Đề thi quốc gia năm 2003

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 12/3/2003
Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và
thoả mãn điều kiện :
f(cotgx) = sin2x + cos2x
với mọi x thuộc khoảng (0;
π
).
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
g(x) = f(x).f(1-x)
trên đoạn [-1;1]
Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc
với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O
2
) lớn hơn bán kính của
đường tròn (O
1
). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O
2
) sao cho 3 điểm O
1
,O
2
,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn
(O
1

) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường
tròn (O
2
),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và
tiếp tuyến tại A của đường tròn (O
2
) . Chứng minh rằng điểm D di động trên
một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O
2
) sao cho ba
điểm O
1
,O
2
,A không thẳng hàng .
( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)
Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s
n
là số các hoàn vị (a
1
,a
2
,….,a
n
)
của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a
1
,a
2
,…., a

n
) đều có tính
chất 1
≤
|a
k
- k|
≤
2 với mọi k = 1,2,3,…,n.
Chứng minh rằng : 1,75.s
1−n
< s
n
< 2.s
1+n
với mọi số nguyên n >6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 13/3/2003
Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình :
(x+1)
2
+ y
2
1
= (x+2)
2
+ y
2

2
= … = (x+k)
2
+ y
2
k
= … = (x+n)
2
+ y
2
n
có nghiệm nguyên (x,y
1
,y
2
,….,y
n
)
Bài 5 : Cho hai đa thức :
P(x) = 4x
3
- 2x
2
- 15x + 9
và Q(x) = 12x
3
+ 6x
2
- 7x + 1
1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt

2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng
minh rằng: α
2
+ 3β
2
= 4
Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R
+
→
R
+
thoả mãn điều
kiện:
f(3x)
≥
f(f(2x)) + x
với mọi số thực dương x.
Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F
ta đều có :
f(x)
≥
α
với mọi số thực dương x.

( R
+
kí hiệu tập hợp các số thực dương).