+)
(3; 1;2), (1;3; 1)
P d
n u= − = −
uur uur
.
Giao điểm của (d) và (P) là điểm A(15; 28; - 9)
+) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận
, ( 4;5;10)
P d
n u
 
= −

 
uur uur
là VTCP
( ') :d⇒

15 28 9
4 5 10
x y z
− − +
= =
−
5. Trong khơng gian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho hình vng
MNPQ
có
)4;3;2(),1;3;5( −− PM
. Tìm
toạ độ đỉnh
Q
biết rằng đỉnh
N
nằm trong mặt phẳng
.06:)( =−−+ zyx
γ
Giải :
- Gi¶ sư
);;(
000
zyxN

. V×
)1(06)(
000
=−−+⇒∈ zyxN
γ

- MNPQ là hình vuông
MNP

vuông cân tại N





=
=

0.PNMN
PNMN







=++++
+++=+++

0)4)(1()3()2)(5(
)4()3()2()1()3()5(
00
2
000
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
zzyxx
zyxzyx




=++++
=+

)3(0)4)(1()3()2)(5(
)2(01
00
2

000
00
zzyxx
zx
- Từ (1) và (2) suy ra



+=
+=
1
72
00
00
xz
xy
. Thay vào (3) ta đợc
065
0
2
0
=+ xx




===
===

2,1,3

1,3,2
000
000
zyx
zyx
hay





)2;1;3(
)1;3;2(
N
N
.
- Gọi I là tâm hình vuông

I là trung điểm MP và NQ

)
2
5
;3;
2
7
( I
.
Nếu
)13;2( N

thì
).4;3;5( Q
Nếu
)2;1;3( N
thì
).3;5;4( Q
6. Trong khụng gian vi h to
,Oxyz
cho cỏc im
)2;3;0(),0;1;0(),0;0;1( CBA
v mt phng
.022:)( =++ yx

Tỡm to ca im
M
bit rng
M
cỏch u cỏc im
CBA ,,
v mt phng
).(

Giaỷi :
Giả sử
);;(
000
zyxM
. Khi đó từ giả thiết suy ra
5
22

)2()3()1()1(
002
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
++
=++=++=++
yx
zyxzyxzyx

++
=++
++=++
++=++

)3(
5
)22(
)1(
)2()2()3()1(
)1()1()1(
2
00
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2

0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
yx
zyx
zyxzyx
zyxzyx
Từ (1) và (2) suy ra



=
=
00
00
3 xz
xy
.

Thay vào (3) ta đợc
2
00
2
0
)23()1083(5 +=+ xxx





=
=

3
23
1
0
0
x
x







).
3

14
;
3
23
;
3
23
(
)2;1;1(
M
M
7. Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng sau:
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : ; d : y 1 t
2 1 1
z 3
= +

+

= = = +



=

Giaûi:
Gọi

( ) ( )
1 2
M d M 2t;1 t; 2 t ,N d N 1 2t ';1 t ';3∈ ⇒ − − + ∈ ⇒ − + +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
MN 2t 2t' 1;t t '; t 5
2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0
MN.u 0
2 2t 2t ' 1 t t' 0
MN.u 0
6t 3t ' 3 0
t t ' 1
3t 5t ' 2 0
M 2;0; 1 , N 1;2;3 ,MN 1;2;4
x 2 y z 1
PT MN :
1 2 4
⇒ − + − + − +


− + − − + + − + =
=
 
⇔
 
− + − + + =

=




− + + =

⇔ ⇔ = =

− + − =

⇒ − −
− +
⇒ = =
−
uuuur
uuuur uur
uuuur uur
uuuur
8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2
5
1
1
3
4
:
1
−

+
=
−
−
=
−
zyx
d

13
3
1
2
:
2
zyx
d
=
+
=
−

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d
1
và d
2
Giaûi :
Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d
1
, d

2
tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có
IA + IB ≥ AB và AB ≥
( )
1 2
,d d d
dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
Ta tìm A, B :
'
AB u
AB u

⊥


⊥


uuur r
uuur ur
A∈d
1
, B∈d
2
nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)
⇒

AB
uuur
(….)…
⇒
A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)
⇒
I(2; 1; -1)
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=
6
Nên có phương trình là:
( )
2
2 2
2 ( 1) ( 1) 6x y z− + − + + =
9. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O
qua (ABC).
Giaûi :
*Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với
(ABC) nên
)1;1;2(// −nOH
;
( )
H ABC∈
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=
3
1
suy ra
)
3

1
;
3
1
;
3
2
( −H
*O’ đoái xứng với O qua (ABC)
⇔
H là trung điểm của OO’
⇔
)
3
2
;
3
2
;
3
4
(' −O
10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
α
và mặt cầu (S) có phương trình
( )
: 2 2 3 0x y z
α
− + − =

và
( )
2 2 2
: 2 4 8 4 0S x y z x y z+ + − + − − =
.
Giaûi:
Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng
( )
α
. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với
mặt cầu (S) qua mặt phẳng
( )
α
.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 4 25S x y z− + + + − =
, tâm
( )
1; 2;4I −
và R = 5
Khoảng cách từ I đến
( )
α

( )
( )
, 3d I R
α
= <

Vậy
( )
α
và mặt cầu (S) cắt nhau.
Gọi J là điểm đối xứng của I qua
( )
α
PT đường thẳng IJ :
1 2
2
4 2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

Toạ độ giao điểm H của IJ và
( )
α
thoả
( )
1 2 1
2 1
1; 1;2

4 2 1
2 2 3 0 2
x t t
y t x
H
z t y
x y z z
= + = −
 
 
= − − = −
 
⇔ ⇒ − −
 
= + = −
 
 
− + − = =
 
Vì H là trung điểm của IJ nên
( )
3;0;0J −

Mặt cầu (S’) có tâm J bán kính R’ = R = 5 nên có PT:
( ) ( )
2
2 2
' : 3 25S x y z+ + + =
11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )

α
và mặt cầu (S) có phương trình
( )
: 2 2 3 0x y z
α
− + − =
và
( )
2 2 2
: 2 4 8 4 0S x y z x y z+ + − + − − =
.
Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng
( )
α
. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với
mặt cầu (S) qua mặt phẳng
( )
α
.
12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P ) :
x + y + 2z +1 = 0 và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y - 6z +8 = 0 .
a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .

x y 2z 11 0+ + − =
13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1
1 2
( ) : 2 2
x t
y t
z t
= +


∆ = −


= −

và
2
2 '
( ): 5 3 '
4
x t
y t
z
= −


∆ = − +



=


a) Chứng minh rằng đường thẳng
1
( )∆
và đường thẳng
2
( )∆
chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng
1
( )∆
và song song với đường thẳng
2
( )∆
.
14. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d)

6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
− + =


+ + − =

1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC.
16 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1

= 0
a. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
b. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
011642
222
=−−+−++ zyxzyx
và mặt phẳng (
α
) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (
β
) song song với (
α
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có
chu vi bằng 6π.
18. Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng d:
3
2
12
1
−
+
==
− zyx
và mặt phẳng
012:)( =−++ zyxP
.Tìm tọa độ giao điểm

A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương
trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
19. Cho (∆):





=
+−=
+=
4
21
3
z
ty
tx
; (∆’)






+=
=
+−=
uz
uy
ux
42
2
22

ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cña (∆) vµ (∆’) + Gäi ®êng vu«ng gãc
20. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P):
2x - y + z + 1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).